《医学物理学》课程教学课件（学习指导）简谐波.docx_大学文库

第四节简谐波一、机械波的产生由弹性力联系着的微粒所组成的媒质称为弹性媒质（elasticmedium）或弹性介质。在弹性媒质中，由于各相邻质元之间存在着相互的弹力作用，因此，当媒质中任意一质元在外界力的作用下开始振动时，它将给与其相邻的质元以弹力的作用，使它们离开平衡位置，而这些质元同样受到它们相邻的质元的弹力的作用，使它们回到平衡位置，就这样在周围质元的弹力作用下它们便开始振动起来。这样，振动就由近及远地传播出去。这种机械振动在弹性媒质中的传播过程就叫机械波（mechanicalwave）。由此可见要产生简谐波，首先有要作简谐振动的物体或质点即波源（wavesource），其次要有能传播这种简谐振动的弹性媒质。当机械振动在弹性媒质中传播时，媒质中各质元的仅在各自平衡位置附近振动，并不随波前进，因此波仅仅是振动形式和能量的传播过程。按照波的传播方向和媒质中质元的振动方向不同，将机械波分为横波和纵波。如果媒质质元的振动方向与波的传播方向相互垂直，则这种波叫横波（transversewave），例如常见的水面波：如果媒质质元的振动方向与波的传播方向相同，则这种波叫纵波（longitudinalwave），例如声波。因为气体和液体内部，只有反抗体积改变的弹性，没有反抗形状改变的弹性力，而固体内既有反抗体积改变的弹性，义有反抗抗形状改变的弹性力。所以，在气体和液体内部只能传播纵波，在固体中既能传播纵波，又能传播横波。一、波的几何描述当波源在媒质中振动时，振动将向各个方向传播，经过一定时间后，振动将传到媒质中某些点，这些点上的质元就同时以同相开始振动。由这些点所连成的面叫波前（wavefont)。波前的位置是随着时间向前推进的。在媒质中所有相同位相(即位相差为零)的相邻的质元所在的点所连成的面叫波阵面或波面（wavesurface）。在任意时刻，波面有无数个，而波前只有一个，它是所有波阵面中最前面的那一个波阵面。按照波面的形状，波分为平面波（planewave）和球面波（sphericalwave）。波面是平面的波叫平面波，波面是球面的波叫球面波。波的传播方向叫波线。在均匀且各向同性的媒质中，波的传播方向（即波线）总是与波面垂直。平面波的波线是一组平行线；球面波的波线是以波源为中心沿半径方向的直线，如图2-14所示。.东波线波线波面波面波线(a)平而波(b)球面波图4-14波面和波线波的频率、波长和波速二

第四节简谐波一、机械波的产生由弹性力联系着的微粒所组成的媒质称为弹性媒质（elastic medium）或弹性介质。在弹性媒质中，由于各相邻质元之间存在着相互的弹力作用，因此，当媒质中任意一质元在外界力的作用下开始振动时，它将给与其相邻的质元以弹力的作用，使它们离开平衡位置，而这些质元同样受到它们相邻的质元的弹力的作用，使它们回到平衡位置，就这样在周围质元的弹力作用下它们便开始振动起来。这样，振动就由近及远地传播出去。这种机械振动在弹性媒质中的传播过程就叫机械波（mechanical wave）。由此可见要产生简谐波，首先有要作简谐振动的物体或质点即波源（wave source）,其次要有能传播这种简谐振动的弹性媒质。当机械振动在弹性媒质中传播时，媒质中各质元的仅在各自平衡位置附近振动，并不随波前进，因此波仅仅是振动形式和能量的传播过程。按照波的传播方向和媒质中质元的振动方向不同，将机械波分为横波和纵波。如果媒质质元的振动方向与波的传播方向相互垂直，则这种波叫横波(transverse wave)，例如常见的水面波；如果媒质质元的振动方向与波的传播方向相同，则这种波叫纵波(longitudinal wave)，例如声波。因为气体和液体内部，只有反抗体积改变的弹性，没有反抗形状改变的弹性力，而固体内既有反抗体积改变的弹性，又有反抗抗形状改变的弹性力。所以，在气体和液体内部只能传播纵波，在固体中既能传播纵波，又能传播横波。一、波的几何描述当波源在媒质中振动时，振动将向各个方向传播，经过一定时间后，振动将传到媒质中某些点，这些点上的质元就同时以同相开始振动。由这些点所连成的面叫波前(wave font)。波前的位置是随着时间向前推进的。在媒质中所有相同位相(即位相差为零)的相邻的质元所在的点所连成的面叫波阵面或波面（wave surface）。在任意时刻，波面有无数个，而波前只有一个，它是所有波阵面中最前面的那一个波阵面。按照波面的形状，波分为平面波（plane wave）和球面波(spherical wave)。波面是平面的波叫平面波，波面是球面的波叫球面波。波的传播方向叫波线。在均匀且各向同性的媒质中，波的传播方向（即波线）总是与波面垂直。平面波的波线是一组平行线；球面波的波线是以波源为中心沿半径方向的直线，如图 2-14 所示。二、波的频率、波长和波速

从波的形成和传播可知，媒质中各质元依次重复着波源的振动，因此媒质中各质元的周期和频率与波源的周期和频率相等。这样，这一频率和周期也称为波的周期和频率，通常分别用f和T表示。振动在一个周期内传播的距离叫波长（wavelength），用入表示。由于相隔一个周期后的振动状态相同，所以沿波的传播方向上相隔一个波长的两质元之间的振动状态相同，即振动位相相同。也就是说，波长是在沿同一波线上两个相邻的同相质点元所在点之间的距离。因此沿波的传播方向，每隔一个波长的距离就出现振动同位相的质元。故此，波长描述了波在空间上的周期性。单位时间内振动状态传播的距离即振动状态传播的速度称为波速（wavespeed)，常用u表示。由于振动状态是由位相确定的，振动状态的传播实际就是位相的传播，所以波速也称为相速（phasevelocity)。由波长的定义可知，波长是振动在一个周期内传播的距离，所以有波速入=入fu=T上式反映了波长、频率、波速之间的关系，它适合于任何形式的波。波的频率和周期是由波源决定，与传播的媒质无关。而波速则完全由媒质本身的性质决定。在均匀且各向同性的固体媒质中，横波的波速为G(2-24)um=p纵波的波速为y(2-25)u=Vp在液体和气体中，纵波的波速为K(2-26)=V上面三式中p为媒质密度，G为切变模量，Y为杨氏模量，K为容变模量。由此可见，波速由媒质密度和其弹性模量决定，而与波的频率、周期和波长等无关。因此，各种频率或波长的波在一定媒质中传播时，它们有着相同的速度。三、简谐波的波动方程如果波源是作简谐振动，则媒体中各质元也将作与波源频率相同的简谐振动。这种简谐振动在媒质中的传播过程就称为简谐波（simpleharmonicwave）。在前面我们已经知道任何振动都可以看作是若干简谐振动的波组合而成，同样任何波均可看成是若干简谐波组合而成。因此简谐波是最基本、最重要的波动形式。对手波来说，同一波面上的质元的振动位相相同即振动状态相同，所以只要知道波面上任意一质元的振动规律，就能够得到该波面上所有质元的振动规律。而任何波面与波线都要相交，所以只要知道波线上的质元的振动规律，就能够知道媒质中各质元的振动规律。这样，就可以把研究媒质中各质元的振动规律转化为研究波线上各质元的振动规律。下面我们从波

从波的形成和传播可知，媒质中各质元依次重复着波源的振动，因此媒质中各质元的周期和频率与波源的周期和频率相等。这样，这一频率和周期也称为波的周期和频率，通常分别用 f 和 T 表示。振动在一个周期内传播的距离叫波长（wave length），用  表示。由于相隔一个周期后的振动状态相同，所以沿波的传播方向上相隔一个波长的两质元之间的振动状态相同，即振动位相相同。也就是说，波长是在沿同一波线上两个相邻的同相质点元所在点之间的距离。因此沿波的传播方向，每隔一个波长的距离就出现振动同位相的质元。故此，波长描述了波在空间上的周期性。单位时间内振动状态传播的距离即振动状态传播的速度称为波速(wave speed)，常用 u 表示。由于振动状态是由位相确定的，振动状态的传播实际就是位相的传播，所以波速也称为相速(phase velocity)。由波长的定义可知，波长是振动在一个周期内传播的距离，所以有波速 f T u =   = 上式反映了波长、频率、波速之间的关系，它适合于任何形式的波。波的频率和周期是由波源决定，与传播的媒质无关。而波速则完全由媒质本身的性质决定。在均匀且各向同性的固体媒质中，横波的波速为  = G u横（2-24）纵波的波速为  Y u纵＝（2-25）在液体和气体中，纵波的波速为  K u纵＝（2-26）上面三式中  为媒质密度， G 为切变模量， Y 为杨氏模量， K 为容变模量。由此可见，波速由媒质密度和其弹性模量决定，而与波的频率、周期和波长等无关。因此，各种频率或波长的波在一定媒质中传播时，它们有着相同的速度。三、简谐波的波动方程如果波源是作简谐振动，则媒体中各质元也将作与波源频率相同的简谐振动。这种简谐振动在媒质中的传播过程就称为简谐波（simple harmonic wave）。在前面我们已经知道任何振动都可以看作是若干简谐振动的波组合而成，同样任何波均可看成是若干简谐波组合而成。因此简谐波是最基本、最重要的波动形式。对于波来说，同一波面上的质元的振动位相相同即振动状态相同，所以只要知道波面上任意一质元的振动规律，就能够得到该波面上所有质元的振动规律。而任何波面与波线都要相交，所以只要知道波线上的质元的振动规律，就能够知道媒质中各质元的振动规律。这样，就可以把研究媒质中各质元的振动规律转化为研究波线上各质元的振动规律。下面我们从波

的基本概念来推导出简谐波的数学表达式。如图 2-15 所示，一平面简谐波在均匀且各向同性的媒质中，沿 X 轴正方向以波速为 u 无衰减的传播,纵坐标 Y 表示波线 OX 上各质元的位移。设原点 O 处质元的振动方程为 y = Acos(t + ) 在 X 轴上任意一点 P，设其坐标为 x ,由波的传播方向可知，点 O 处的质元振动在前，P 点处的质元振动在后，其位相落后于 O 点处的质元。O 点处质元的振动状态即位相传到 P 点处质元所需的时间为 u x ,若O点处质元已振动时间为 t ,则 P 点处的质元的振动时间比 O 点处质元的振动时间少 u x ，即 P 点处质元的振动时间为 t'= t - u x 。又因该简谐波沿 X 轴是无衰减地传播，故在 X 轴上各质元的振幅相同。由此 P 点处质元的振动方程为 = cos( '+) = cos[( − ) + ] u x y A t A t （2-27）将 f T    2 2 ＝＝和 T u f  =  = 代入上式 cos[ ( ) ] cos[2 ( ) + ]  =  − +   − x T t A u x y A t ＝ (2-28) 或 cos[2 ( ) + ]  =  − x y A f t (2-29) ) 2 cos( +    y = A t − x (2-30) 上面几式表示了位移与时间 t 和位置 x 的关系，这些方程称为平面简谐波的波动方程（equation of wave motion）。由波动方程可以求出 X 轴上不同点上质元在不同时刻的位移。式（2-27）到式（2-30）是当波沿 X 轴的正向传播时的表示形式。如果平面简谐波沿 X 轴的负方向传播，则 P 点处质元的振动在前，在 O 点处质元的振动在后。当 O 点处质元振动了 t 时间时，P 点处质元的振动时间为 t' =t ＋ u x 。则 P 点处质元的振动方程 = cos( '+) = cos[( ) + ] u x y A t A t＋（2-31）同理有 cos[2 ( ) + ]  =  x T t y A ＋ (2-32) cos[2 ( ) + ]  =  x y A f t＋ (2-33) ) 2 cos( +    y = A t＋ x (2-34) 式（2-31）到式（2-34）是当波沿 X 轴的负向传播时的波动方程

下面以波沿 X 轴正向传播为例对（2-27）式进行分析来进一步说明平面简谐波的波动方程的物理意义。该式表明了质元振动的位移 y 是两个独立自变量坐标 x 和时间 t 的函数,下面我们对其进行讨论：（1）若坐标 x 为定值，即 x ＝ 0 x 为常数，这时位移 y 仅为时间 t 的函数，式（2-27）可写成 )] 2 cos[ ( ) ] cos[ ( 0 0 A t x u x y A t   =  − +  =  + − (2-35) 上式即为平衡位置在 0 x 处质元的振动方程，其 0 2 x   －表示平衡位置在 X 轴上不同点处的质元的位相不同。由此可知，由波动方程可以得出平衡位置在任意点处的质元的振动方程。设 X 轴上任意两点，其坐标分别为 1 x 和 2 x ，则平衡位置在这两点处的质元的振动方程分别为 )] 2 cos[ ( 1 1 y A t x   =  +  − 和 )] 2 cos[ ( 2 2 y A t x   =  +  − 它们的位相差为 ( ) 2 ) 2 ) ( 2 ( 2 1 1 2 x x x − x   =   −  −   ＝ － (2-36) 如果两点之间的距离为波长的整数倍即 x − x = k (k 1 2 为整数），则由（2-36）式得 − =     (x x ) 2k 2 ＝ 1 2 即平衡位置在此两点处的质元的振动同相。因此，在波线上，相距为波长整数倍的两点处的质元的振动同相。如果两点之间的距离为半波长的奇数倍即 x − x = k ) (k 2 1 ( 1 2 ＋为整数），则由（2- 36）式得 − = +     ( ) (2 1) 2 1 2 ＝ x x k 即平衡位置在此两点处的质元的振动反相。因此，在波线上，相距为半波长的奇数倍的两点处的质元的振动反相。（2）若给定时间 t ，即 t ＝ 0 t 为常数，这时位移 y 仅为位置坐标 x 的函数，式（2-27）可写成 )] 2 cos[ ( ) ] cos[( ) 0 0 A t x u x y A t   =  − +  =  +  − (2-37) 上式为平衡位置在 X 轴上各质元在 0 t 时刻的位移分布。因此，由波动方程可以得到任意时刻媒质中各质元的位移分布。若以位移 y 为纵轴， x 为横轴，则可以画出 y 随 x 的变化曲线，这样的曲线称为该时刻的波形曲线。（1）若位置和时间同时变化，则（2-27）式表示任意坐标为 x 处质元在任意时刻 t 的位移

值得注意的是：上每（2-27）式到（2-34）式对于无衰减的平面简谐波才适用。例题 3－3 设一平面简谐波在某媒质中沿 X 轴的正向无衰减地传播，已知其波动方程为 ) 4 5cos(200 0.05  y = t − x + cm 求：(1)此波在该媒质中的其周期、频率、波长，振幅和波速。 (2) x =20m 处质元的振动方程。解：（1）将此波的波动方程写成如（2-27）式的形式即为 ] 4 ) 4 10 5cos[200 ( 3  +  =  − x y t cm 将上式与（2-27）式进行比较可得该波的振幅为 A ＝5 cm 角频率为 ＝628 rad/s 波速 v =4×103 m/s 频率 f = 100 2 =   Hz 周期 f T 1 ＝ =0.01s 波长 4 10 0.01 3 ＝v T＝   ＝40m (1) 将 x =20 代入该波动方程得 x =20m 处质点的振动方程为 ) 4 3 ) 5cos(200 4 5cos(200 0.05 20 =  −   y = t −  + t cm 例题 3－4 频率 f 为 12.5KHz 的平面简谐纵波在杨氏模量 E 为 11 2 1.9 10 −  Nm 、密度  为 3 7.610 Kg/m3 的金属媒质中沿 X 轴的负方向无衰减地传播，已知坐标原点 O 处质元的振幅为 0.01 毫米，初位相为 8  。试求（1）坐标原点 O 处质元的振动方程；（2）此简谐波的波动方程；（3）在 X 轴上，坐标为 50 厘米和 40 厘米处两质元的质点位相差；（4）在 t = 0.0042 秒时刻的波形。解：（1）由题意可得，坐标原点 O 处质元振动的频率 f ＝12.5KHz(这由媒质中各质元振动的频率与波的频率相同可得)，振幅为 A ＝0.001mm，初位相  ＝ 8  。由频率 f 得其角频率 4 ＝2f = 2.510 rad/s,故坐标原点 O 处质元振动的振动方程为 ) 8 cos( ) 0.001cos(2.5 104  y = A t + =   t + mm （2）由题意有，媒质的杨氏模量 E ＝ 11 2 1.9 10 −  Nm ，密度  ＝ 3 7.610 Kg/m3，因此波在该媒质中的波速为 3 3 11 5.0 10 7.6 10 1.9 10    =  = ＝ E u m/s 由坐标原点处质元的振动方程、波是沿 X 轴的负方向无衰减的传播以及（2-31）式得，此波在该媒质中传播的波动方程为 ] 5.0 10 8 cos[ ( ) ] 0.001cos[2.5 10 ( 3 4   =  + +  =  + 〕＋ x t u x y A t mm (3) 由（2-36）式得

 − =     = −  − =  − =    (0.5 0.4) 0.5 5.0 10 2 12.5 10 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 3 3 1 2 1 2 1 2 x x u f x x f u ＝ x x (4) 将(2)中所得的波动方程中的时间 t = 0.0042 代入得该时刻的波形为 x x mm x y ) 8 9 ) 0.001cos(5 8 0.001cos(105 5 ] 8 ) 5.0 10 0.001cos[2.5 10 (0.0042 3 4        = + + = + +  =  + 四、简谐波的能量与强度 1、简谐波的能量当波在固性的弹性媒质中传播到某处时，该处原来不振动的媒质质元开始振动起来而具有动能。同时因为该质元是在相邻媒质质元的弹性力作用下振动的，因而该质元必定要发生形变即具有势能。这样随着波的传播其动能和势能即机械能就不断地传播。设一平面简谐纵波沿 X 轴正向以速度 u 在密度为  的媒质中传播，其波动方程为 cos( + )  =  − x u y A t 任取一平衡位置在 X 轴上的质元，其平衡位置处的坐标为 x ,体积为 V ，则该质元的振动方程与上式一样，只是把上中 x 看为定值而已。所以其速度为 sin( + )  = −   − x u v A t 由该质元的质量为 m = V 及上式得其动能为 sin ( ) 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 +   =  =    − x u E mv v t K 2 ＝ V VA (2-38) 该质元的相对形变为 dx dy ,设该固性媒质的杨氏模量为 Y ，则其势能为 sin ( ) 2 [ sin( )] 1 ( ) 2 1 2 2 2 2 2 +     −  = +    −  =  =  x u Y t u x u A t u Y dx dy EP Y 2 VA V 2 V 由  = Y u 得 2 Y＝u ,将其代入上式得 ( ) 2 1 2 2 =    − +  u x E A t P 2 Vsin (2-39) 式（40－39）虽然是从固体中传播纵波时推导出来的，但是对于所有平面简谐波在媒质中传播也同样成立。由式（2-38）和（2-39）可知，在平面简谐波中，各质元的动能和势能具有相同的表达式，随时间作周期性的变化，在任意时刻都具有相同的值，这一点与单个质

元振动的情况是截然不同的。质元的机械能等于其动能和势能之和即有0E=Ek+E,=pVoAsin?(ot-(2-40)x+Φu上式说明，媒质中质元的机械能是时间1和坐标x的二元函数。任意位置的质元的机械能随时间作周期性的变化，其机械能不守恒，这也不同于孤立振动系统，这也说明媒质中任意质元都在不断地接收和传出能量，不同时刻得到的能量和传出的能量不相等。因此波动过程就是能量的传播过程。将（2-40）式与波动方程相比，（2-40）式可看作是频率为波动频率的两倍的周期性变化的能量沿X轴正方向传播，其传播速度与波速相等。2、能量密度为了便于描述波动中媒质的能量，引入能量密度（energydensity）的概念。单位体积的媒质所具有的能量叫波的能量密度，常用表示。由（2-40)时可得E0))+l=pA"’ sin (ot --x +β)= pA’α sin [o(t- -(2-41)6=AVuu由上式可得，波的能量密度也是时间和位置的函数，是随时间作周期性变化的。因此，常用平均能量密度来表示，平均能量密度是在一个周期内能量密度的平均，用含表示。由（2-41）式的平均能量密度为1r71IrT, pA’o’ sin [o(t -) + 0]d = =.edt="2p4'TJoTJ即=04'0(2-42)上式表明，对于平面简谐波来说，波的平均能量密度与媒质的密度、角频率（或频率）的平方和振幅的平方成正比，而与时间和位置无关3、波的强度波动过程中，随着振动状态的传播，能量也在以波的速度传播。媒质中单位时间内通过某一横截面的能量叫能流（energyflux）。在垂直于波的传播方向上取一面积为S的截面，则在一个周期内通过该截面的能量应等于为体积uTS的能量，这段体积的能量为该截面处的能流密度ε与体积为uTS的积，所以通过该截面的能流P为P=uTS(2-43)8=T显然能流与能流密度一样与时间和位置有关，因而引入平均能流即一个周期内能流的平均值，常用P来表示。由平均能流的定义得平均能流为P=eus(2-44)单位时间通过与波的传播方向垂直的单位面积的能量，或通过与波的传播方向垂直的单位面积的能流称为能流密度（energydensity）。能流密度在一个周期内的平均值叫平均能流密度或波的强度（intensitvofwave），常用I表示。根据能流密度和平均能流密度的定义可知，波的强度实际就是通过与波的传播方向垂直的单位面积的平均能流。所以波的强度为P1I==u=pA’"u(2-45)s2从上式可知，波的强度与媒质所密度、波速、振幅的平方和频率（或角频率）成正比。对某

元振动的情况是截然不同的。质元的机械能等于其动能和势能之和即有 sin ( ) 2 2 2 +   = + =    − x u E E E A t K P V (2-40) 上式说明，媒质中质元的机械能是时间 t 和坐标 x 的二元函数。任意位置的质元的机械能随时间作周期性的变化，其机械能不守恒，这也不同于孤立振动系统，这也说明媒质中任意质元都在不断地接收和传出能量，不同时刻得到的能量和传出的能量不相等。因此波动过程就是能量的传播过程。将（2-40）式与波动方程相比，（2-40）式可看作是频率为波动频率的两倍的周期性变化的能量沿 X 轴正方向传播，其传播速度与波速相等。 2、能量密度为了便于描述波动中媒质的能量，引入能量密度(energy density)的概念。单位体积的媒质所具有的能量叫波的能量密度，常用  表示。由(2-40)时可得 sin ( ) sin [ ( ) ] 2 2 2 2 2 2 +  =    − +      −   u x x A t u A t E ＝＝ V (2-41) 由上式可得，波的能量密度也是时间和位置的函数，是随时间作周期性变化的。因此，常用平均能量密度来表示，平均能量密度是在一个周期内能量密度的平均，用  表示。由（2-41）式的平均能量密度为 2 2 2 2 0 2 0 2 1 sin [ ( ) ] 1 1   =    − +  =     dt A u x A t T dt T T T ＝即 2 2 2 1 ＝ A  （2-42）上式表明，对于平面简谐波来说，波的平均能量密度与媒质的密度、角频率（或频率）的平方和振幅的平方成正比，而与时间和位置无关 3、波的强度波动过程中，随着振动状态的传播，能量也在以波的速度传播。媒质中单位时间内通过某一横截面的能量叫能流(energy flux)。在垂直于波的传播方向上取一面积为 S 的截面，则在一个周期内通过该截面的能量应等于为体积 uTS 的能量，这段体积的能量为该截面处的能流密度  与体积为 uTS 的积，所以通过该截面的能流 P 为 uS T uTS P＝  =  (2-43) 显然能流与能流密度一样与时间和位置有关，因而引入平均能流即一个周期内能流的平均值，常用 P 来表示。由平均能流的定义得平均能流为 P＝uS (2-44) 单位时间通过与波的传播方向垂直的单位面积的能量，或通过与波的传播方向垂直的单位面积的能流称为能流密度(energy density)。能流密度在一个周期内的平均值叫平均能流密度或波的强度(intensity of wave)，常用 I 表示。根据能流密度和平均能流密度的定义可知，波的强度实际就是通过与波的传播方向垂直的单位面积的平均能流。所以波的强度为 u A u S P I 2 2 2 1 ＝＝ =   (2-45) 从上式可知，波的强度与媒质所密度、波速、振幅的平方和频率（或角频率）成正比。对某

一媒质来说，媒质的密度和波速是定值，因此波的强度是由波的振幅和频率确定的。从式(2-42)到(2-45)对于所有平面简谐波在媒质中传播均成立4、波的衰减上面讨论的是平面简谐波，在媒质中无衰减地传播时的情况，而在实际中，当简谐波在媒质中传播时，它的强度将随距离的增加而减少，因而其振幅也将减小。其原因为：（1)由于弹性媒质存在内摩擦等原因，波的能量随传播距离的增加而逐渐转化为其它形式的能量，这种现象称为媒质对波的吸收；(2)由于波束的散射、反射、发散等原因，虽然波整体的能量不减少，但能量的分布面积增加，因而强度降低。下面我们对这两种情况进行讨论。（1）平面简谐波在均匀而各向同性的媒质中传播的衰减规律设平面波沿X轴正向传播，在坐标原点处即x=0处的其强度为I。，在x处的强度为I，通过厚度为dx的媒质后，由于媒质的吸收，其强度减弱了一dI，如图2-1016所示。0由实验得出，波的强度减弱量一dl与入射波的强度I和该媒质层的厚度dx成正比，即图4-16平面波的衰减-dl =μldx式中比例系数μ称为媒质的吸收系数（absorptioncoefficient)，它与波的频率和媒质的性质有关。将上式整理的dl-μdx1将上式两边同时积分并将x=0时，I=I。代入得[=loe-w(2-46)公式（2-46)就是布给尔一朗伯定律(Bouguer一Lambertlaw)），它表明了，平面波在媒质中传播时，其强度是按指数衰减的。由（2-45)式可知波的强度与其振幅的平方成正比，若X轴上坐标为x处的质元的振幅为A，坐标原点处质元的振幅为A，则有Ay=1se-H1AoA=Ae即所以，实际上平面简谐波在媒质中的波动方程应为1y= Ape " cos[o(t-=)+ 0](2-47)u(2）球面波简谐波在均匀而各向同性的媒质中传播的规律对于球面波来说，随着传播距离的增大，其球面的不断增大，同时波的强度不断减弱。设该球面波在其半径为r和r,的强度分别为I,和I，，其对应的振幅分别为A,和A,，若不考虑

一媒质来说，媒质的密度和波速是定值，因此波的强度是由波的振幅和频率确定的。从式(2-42)到(2-45)对于所有平面简谐波在媒质中传播均成立 4、波的衰减上面讨论的是平面简谐波，在媒质中无衰减地传播时的情况，而在实际中，当简谐波在媒质中传播时，它的强度将随距离的增加而减少，因而其振幅也将减小。其原因为:(1)由于弹性媒质存在内摩擦等原因，波的能量随传播距离的增加而逐渐转化为其它形式的能量，这种现象称为媒质对波的吸收；(2)由于波束的散射、反射、发散等原因，虽然波整体的能量不减少，但能量的分布面积增加，因而强度降低。下面我们对这两种情况进行讨论。 (1) 平面简谐波在均匀而各向同性的媒质中传播的衰减规律设平面波沿 X 轴正向传播，在坐标原点处即 x =0 处的其强度为 0 I ，在 x 处的强度为 I ，通过厚度为 dx 的媒质后，由于媒质的吸收，其强度减弱了− dI ,如图 2- 16 所示。由实验得出，波的强度减弱量− dI 与入射波的强度 I 和该媒质层的厚度 dx 成正比，即 − dI = Idx 式中比例系数  称为媒质的吸收系数(absorption coefficient),它与波的频率和媒质的性质有关。将上式整理的 dx I dI = − 将上式两边同时积分并将 x =0 时， I ＝ 0 I 代入得 x I I e − ＝ 0 (2-46) 公式(2-46)就是布给尔－朗伯定律(Bouguer－Lambert law)，它表明了，平面波在媒质中传播时，其强度是按指数衰减的。由(2-45)式可知波的强度与其振幅的平方成正比,若 X 轴上坐标为 x 处的质元的振幅为 A ，坐标原点处质元的振幅为 A0 ，则有 x e I I A A − = = 0 2 0 ( ) 即 x A A e −  2 1 ＝ 0 所以，实际上平面简谐波在媒质中的波动方程应为 cos[ ( ) ] 2 1 0    = − + − u x y A e t x (2-47) (2) 球面波简谐波在均匀而各向同性的媒质中传播的规律对于球面波来说，随着传播距离的增大，其球面的不断增大，同时波的强度不断减弱。设该球面波在其半径为 1 r 和 2 r 的强度分别为 1 I 和 2 I ，其对应的振幅分别为 A1 和 A2 ，若不考虑