《材料力学》课程教学课件（PPT讲稿）第七章 应力应变分析及强度理论 Analysis of Stress and Strain Failure Criteria §7-2 平面应力状态分析-解析法（Analysis of plane stress-state）

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state)$7-2平面应力状态分析-解析法(Analysis ofplane stress-state)61tyx北x平面应力状态的普遍形式如图所示.单元体上有ox，x和oy

(Analysis of stress-state and strain-state) 平面应力状态的普遍形式如图所示.单元体上有x , xy和 y , yx §7-2 平面应力状态分析-解析法 （Analysis of plane stress-state） x x y z y  xy  yx x y  xy  yx

应力应变状态分析(Analysis of stress-state and strain-state一、斜截面上的应力（Stressesonanobliquesection）1.截面法（Sectionmethod）假想地沿斜截面e-f将单元体截开，留下左边部分的单体元eaf作为研究对象nKyxnaOaTxaaaxoKxyTyxg

(Analysis of stress-state and strain-state) 一、斜截面上的应力（Stresses on an oblique section） 1.截面法（Section method） 假想地沿斜截面e-f 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象 x y a x x  yx  xy e f  n e a f x  xy  yx y α  α α n α

应力应交状态分析(Analysisof stress-state and strain-state)VnTyx2αnQaXoxOxaaTxyCoy2.符号的确定（Signconvention）（1）由x轴转到外法线n，逆时针转向时α为正（2）正应力仍规定拉应力为正：压应力为负（3）切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转为正：逆时针转为负

(Analysis of stress-state and strain-state) x y a x x  yx  xy e f  n （1）由 x 轴转到外法线 n,逆时针转向时为正. （2）正应力 仍规定拉应力为正;压应力为负. （3）切应力 对单元体内任一点取矩, 顺时针转为正; 逆时 针转为负. 2.符号的确定（Sign convention） e a f x  xy  yx y α  α α n α t

应力应变状态分析(Analysis of stress-state and strain-state)enCadATxyaxYaladAcosaαaTaadAsindTyxgy3.任意斜截面上的应力（Thestressactingonanyinclinedplane）设斜截面的面积为dA，a-e的面积为dAcosα,a-f的面积为dAsinα对研究对象列n和t方向的平衡方程，得F, = 0 adA+(tx,dAcosα)sinα -(o,dAcosα)cosα +(twdAsinα)cosα-(o,dAsinaα)sinα = 0

(Analysis of stress-state and strain-state) 设斜截面的面积为dA , a-e 的面积为 dAcos, a-f 的面积为 dAsin e a f x  xy  yx y α  α α n α e a f α dA dAsin dAcos 3.任意斜截面上的应力(The stress acting on any inclined plane) 对研究对象列n和 t 方向的平衡方程, 得 ( d sin )cos ( d sin )sin 0 0 d ( d cos )sin ( d cos )cos − =  = + − +           A A F A A A yx y n xy x t

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state)ZF=0tdA-(trdAcosa)cosα-(odAcosaα)sina+(tyxdAsinα)sinα + (,dAsinα)cosα = 0化简以上两个平衡方程最后得9+9x1cos2α-tx,sin2aQ22OOXsin2α +tx cos2αP2不难看出α~+o=0x+α+90°即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数

(Analysis of stress-state and strain-state)            sin2 cos2 2 cos2 sin2 2 2 xy x y xy x y x y + − = − − = + ( d sin )sin ( d sin )cos 0 0 d ( d cos )cos ( d cos )sin + =  = − − +          A A F A A A yx y t xy x 化简以上两个平衡方程最后得 不难看出   +   =  x +  y  +90 即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state)最大正应力及方位(Maximum normal stress and it's direction)?Ocos2α-tx,sin2αa22sin2α+trcos2α21.最大正应力的方位（Thedirectionofmaximumnormalstress）正应力是α周期函数doV-21sin2α+t,cos2α]=02da2tαoxytan2αα =% +90O32Txyarctando0-0

(Analysis of stress-state and strain-state) 二、最大正应力及方位 （Maximum normal stress and it’s direction） 1.最大正应力的方位（The direction of maximum normal stress ） 令            2 2 2 2 2 2 2 sin cos cos sin xy x y xy x y x y + − = − − = + sin2 cos2 ] 0 2 2[ d d + = − = −        xy x y = − − xy x y 2 tan2     0 0 90      =   + 0 arc   = −  −   xy x y 1 2 tan 2     正应力是 α 周期函数

应力应变状态分析(Analysis of stress-state and strain-state2Txyarctan-45°≤α≤45°do2α%和α%+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面

(Analysis of stress-state and strain-state) 0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力 所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面. 0 arc   = −    −   xy x y 1 2 tan 2     o o 0 −   45 45 

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state)2.最大正应力（Maximumnormalstress）将α和α+90°代入公式ax+aor1cos2α-Txy sin2αaO22得到+00OXXVcos2αo -tx sin 2αoOdo22OO十OOxHycos2(α + 90°)-Tm, sin 2(α +900O0+90022+0OOyX人cos2α + Txy sin 2αo22上号

(Analysis of stress-state and strain-state) 2.最大正应力（Maximum normal stress） 将 0 和 0+90°代入公式      2 2 2 2 cos xy sin x y x y − − = + 得到 0 0 0 cos 2 sin 2 2 2 x y x y  xy         + − = + − o ( ) ( ) 0 o o 90 0 0 cos 2 90 sin 2 90 2 2 x y x y  xy         + + − = + + − + 0 0 cos 2 sin 2 2 2 x y x y xy        + − = − +

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state)1)若0α>000+900O0最大正应力在α%平面上domaxOO三最小正应力在α+90°平面上min00+9002）若<00o0+900O0三最大正应力在α%+900平面上0+900max最小正应力在α平面上OO一mindo3）若川所有平面上的正应力相同00+900ao

(Analysis of stress-state and strain-state) 1）若 max 0  = o 0  0 90   +  o 0 min  90   + = 最大正应力在0 平面上. 最小正应力在0 +90o平面上. 2）若 min 0  = o 0  0 90   +  o 0 max  90   + = 最小正应力在0 平面上. 最大正应力在0 +90o平面上. 3）若 o 0  0 90   + = 所有平面上的正应力相同

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state因为最大正应力和最小正应力是由doα =-2[00sin2α+tx,cos2α]=02da得到．而OOXsin2α+t..cos2o02所以,Omax和所在平面上，切应力为零Omin所以，Omax和Omin月所在平面为主平面（Principalplane)Omax和Omin也称为主应力

(Analysis of stress-state and strain-state) 因为最大正应力和最小正应力是由 所以, max 和 min 所在平面上,切应力为零. 所以，  max 和  min 所在平面为主平面（Principal plane）；  max 和  min 也称为主应力. sin 2 cos 2 ] 0 2 2[ d d + = − = −         x y x y 得到. 而 sin 2 cos 2 2 x y  xy       − = +