第九章流体的运动(hydrodynamics)(3学时)本次课主要内容：理想流体，定常流动，连续性方程，柏努利方程及其应用。重点：连续性方程，柏努利方程及其应用。难点：连续性方程，柏努利方程及其应用
第九章 流体的运动 (hydrodynamics) (3学时) 本次课主要内容： 理想流体，定常流动，连续性方程，柏努利方程 及其应用。 重点：连续性方程，柏努利方程及其应用。 难点：连续性方程，柏努利方程及其应用
气体和液体与固体不同，它们没有固定的形状，只要受到很小的力的作用，本身各部分之间就很容易发生相对运动流动性（fluidity）：物质的各部分之间很容易发生相对运动的特性。流体（fluid）：通常把具有流动性的物质称为流体。流体静力学：研究静止流体规律的学科称为流体静力学。流体动力学：研究流体运动规律的学科称为流体动力学。列如，研究水在水管中的流动，煤气在管道中的输送，Ⅲ液和淋巴液的循环以及动物呼吸系统中气体的运动等，均属于流体动力学的范畴因为人体中养分的输送、废物的排除、药物在人体中的吸收等，都要通过血液的循环来完成，所以掌握流体运动的规律是了解人体生理过程的基础
流体静力学：研究静止流体规律的学科称为流体静力学。 流动性（fluidity)：物质的各部分之间很容易发生相对运动的特性。 流体（fluid）: 通常把具有流动性的物质称为流体。 流体动力学：研究流体运动规律的学科称为流体动力学。 气体和液体与固体不同，它们没有固定的形状，只要受到很小的力的作 用，本身各部分之间就很容易发生相对运动。 例如，研究水在水管中的流动，煤气在管道中的输送，血液和淋巴液的 循环以及动物呼吸系统中气体的运动等，均属于流体动力学的范畴。 因为人体中养分的输送、废物的排除、药物在人体中的吸收等，都 要通过血液的循环来完成，所以掌握流体运动的规律是了解人体生理 过程的基础
方法理想流体数学方法应用柏努利方程（理想模型）（理论）水流动基本规律流动性实际流体泊肃叶定律（流动性、可压缩（理论）性、粘性)应用呼吸等）（医学血液的流动
方 法 实际流体 （流动性、可压缩 性、粘性） 理想流体 （理想模型） 柏努利方程 （理论） 流动性 数学方法 基本规律 泊肃叶定律 （理论） 应用 水流动 应用 （医学血液的流动、呼吸等）
$9-1理想流体与定常流动一、理想流体（idealfluid）1.定义没有内摩擦，不可压缩的流体，称为理想流体.（只突出了流体的流动性)2.函数表达式表达方式（1）拉格朗日（Lagrange）法：以无限小的质元（流粒）为研究对象（2）欧拉(Euler)法：以流速的空间分布为研究对象。类似于静电场的研究方法V=f(αxy,z,t)=f(空间，时间）
一、理想流体(ideal fluid ) §9-1 理想流体与定常流动 1.定义 没有内摩擦,不可压缩的流体,称为理想流体.(只突出了流体 的流动性) 2.函数表达式 表达方式（1）拉格朗日(Lagrange)法：以无限小的质 元（流粒）为研究对象。 （2）欧拉(Euler)法：以流速的空间分布为研 究对象。类似于静电场的研究方法。 v = f (x,y,z,t)= f (空间，时间)
3.几何描述流线(streamline)(1)定义任意点的切线方向均与流粒在该点的速度方向一致的曲线。(2) 性质 :（a）任一点在同一时刻流线不能相交（速度仅有一个）。（b）流线的疏密程度代表流速的大小（）一般情况下，流线的形状随时间变化
3.几何描述——流线(stream line) (1)定义 任意点的切线方向均与流粒在该点的速度方向一致的曲线。 （2）性质： （a）任一点在同一时刻流线不能相交（速度仅有一个）。 （b）流线的疏密程度代表流速的大小。 （c）一般情况下，流线的形状随时间变化
二.定常流动（steadyflow）1.定义流体流动时，流动空间各点的速度都不随时间变化，这种流动称为定常流动（或稳定流动）下式可以表示定常流动的特点：v= f(x,y,z)=f(空间)2.性质除具流线的性质（1)（2）外，还具有：(1)流线的形状固定，为流粒的运动轨迹(2）流管（tubeofflow)：在稳定流动的流体中，由许多流线围成的管状区域称为流管。其形状固定，管内外流体不交换将流体划分成很多流管后，只要掌握一个流管中液体运动的规律，整个液体的流动规律也就可以知道了
除具流线的性质(1)(2)外，还具有： 二.定常流动(steady flow) 1.定义 流体流动时,流动空间各点的速度都不随时间变化,这种流动 称为定常流动(或稳定流动). v = f (x, y,z) = f (空间) 下式可以表示定常流动的特点: 2.性质 (1)流线的形状固定，为流粒的运动轨迹。 (2)流管(tube of flow):在稳定流动的流体中，由许多流线围成 的管状区域称为流管。其形状固定，管内外流体不交换。 将流体划分成很多流管后，只要掌握一个流管中液体运动的 规律，整个液体的流动规律也就可以知道了
$9-2连续性方程一.连续性方程的推导（deduceofcontinuityequation）设想流体作稳定流动，在流管中任取两个与管壁垂直的截面S和S，，如图若流体在两截面处的平均速度分别为v和V2△t经过时间4t，则流体流过两截面的体积分别为tSV4和S2V4t。对于作稳定流动的不可压缩VVi的流体来说，在同样时间内流过两截面的流体S1S2的体积应该相等，由此得SV△t = S2V2△tS,v, = S,V2上式称为流体的连续性方程它表明理想流体作稳定流动时，流体流动的速度√与该处流管的截面积S成反比SV=Q体积流量（volumerate）表示在单位时间内流过任一截面的流体的体积。单位：m/s
设想流体作稳定流动，在流管中任取两个与管壁垂直的截面S1和S2，如图。 S1 S2 v1 v2 ∆t ∆t 若流体在两截面处的平均速度分别为v1和v2 ， 经过时间∆t ，则流体流过两截面的体积分别为 S1v1∆t和S2v2∆t 。对于作稳定流动的不可压缩 的流体来说，在同样时间内流过两截面的流体 的体积应该相等，由此得 1 1 2 2 S v = S v 一.连续性方程的推导(deduce of continuity equation) S v t = S v t 1 1 2 2 §9-2 连续性方程 上式称为流体的连续性方程。它表明，理想流体作稳定流动时，流体流 动的速度v与该处流管的截面积S成反比。 表示在单位时间内流过任一截面的流体的体积。单位：m3 /s Sv = Q 体积流量（volume rate）
二.连续性方程的应用（applicationOfcontinuityequation1.分支流管SS,S,Vi= S2V2 + S,V3S32.血管中的流速动脉：截面积小，流速大流速毛细血管：总截面积最大，流速最小。截面积静脉：截面积小，流速较大动脉毛细静脉血管
二.连续性方程的应用(application 0f continuity equation ) 1.分支流管 2.血管中的流速 动脉:截面积小,流速大. 毛细血管:总截面积最大,流速最小. 静脉:截面积小,流速较大. v2 S2 S1 v1 S3 v3 1 1 2 2 3 3 S v = S v + S v
$9-3柏努利方程YY'一、柏努利方程（Bernoullisequation）F2如右图，设有理想流体在重力场中作稳定流动。在一个截面不均XX'V2At4h2匀的流管中，取其中的XY段作为hWAt研究对象。设X处流管的截面积为S，压强为YYP1，流速为v.距离参考水平面的F2高度为h1；设Y处流管的截面积为VAtS2，压强为pz，流速为V,距离参考h2hlv,At水平面的高度为h2。经过时间△t后，流段的位置由XY移到了X'Y。下面分析在这段时间内力对这一流段所作的功，以及由此而引起的机械能的变化
一、柏努利方程(Bernoulli´s equation) 如右图，设有理想流体在重力场 中作稳定流动。在一个截面不均 匀的流管中，取其中的XY段作为 研究对象。 §9-3 柏努利方程 h1 h2 F1 F2 v1∆t X X' v2∆t Y Y' Y h1 h2 F1 F2 v1∆t X X' v2∆t Y' 设X处流管的截面积为S1，压强为 p1，流速为v1 ,距离参考水平面的 高度为h1；设Y处流管的截面积为 S2，压强为p2，流速为v2 ,距离参考 水平面的高度为h2。 经过时间∆t后，流段的位置由XY移到了X'Y'。 下面分析在这段时间内力对这一流段所作的功，以及由此而引起的机械 能的变化
YYI作用于这段流体上的力只有四周流体HF2对它的压力。由于作用于流管侧壁的1XX压力与管壁垂直，不作功。则△内外v,Ath2力作的总功为：hiWAtW = FvAt -F2v2At= pSivAt- p2S2V2AtYY又 S,yAt = S,v,At = VH是包围在XX和YY之间的流体体积。V,Ath2:. W=pV- p2Vv,At整个过程中，流段变化的仅是XX部分被YY部分所代替。二者的质量相等，则动能与重力势能的增量分别为1AE,=mgh -mghmv2my?AEk二22根据功能原理，应有：W = AEk +AE
作用于这段流体上的力只有四周流体 对它的压力。由于作用于流管侧壁的 压力与管壁垂直，不作功。则∆t内外 力作的总功为： h1 h2 F1 F2 v1∆t X X' v2∆t Y Y' Y h1 h2 F1 F2 v1∆t X X' v2∆t Y' 是包围在XX'和YY'之间的流体体积。 整个过程中，流段变化的仅是XX'部分被YY'部分所代替。二者的质量相 等，则动能与重力势能的增量分别为 根据功能原理，应有： W = Fv t − F v t = p S v t − p S v t 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 又 S1v1t = S2v2t =V W = p1V − p2V 2 1 2 2 2 1 2 1 EK = mv − mv Ep = mgh2 − mgh1 W = EK + Ep