《材料力学》课程教学课件（PPT讲稿）第六章 弯曲变形 Deflection of Beams（知识4）

例所示简支梁AB受集中力P作用，试讨论它的弯曲变形tyRB解：①求反力并列梁的弯矩方程aRABXRAR分两段列AB梁的弯矩方程为：￥2AC段 M;(x)=Px (0≤x, ≤a)CB段M,(x,)=bPx,-P(x2-a) (α≤X2 ≤l)将和两段②列出梁的各段的挠曲线近似微分方程并积分的挠曲线近似微分方程及积分结果，列表如下

例 所示简支梁 AB 受集中力 P 作用，试讨论它的弯曲变形。 解：①求反力并列梁的弯矩方程 P l b RA = P l a RA = 分两段列AB梁的弯矩方程为： AC段 1 1 1 ( ) Px l b M x = (0 )  x1  a CB段 ( ) ( ) 2 2 Px2 P x2 a l b M x = − − ②列出梁的各段的挠曲线近似微分方程并积分 将和两段 的挠曲线近似微分方程及积分结果，列表如下。 ( ) 2 a  x  l x y P a b x1 x2 A B C RA RB l

AC段(O≤x≤a)CB 段(a≤x2≤l)PbPbEIv,EIV2Xi- P(x -a)X211PbPPb22EIV2(x2 -a)? +C22Elv,+CXi22121PbPPb烂-a)+C2x2+D2ElV2(x2-3Ev=+CX+D66161③确定积分常数梁在A、B两端的边界条件为x,=0时，Ji=0，2=0X2 =l 时,挠曲线在截面的连续条件为当x=x2=α 时，= =V2

AC 段 (0 )  x1  a CB 段 ( ) 2 a  x  l 1 '' 1 x l Pb EIv = 1 2 1 ' 1 2 x C l Pb EIv = + 1 1 1 3 1 6 x C x D l Pb EIv = + + ( ) 2 2 '' 2 x P x a l Pb EIv = − − 2 2 2 2 2 ' 2 ( ) 2 2 x a C P x l Pb EIv = − − + 2 2 2 3 2 3 2 2 ( ) 6 6 x a C x D P x l Pb EIv = − − + + ③确定积分常数 梁在A、B两端的边界条件为 x1 = 0 y1 = 0 x = l 2 时， y2 = 0 时， 挠曲线在截面的连续条件为当x1 = x2 = a 时，1 = 2 1 2 v = v

Pb解得(12-b2)D,=D,=0C=C2 =61梁AC和CB段的转角方程和挠曲线方程列于下表：AC段CB段0≤x≤aa≤x≤lPbPb31(x2 -α)(12-b2-3x1(12-b2-3x°)0,(x2) (x) =6EIl6EIlPbx,Pb(12-b2-x)+(x -a)3v(x)V2(x2)6EIl6EIl④求梁的最大挠度和转角Pab(I +b)在梁的左端截面的转角为0A=0(x)二6EIl

解得 D1 = D2 = 0 ( ) 6 2 2 1 2 l b l Pb C = C = − − 梁AC和CB段的转角方程和挠曲线方程列于下表： AC段 0  x1  a CB段 a  x  l 2 ( ) 6 ( ) ( 3 ) 6 ( ) 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 l b x EIl Pbx v x l b x EIl Pb x = − − −  = − − −       = − − − + −       = − − − + − 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 3 ( 3 ) 6 ( ) x a b l l b x EIl Pb v x x a b l l b x EIl Pb  x ④求梁的最大挠度和转角 在梁的左端截面的转角为 EIl Pab l b x A x a 6 ( ) ( ) 1 1 1 + = = − =  

Pab(l + a)0B = 02(x2)在梁右端截面的转角为21=06EIlOB为最大转角。当a>b时，可以断定为了确定挠度为极值的截面，先确定C截面的转角Pabc =0(x1)(a-b)X,=a3EIl若a>b，AC段内必有一截面转角为零。Pb令 ,(x)=0 则(12 - b2 - 3x。) = 06Ell12-b2解得×=3xo的转角为零，亦即挠度最大的截面位置。Pb由AC段的挠曲线方程可(12-b3) [(+) -- = UEE求得梁AB的最大挠度为

在梁右端截面的转角为 EIl Pab l a x B x a 6 ( ) ( ) 2 1 2 2 + = = =   当 a  b 时，可以断定  B 为最大转角。 为了确定挠度为极值的截面，先确定C截面的转角 ( ) 3 ( ) 1 1 1 a b EIl Pab x C x a = = − =   若 a  b ,AC段内必有一截面转角为零。 令 1 (x1 ) = 0 ( 3 ) 0 6 2 0 2 2 − l − b − x = EIl Pb 解得 3 2 2 0 l b x − = 0 x 的转角为零，亦即挠度最大的截面位置。 则 由AC段的挠曲线方程可 求得梁AB的最大挠度为   ( ) 9 3 ( ) 2 2 max 1 1 1 0 l b EIl Pb v x x x = = − = 