《材料力学》课程教学课件（PPT讲稿）第七章 应力应变分析及强度理论 Analysis of Stress and Strain Failure Criteria §7-5 平面应变状态分析（Analysis of plane strain-state）

应力应变状态分析(Analysis of stress-state and strain-state)87-5平面应变状态分析(Analysis of planestrain-state)平面应力状态下，已知一点的应变分量&，6，xy，欲求α方向上的线应变?和切应变%，可根据弹性小变形的几何条件，分别找出微单元体（长方形）由于已知应变分量&，6，在此方向上引起的线应变及切应变，再利用叠加原理一、任意方向的应变（Thestrainofanydirection）在所研究的0点处，0xy坐标系内的线应变&，y，x为已知.求该点沿任意方向的线应变α

(Analysis of stress-state and strain-state) §7-5 平面应变状态分析 (Analysis of plane strain-state) 平面应力状态下，已知一点的应变分量x , y ,  xy ，欲求方 向上的线应变和切应变 ,可根据弹性小变形的几何条件,分别 找出微单元体（长方形）由于已知应变分量x , y ,  xy在此方向上 引起的线应变及切应变,再利用叠加原理. 一、任意方向的应变(The strain of any direction） 在所研究的O点处, Oxy 坐标系内的 线应变x ,  y ,  xy为已知.求该点沿任意方 向的线应变 . y O x

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state)将Oxy坐标绕0点旋转一个α角，得到一个新0xy坐标系J并规定α角以逆时针转动时为正值，反之为负值x8为0点沿x方向的线变%α为直角ZxOy的改变量即切应变a假设：0x（1）0点处沿任意方向的微段内，应变是均匀的：（2）变形在线弹性范围内都是微小的，叠加原理成立：分别计算x，，%单独存在时的线应变8和切应变然后叠加得这些应变分量同时存在时的和α

(Analysis of stress-state and strain-state) 将Oxy 坐标绕O点旋转一个角，得到一个新Ox' y'坐标系. x y O  y' x' 并规定  角以逆时针转动时为 正值，反之为负值.  为 O 点沿 x'方向的线变  为直角  x'Oy'的改变量, 即切应变. 假设: （1）O点处沿任意方向的微段内, 应变是均匀的; （2）变形在线弹性范围内都是微小的, 叠加原理成立; 分别计算 x , y , xy单独存在时的线应变和切应变 ,然后 叠加得这些应变分量同时存在时的和

应力应交状态分析(Analysis of stress-stateand strain-state)1.推导线应变（Derivethelinearstrain）从O点沿x方向取出一微段OP=dx，并以它作为矩形OAPB的对角线。x该矩形的两边长分别为dxB和 dyPdr'dydxdyαOP=dx'=sinacosa0xAdx租

(Analysis of stress-state and strain-state) 1.推导线应变（ Derive the linear strain） 从O点沿 x′方向取出一微段OP = dx′ , 并以它作为矩形OAPB 的对角线. 该矩形的两边长分别为 dx 和 dy x y O  y' x'  sin d cos d d ' x y OP = x = = P A B dx dy dx

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-stateV（1）只有正值&存在假设OB边不动.矩形OAPB变形后成为OA'PBBPp!atDdyAA=Pp'=8,dxα0A'xAOP的伸长量P'D为dx&,drP'D~Pp'cosα=&.dxcosα0点沿x方向的线应变α为P'De.dxcosa=COSQY.dOPdx/cosa

(Analysis of stress-state and strain-state) （1）只有正值x 存在 A B dx dy x y O y' x' P 假设OB边不动,矩形 OAPB 变形后成为OA'P'B  xdx AA = PP = εxdx D OP 的伸长量 PD 为 PD  PPcos = εxdxcos O点沿 x'方向的线应变 1为     2 cos d cos d cos 1 x x ε x ε x OP P D ε = =  =  A' P

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state（2）只有正值&存在yP.B'piSdy假设OA边不动+DαBP矩形OAPB变形后为OAP"BdyaBB'=PP"=&,dy0xAdx的伸长量为OPP"D'~Pp"sinα=&,dysinα0点沿x方向的线应变8α,为P"De,dysina=&, sinαCdnOPdy sina

(Analysis of stress-state and strain-state) （2）只有正值y存在 A B dx dy x y O y' x' P 假设 OA 边不动 矩形 OAPB 变形后为 OAP"B' BB PP ε y  =  = yd OP 的伸长量为 P D  PP sin = ε ydysin D'     2 sin d sin d sin 2 y y ε y ε y OP P D ε = =  = O点沿 x'方向的线应变 2 为  ydy P'' B' 

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state（3）只有正值切应变存在LYrydy使直角减小的为正假设OA边不动BB"Pp,矩形OAPB变形后为adyxyD"OAP"B"αBB"= Pp"~x,dy0xAdx的伸长为OPp"D"=Pp"cosa=xdycosa0点沿x方向的线应变为P"D"Yxdycosa8=x,sinacosαa3OPdy/sina

(Analysis of stress-state and strain-state) （3）只有正值切应变 xy存在 A B dx dy x y O y' x' P 使直角减小的为正 假设 OA 边不动 矩形 OAPB 变形后为 OAP"'B" BB PP y  =    xyd B P''' '' γxydy γxy  OP 的伸长为 P D  = PP cos =  xydycos D'' O 点沿 x′方向的线应变为       sin cos d sin d cos 3 xy xy y y OP P D ε = =  =

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state根据叠加原理，&，,和同时存在时，0点沿方向的线应变为8a = 8a, + 8a, + 8as=&,cosα+e,sinα+x,sinαcosa2.切应变（Shearingstress）α= 2(8x-&,)sinacosα +x(cosα-sinα)以上两式利用三角函数化简得到8C1cos2α-xysin2α8228Fαsin2α-,cos2αVX222

(Analysis of stress-state and strain-state) 根据叠加原理,x ,  y和  xy 同时存在时,O点沿x ´方向的线应 变为 α α1 α2 α3 ε = ε + ε + ε  cos   sin   sin cos 2 2 = x + y + xy 2.切应变 （Shearing stress） 2( )sin cos (cos sin ) 2 2   = εx − ε y  +  xy  −       sin2 2 1 cos2 2 2 xy x y x y − − = +       cos2 2 1 sin2 2 2 xy x y − − = 以上两式利用三角函数化简得到

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state二、主应变数值及其方位（Theprincipalstrainsandit'sdirection)1T8介Ocos2α-tr,sin2α0DOa22YaDd0福2sin2α+tr,cos2aLa22α←2αmax[(8x+8,)±/(8x-8,)+"x8minYxytan2αo=s-6

(Analysis of stress-state and strain-state) 2 2 2              [( ) ( ) ] 2 1 2 2 min max x y x y xy ε ε ε ε γ ε ε = +  − +    x y xy     − − tan2 0 = 二、主应变数值及其方位(The principal strains and it’s direction)    + − = − − = +         sin2 cos2 2 cos2 sin2 2 2 xy x y xy x y x y α σ σ σ σ σ σ σ