《材料力学》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 弯曲应力 Stresses in beams §5-3 横力弯曲时的正应力（Normal stresses of the beam in nonuniform bending）

弯曲应力(Stresses inBeams)S5-3横力弯曲时的正应力(Normal stresses of the beam in nonuniform bending)横力弯曲（Nonuniformbending）当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使横截面发生翘曲，横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力M(x)等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为。=W

(Stresses in Beams) 当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力.梁在 此种情况下的弯曲称为横力弯曲. §5-3 横力弯曲时的正应力 (Normal stresses of the beam in nonuniform bending) 横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力 使横截面发生翘曲，横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压 应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立. 一、横力弯曲(Nonuniform bending) 虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表 明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的 计算横力弯曲时横截面上的正应力. 等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为 W M x σ ( ) =

弯曲应力(Stresses inBeams)二、公式的应用范围(Theapplicablerange of theflexure formula)1.在弹性范围内(All stresses inthebeam are belowtheproportional limit)2.具有切应力的梁（Thebeamwiththeshearstress）l/h≥53.平面弯曲（Planebending）4.直梁（Straightbeams）5.曲梁（Curvedbeams），曲率很小，很细的曲梁

(Stresses in Beams) 二、公式的应用范围 (The applicable range of the flexure formula ) 1.在弹性范围内 (All stresses in the beam are below the proportional limit) 3.平面弯曲（Plane bending） 4.直梁（Straight beams） 2.具有切应力的梁（The beam with the shear stress） l / h  5 5.曲梁（Curved beams）, 曲率很小, 很细的曲梁

弯曲应力(Stresses inBeams)二、公式的应用范围(The applicablerange of the flexure formula)1.在弹性范围内(All stresses inthebeam are belowtheproportional limit)2.具有切应力的梁（Thebeamwiththeshearstress）l/h≥53.平面弯曲（Planebending）4.直梁（Straightbeams）三、强度条件（Strengthcondition）梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力Mmax≤[]1.数学表达式（Mathematicalformula）0maxWE

(Stresses in Beams) 二、公式的应用范围 (The applicable range of the flexure formula ) 1.在弹性范围内 (All stresses in the beam are below the proportional limit) 3.平面弯曲（Plane bending） 4.直梁（Straight beams） 2.具有切应力的梁（The beam with the shear stress） l / h  5 三、强度条件（Strength condition) 1.数学表达式（Mathematical formula) [ ] max max σ W M σ =  梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力

弯曲应力(StressesinBeams)2.强度条件的应用（ApplicationofstrengthconditionMMmaxmax≤[α](1)强度校核（2）设计截面WZW[a]M≤W[α]（3）确定许可载荷max对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的[α,]≠[α]且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的Otmax≠cmax（两者有时并不发生在同一横截面上）要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力Otmax ≤[ot]Ocmax ≤[o,]用

(Stresses in Beams) 2.强度条件的应用(Application of strength condition) [ ] max σ M （2）设计截面 W  （3）确定许可载荷 Mmax  W[σ] （1） 强度校核 [ ] max σ W M  对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的 [ ] [ ] σt  σc 且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的 σtmax  σcmax （两者有时并不发生在同一横截面上） 要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力 [ ] σtmax  σt [ ] σcmax  σc

弯曲应力(Stresses inBeams)例题1螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a=150mm，压板材料的弯曲许用应力Ial=140MP.试计算压板传给工件的最AFFRBlFRA大允许压紧力F2解：（1）作出弯矩图的最大弯BC矩为Fa;2aa（2）求惯性矩，抗弯截面系数1, = (3cm)(2cm)*_ (1.4cm)(2cm)3=1.07cmE12121.07cmW=1.07cm1cmYmaxOTFa≤W,[o]（3）求许可载荷014W,[o]030F≤3kNMImax ≤W,[o]maxa

(Stresses in Beams) 例题1 螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a ＝150mm，压 板材料的弯曲许用应力[s ]＝140MP.试计算压板传给工件的最 大允许压紧力F. A B C F 2a a 20 φ30 φ14 FRA FRB + Fa 解：（1）作出弯矩图的最大弯 矩为Fa； （2）求惯性矩，抗弯截面系数 4 3 3 1.07cm 12 (1.4cm)(2cm) 12 (3cm)(2cm) Iz = − = 3 4 max 1.07cm 1cm 1.07cm = = = y I W z z （3）求许可载荷 Mmax W [σ]  z 3kN [ ] [ ]  =  a W σ F Fa W σ z z

弯曲应力（StressesinBeams)例题2T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的许用拉应力为[gl=30MPa，许用压应力为gl=160MPa.已知截面对形心轴z的惯性矩为1=763cm4，y=52mm，校核梁的强度80F,=9kN2=4kN2DC01m1m1m20租

(Stresses in Beams) 80 y 1 y 2 20 20 120 z 例题2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示. 铸铁的许用 拉应力为 [st ] = 30MPa ，许用压应力为[sc ] =160MPa. 已知截面 对形心轴z的惯性矩为Iz =763cm4 ， y1 =52mm，校核梁的强度. F1=9kN F2=4kN A C B D 1m 1m 1m

弯曲应力(Stresses inBeams)F-9KNF2=4KNFRBFRA解： FR^ =2.5kN=10.5kNARB最大正弯矩在截面C上ADcBMc = 2.5kNm1m1m1m最大负弯矩在截面B上2.5kNmMB=4kN·m+B截面MByi = 27.2MPa<[ot]4kNmOtmaxIz80MBy2= 46.2MPa <[c]2Ocmax3IzZC截面00SMc J2 = 28.8MPa <[ol]lOtmax1120

(Stresses in Beams) FRA FRB F1=9kN F2=4kN A C B D 1m 1m 1m - + 4kNm 2.5kNm 解： FRA = 2.5kN FRB = 10.5kN 最大正弯矩在截面C上 最大负弯矩在截面B上 MC = 2.5kNm MB = 4kNm B截面 27.2MPa [ ]t 1 tmax σ I M y σ z B = =  46.2MPa [ ]c 2 cmax σ I M y σ z B = =  C截面 28.8MPa [ ]t 2 tmax σ I M y σ z C = =  80 y 1 y 2 20 20 120 z

例1受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：g = 60kN/m（1）1—1截面上1、2两点的正BA应力;（2）此截面上的最大正应力；2m1m（3）全梁的最大正应力；113（4）已知E=200GPa，求1—10截面的曲率半径。120解：1一1截面弯矩60 ×1260×3M: 60kNmX1-22xbh3120×1803x10-12 = 5.832×10-5mMi1212

例1 受均布载荷作用的简支梁如 图所示，试求： （1）1—1 截面上 1、2 两点的正 应力； （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； （4）已知E = 200GPa，求1—1 截面的曲率半径。 q = 60kN/m A B 1m 2m 1 1 x 1 2 120 180 z y 解： 1—1截面弯矩 2 1 60 3 60 1 1 60kNm 2 2 M   =  − = 30 M1 12 5 4 3 3 10 5.832 10 m 12 120 180 12 − −  =   = = bh I z

1一1截面上1、2两点的正应力g = 60kN/mM, = 60kNmB1, = 5.832×10-mAM.y22m1m11-60 x6013×105 =-61.7MPa05.832120-1截面上的最大正应力1h: 6.48×10-4m32x60M×104 = 92.6MPaOM1maxW.6.48N

q = 60kN/m A B 1m 2m 1 1 1 2 120 180 z y M1 = 60kNm 30 5 4 I z 5.832 10 m− =  1 1 2 60 60 5 10 61.7MPa 5.832 z M y I s s= = −  =  = − x M1 1—1 截面上 1、2 两点的正应力 1—1 截面上的最大正应力 10 92.6MPa 6.48 1 60 4 1max = =  = Wz M s 4 3 6.48 10 m 2 / − = =  h W I z z

全梁的最大正应力g = 60kN/m画M图gx2qLxBM(x):A22一2mMmax =qL /8 =60×32/8=67.5kNm1m113M67.50max×104 = 104.2MPaamaxW.6.487120一1截面的曲率半径xOEI200x5.8322x10=194.4mPiM,60qL2M 810M(x)Mmax

10 q = 60kN/m A B 1m 2m 1 1 x M + 8 2 qL M Mmax (x) 1 2 120 z y / 8 60 3 / 8 67.5kNm 2 2 Mmax = qL =  = 180 30 全梁的最大正应力 画 M 图 10 104.2MPa 6.48 max 67.5 4 max = =  = Wz M s 1—1截面的曲率半径 10 194.4m 60 200 5.832 1 1  =  = = M EIz  ( ) 2 2 2 qLx qx M x = −