《材料力学》课程教学课件（PPT讲稿）第六章 弯曲变形 Deflection of Beams §6-3 用积分法求弯曲变形（Beam deflection by integration）

弯曲变形(Deflectionof Beams)S6-3用积分法求弯曲变形(Beamdeflectionbyintegration)一、微分方程的积分(Integrating thedifferential equation)M(x)WEI若为等截面直梁，其抗弯刚度E为一常量上式可改写成EIw"=M(x)

(Deflection of Beams) §6-3 用积分法求弯曲变形 （Beam deflection by integration ) 一、微分方程的积分 （Integrating the differential equation ) 若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成 M x( ) w EI  = EIw M x  = ( )

弯曲变形Deflection of Beams1.积分一次得转角方程(The first integration gives the equation for the slope)EIw' = [ M(x)dx +C)2.再积分一次，得挠度方程(Integrating again gives the equation for the deflection)Elw = [[ M(x)dxdx + C,x + C,二、积分常数的确定(Evaluatingtheconstants of integration)1.边界条件（Boundaryconditions）2.连续条件（Continueconditions）

(Deflection of Beams) 2.再积分一次,得挠度方程 （Integrating again gives the equation for the deflection） 二、积分常数的确定 （Evaluating the constants of integration） 1.边界条件（Boundary conditions） 2.连续条件（Continue conditions） 1.积分一次得转角方程 （The first integration gives the equation for the slope） 1 EIw M x x C  = + ( )d  1 2 EIw M x x x C x C = + + ( )d d 

弯曲变形(Deflection of Beams在简支梁中，左右两铰支座处的B挠度WA和WB都等于0=0=0WW在悬臂梁中，固定端处的挠度WBARR和转角0都应等于0.BRREWA=00=0

(Deflection of Beams) A B 在简支梁中, 左右两铰支座处的 挠度 wA 和 wB 都等于0. 在悬臂梁中,固定端处的挠度 和转角 wA 都应等于0. A  0 wA = 0 wB = 0 wA = 0  A = A B

弯曲变形(Deflectionof Beams例题1图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁，在自由端受一集中力F作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度Wmax和最大转角maxHWBXW

(Deflection of Beams) l A B x F w 例题1 图示一抗弯刚度为EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力F 作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 和最大转角 wmax max 

弯曲变形(Deflection of Beams解：w(1)弯矩方程为ARRRRWBAx(1)M(x)=-F(l-x)x(2)挠曲线的近似微分方程为/EIw"=M(x)=-Fl+Fx(2)对挠曲线近似微分方程进行积分Fx?EIw'=-Flx++C(3)2FxFlxElw(4)二+Cix+C226

(Deflection of Beams) （1） 弯矩方程为 解： （2） 挠曲线的近似微分方程为 x l w A B x F 对挠曲线近似微分方程进行积分 M x F l x ( ) ( ) (1) = − − EIw M x Fl Fx  = = − + ( ) (2) 2 1 (3) 2 Fx EIw Flx C  = − + + 2 3 1 2 (4) 2 6 Flx Fx EIw x = − + + + C C

弯曲变形(Deflectionof BeamsFx?EIw'=-Flx+C(3)+23FlxFxEIw:(4)+Cix+C2十26w=0x=0,边界条件w'=0x=0,将边界条件代入（3）（4）两式中，可得C，=0C,=0梁的转角方程和挠曲线方程分别为Fx?FxFlx.EIw'=-Flx+Elw226

(Deflection of Beams) 梁的转角方程和挠曲线方程分别为 2 1 (3) 2 Fx EIw Flx C  = − + + 2 3 1 2 (4) 2 6 Flx Fx EIw x = − + + + C C 边界条件 0, 0 0, 0 x w x w = = = =  将边界条件代入（3）（4）两式中,可得 1 2 C C = = 0 0 2 2 Fx EIw Flx  = − + 2 3 2 6 Flx Fx EIw = − +

弯曲变形(Deflection of BeamsFBxAWWmax0max1Omax和Wma都发生在自由端截面处maxF?Fl?F1?A一maxEI2EI2EIP13WWmax3EI

(Deflection of Beams) B wmax  max x l y A F （ ） 2 2 2 max | 2 2 x l Fl Fl Fl EI EI EI   = = − + = − =  max 和 wmax 都发生在自由端截面处 （ ） 3 max | 3 x l Pl w w EI = = − =

弯曲变形(DeflectionofBeams)例题2图示一抗弯刚度为EI的简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其①max和WmaxqB

(Deflection of Beams) 例题2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的 均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其 max  和 wmax A B q l

弯曲变形(Deflection ofBeams解：由对称性可知，梁的两B个支反力为qtXFH-RBRA2FFRARB此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为qlq-2M(x)Elw'+6K22nqlqlq932.4EIw+Cx+DElwxXX122224

(Deflection of Beams) 解:由对称性可知,梁的两 个支反力为 R R = = 2 A B ql F F A B q l FRA FRB x 2 ( ) 2 2 ql q M x x x = − 2 3 4 6 ql q EIw x x C  = − + 2 2 2 ql q EIw x x  = − 3 4 12 24 ql q EIw x x Cx D = − + + 此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为

弯曲变形(Deflection of BeamsWqmax边界条件x=0和x-时，W=0B梁的转角方程和挠曲线方程O0分别为xq(61x2-4x3-13)HFRB24EIHRAqx(21x2-x3 -13)W24EI最大转角和最大挠度分别为在x-0和x-l处转角的绝对值相等且都是最大值9130=-0=B=max24EI5ql在梁跨中点处有最大度值WWmax384EI七2

(Deflection of Beams) 梁的转角方程和挠曲线方程 分别为 2 3 3 (6 4 ) 24 q lx x l EI  = − − 2 3 3 (2 ) 24 qx w lx x l EI = − − 边界条件x=0 和 x=l时, w = 0 x A B q l FRA FRB A B 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值， 最大转角和最大挠度分别为 3 max 24 A B ql EI    = − = = wmax 在梁跨中点处有最大挠度值 4 max 2 5 384 l x ql w w = EI = = −