《材料力学》课程教学课件（PPT讲稿）第七章 应力应变分析及强度理论 Analysis of Stress and Strain Failure Criteria §7-6 广义胡克定律（Generalized Hooke’s law）

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state)S7-6广义胡克定律(Generalized Hooke's law、各向同性材料的广义胡克定律(Generalized Hooke's law for isotropic materials)1.符号规定（Signconvention）yg(1)正应力：拉应力为正，压应力为负ya(2)切应力：对单元体内任一点取矩斗卡x若产生的矩为顺时针，则为正：反之为负(3)线应变：以伸长为正，缩短为负：(4)切应变：使直角减者为正，增大者为负

(Analysis of stress-state and strain-state) 一、各向同性材料的广义胡克定律 （Generalized Hooke’s law for isotropic materials） （1） 正应力:拉应力为正, 压应力为负 1.符号规定 (Sign convention) （2） 切应力:对单元体内任一点取矩, 若产生的矩为顺时针,则τ为正;反之为负 （3） 线应变:以伸长为正, 缩短为负; （4） 切应变:使直角减者为正, 增大 者为负. x x §7-6 广义胡克定律 (Generalized Hooke’s law ) y z y  xy  yx z

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state2.各向同性材料的广义胡克定律(Generalized Hooke's law for isotropic materials)用叠加原理，分别计算出，，,分别单独存在时,xy,z方向的线应变&，，然后代数相加X方向的线应变0.单独存在时Ea0JC,单独存在时-uEaMG,单独存在时HVE

(Analysis of stress-state and strain-state) y y x 方向的线应变 用叠加原理,分别计算出x , y , z分别单独存在时, x,y,z方向 的线应变x , y ,z,然后代数相加. 2.各向同性材料的广义胡克定律 （Generalized Hooke’s law for isotropic materials） σx 单独存在时 σz 单独存在时 σy 单独存在时 E σ ε x  x = E σ ε μ y x  = − E σ ε μ z x = − x y z z z x x

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state在x,,,o,同时存在时,x方向的线应变&为==[ox - μ(, + 0,)同理,在ox,o,同时存在时,，z方向的线应变为e,=[o,-μ(o, 0,)]z-μo,+ox)在xyyz,zx三个面内的切应变为LxyzXVZYYxyYVZGGG

(Analysis of stress-state and strain-state) 在 x ,y ,z同时存在时, x 方向的线应变x为 同理,在 x ,y ,z同时存在时, y , z 方向的线应变为 [ ( )] 1 x σx μ σy σz E ε = − + [ ( )] 1 y σy μ σz σx E ε = − + [ ( )] 1 z σz μ σy σx E ε = − +G yz yz   = G xy xy   = G zx zx   = 在 xy,yz,zx 三个面内的切应变为

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state记法：x-μ(o, +o,))8E记住第一个方程,-u(o,+ox)l02)第一个方程：x,y,z-E1-二: y, z, X[o,-u(ox+o,)]CE三: z, X, yA+LxyyzzxVVZXXGGG&x,8y,&z—沿x,,z轴的线应变xy，yz，x一一在xy,yz，zx面上的角应变上式称为广义胡克定律（GeneralizedHooke'slaw）E

(Analysis of stress-state and strain-state) 上式称为广义胡克定律（Generalized Hooke’s law） —— 沿x, y, z 轴的线应变 —— 在xy, yz, zx面上的角应变 x y z ε ,ε ,ε xy yz zx γ ,γ ,γ G yz yz   = G xy xy   = G zx zx   = [ ( )] 1 x σx μ σy σz E ε = − + [ ( )] 1 y σy μ σz σx E ε = − + 1 [ ( )] z z x y ε σ μ σ σ E = − + 记法: 1) 记住第一个方程. 2)第一个方程: x, y, z 二 : y, z, x 三 : z, x, y

应力应变状态分析(Analysis of stress-state and strain-state对于平面应力状态（inplanestress-state）(假设,= 0, x= 0,=0)ox-uo,),-uoxOETyxxyxyGI

(Analysis of stress-state and strain-state) 对于平面应力状态（in plane stress-state） （假设z = 0, xz= 0, yz= 0） G xy xy   = ( ) 1 x σx μσy E ε = − ( ) 1 y σy μσx E ε = − ( ) z σy σx E μ ε + − = x y z  xy x y  yx x y  xy  yx

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state)3.主应力-主应变的关系（Principalstress-principalstrainrelation)已知Q1,2,03;81,82,8g为主应变[01 (2 +03)]F[02 -μ(03 +)]E1[03-(0+02]]E二向应力状态下(inplanestress-state)设3=0(01 - μo2) 82 =(02 -μo)) 83 = "(02 + 0)H

(Analysis of stress-state and strain-state) 3.主应力-主应变的关系（Principal stress-principal strain relation） [ ( )] 1 1 σ1 μ σ2 σ3 E ε = − + [ ( )] 1 2 σ2 μ σ3 σ1 E ε = − + [ ( )] 1 3 σ3 μ σ1 σ2 E ε = − + 二向应力状态下(in plane stress-state)设  3 = 0 ( ) 1 1 σ1 μσ2 E ε = − ( ) 1 2 σ2 μσ1 E ε = − ( ) 3 σ2 σ1 E μ ε + − = 已知 1,2,3 ;  1,2,3为主应变

应力应交状态分折(Analysis of stress-state and strain-state)二、各向同性材料的体积应变(Thevolumetric strainfor isotropic materials)每单位体积材料的体积变化，称为体积应变，用9表示各向同性材料在三向应力状态下的体应变92图示单元体，变形前三个边的边长分别为dx，dy，dz线应变分别为8，&2，83。体积为V=dxdydzaidy变形后的边长分别为dzdx(1+ 81), dy(1+82), dz(1+8)03dx变形后单元体的体积为V=dx(1+8):dy(1+82):dz(1+8)

(Analysis of stress-state and strain-state) 二、各向同性材料的体积应变（The volumetric strain for isotropic materials） 1 2 3 dx dy dz 每单位体积材料的体积变化, 称为体积应变, 用q 表示. 各向同性材料在三向应力状态下的体应变 图示单元体, 变形前三个边的边长分别为 dx , dy , dz. 线应变分别为 ,  2 , 3 . 体积为 变形后的边长分别为 变形后单元体的体积为 dx(1+   ), dy(1+ 2 ) , dz(1+ 3 ) V1 = dx(1+  )·dy(1+ 2 ) ·dz(1+ 3 ) V = dx dy dz

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state体积应变（volumetricstrain）为Vi-VAVdx(1 + )dy(1 + 8,)dz(1+8) - dxdydzdxdydzdxdydz(1+8,+8, +8)-dxdydz一dxdydz二[1-μ(02 +03)]1=81+&2+83[02 - μ(03 +0))用应力表示体积应变E-01+0,+03)[03-0+02）83EH

(Analysis of stress-state and strain-state) 体积应变（volumetric strain）为 = V -V 1 θ V = ( ) 1 2 3 1 - 2μ θ σ + σ + σ E [ ( )] 1 1 σ1 μ σ2 σ3 E ε = − + [ ( )] 1 2 σ2 μ σ3 σ1 E ε = − + [ ( )] 1 3 σ3 μ σ1 σ2 E ε = − + ( ) ( ) ( ) ( )  1 2 3 1 2 3 1 2 3 dx 1+ ε dy 1+ ε dz 1+ ε - dxdydz = dxdydz dxdydz 1+ ε + ε + ε - dxdydz dxdydz = ε + ε + ε 用应力表示体积应变

应力应交状态分析(Analysis of stress-stateand strain-state)1.纯剪切应力状态下的体积应变（Volumetricstrainforpureshearing stress-state)=00=0少V01 =-03 = Txy即在小变形下，切应力不引起各向同性材料的体积改变2.三向等值应力单元体的体积应变(Thevolumetric strain oftriaxial-equalstresselementbody)0m01+02+03Cm=S三个主应力为3单元体的体积应变Om2L+om+omREOm1-2μ30mE

(Analysis of stress-state and strain-state) 1.纯剪切应力状态下的体积应变（Volumetric strain for pure shearing stress-state） 即在小变形下,切应力不引起各向同性材料的体积改变. xy σ = −σ = τ 1 3 0 σ2 = q = 0 2.三向等值应力单元体的体积应变（The volumetric strain of triaxial-equal stress element body） 三个主应力为 3 1 2 3 m σ σ σ σ + + = 单元体的体积应变 m m m m 3 1 2 ( ) 1 2    q  − = + + − = E σ σ σ E  m  m  m

应力应交状态分析(Analysis of stress-state and strain-state这两个单元体的体积应变相同8(+02+03)E1-2μ30dxmE单元体的三个主应变为[om-μ(m +om))8=8Om(1-2μ)E0

(Analysis of stress-state and strain-state) 3 m 1 2 σ E  − =  q 这两个单元体的体积应变相同  m  m  m 1 2 3 dx dy dz  ( ) ( ) m 1 2 3 m m m 1 2 1 σ E μ σ μ σ σ E ε ε ε  − = = − + 单元体的三个主应变为 ( ) 1 2 σ1 σ2 σ3 E + + − =  q