三线摆法测刚体的转动惯量一、实验简介转动惯量是刚体转动时惯性的量度，其量值取决于物体的形状、质量、质量分布及转轴的位置。刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。对于几何形状简单、质量分布均匀的刚体可以直接用公式计算出它相对于某一确定转轴的转动惯量。对于任意刚体的转动惯量，通常是用实验方法测定出来的。测定刚体转动惯量的方法很多，通常的有三线摆、扭摆、复摆等。本实验要求学生掌握用三线摆测定物体转动惯量的方法，并验证转动惯量的平行轴定理。二、实验原理H10C图1三线摆结构示意图图2下圆盘的扭转振动1一底座；2一底座上的调平螺丝：3—支杆：4—悬架和支杆连接的固定螺丝；5—悬架6一上圆盘悬线的固紧螺丝；7一上圆盘：8一悬线：9—下圆盘：10待测金属环；
三线摆法测刚体的转动惯量 一、 实验简介 转动惯量是刚体转动时惯性的量度，其量值取决于物体的形状、质量、质量 分布及转轴的位置。刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技 术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。对于几何形状简单、 质量分布均匀的刚体可以直接用公式计算出它相对于某一确定转轴的转动惯量。 对于任意刚体的转动惯量，通常是用实验方法测定出来的。测定刚体转动惯量的 方法很多，通常的有三线摆、扭摆、复摆等。 本实验要求学生掌握用三线摆测定物体转动惯量的方法,并验证转动惯量的 平行轴定理。 二、 实验原理 图 1 三线摆结构示意图 图 2 下圆盘的扭转振动 1—底座；2—底座上的调平螺丝；3—支杆；4—悬架和支杆连接的固定螺丝；5—悬架； 6—上圆盘悬线的固紧螺丝；7—上圆盘；8—悬线；9—下圆盘；10—待测金属环；
当上、下圆盘水平时，将上圆盘绕竖直的中心轴线O,O转动一个小角度，借助悬线的张力使悬挂的大圆盘绕中心轴OO作扭转摆动。同时，下圆盘的质心0将沿着转动轴升降，如上图中右图所示。H是上、下圆盘中心的垂直距离；h是下圆盘在振动时上升的高度；α是扭转角。显然，扭转的过程也是圆盘势能与动能的转化过程。扭转的周期与下圆盘（包括置于上面的刚体）的转动惯量有关。当下圆盘的扭转角α很小时，下圆盘的振动可以看作理想的简谐振动。其势能E.和动能E分别为：(1)E,= mogh(dh)11(a+1mE=(2)m.210dt2dt式中m。是下圆盘的质量，g为重力加速度，h为下圆盘在振动时上升的高度，崇为下圆盘质心的速度，1,为圆盘对 0,0轴的转动惯量。da=の为圆频率，dtdt若忽略摩擦力的影响，则在重力场中机械能守恒： (dh)?(dα)"1(3)+mogh=恒量mol(dt)"（dt)32因下圆盘的转动能远大于上下运动的平动能，于是近似有(da)?(4)+mogh=恒量2dt.Rra?h=(5)又通过计算可得：2H将（5）代入（4）并对t求导，可得：d'α_-mogRro(6)dt?I.H
当上、下圆盘水平时，将上圆盘绕竖直的中心轴线O1O 转动一个小角度,借助 悬线的张力使悬挂的大圆盘绕中心轴O1O作扭转摆动。同时，下圆盘的质心 1 O 将 沿着转动轴升降，如上图中右图所示。H 是上、下圆盘中心的垂直距离；h 是下 圆盘在振动时上升的高度；α是扭转角。显然，扭转的过程也是圆盘势能与动能 的转化过程。扭转的周期与下圆盘（包括置于上面的刚体）的转动惯量有关。 当下圆盘的扭转角α很小时，下圆盘的振动可以看作理想的简谐振动。其势 能 Ep 和动能 Ek 分别为： p 0 E m gh = （1） 2 2 0 0 1 1 ( ) () 2 2 k d dh EI m dt dt α = + （2） 式中 0 m 是下圆盘的质量，g 为重力加速度，h 为下圆盘在振动时上升的高度， ω α = dt d 为圆频率， dt dh 为下圆盘质心的速度，I 0为圆盘对 O1O 轴的转动惯量。 若忽略摩擦力的影响，则在重力场中机械能守恒： + = 恒量 + m gh dt dh m dt d 0 2 0 2 0 2 1 I 2 1 α （3） 因下圆盘的转动能远大于上下运动的平动能，于是近似有 + = 恒量 m gh dt d 0 2 0 I 2 1 α （4） 又通过计算可得： H Rr 2 h 2 α = （5） 将（5）代入（4）并对 t 求导，可得： α α I H m gRr dt 0 0 2 2 d = − （6）
该式为简谐振动方程，可得方程的解为o"_mogRr(7)IoH4元2_mogRr2元，因振动周期T。=3代入上式得：0T?I.HmogRr。=故有：(8)64元H由此可见，只要准确测出三线摆的有关参数m。、R、『、H和T。，就可以精确地求出下圆盘的转动惯量I。。如果要测定一个质量为m的物体的转动惯量，可先测定无负载时下圆盘的转动惯量I。，然后将物体放在下圆盘上，并注意，必须让待测物的质心恰好在仪器的转动轴线上。测定整个系统的转动周期T，则系统的转动惯量I，可由下式求出：I, -(mgtm)err:(9)4元H式中H,为放了待测物之后的上、下圆盘间距，一般可以认为H，～H。待测物的转动惯量1为：1-1- - - m (10)用这种方法，在满足实验要求的条件下，可以测定任何形状物体的转动惯量。用三线摆可以验证转动惯量的平行轴定理。物体的转动惯量取决于物体的质量分布以及相对于转轴的位置。因此，物体的转动惯量随转轴不同而改变，转轴可以通过物体内部，也可以通过物体外部。根据平行轴定理，物体对于任意轴的转动惯量I，等于通过此物体以质心为轴的转动惯量I。加上物体质量m与两轴间距离d平方的乘积，写成：
该式为简谐振动方程，可得方程的解为： I H m gRr 0 2 0 ω = （7） 因振动周期 ω 2π T0 = ，代入上式得： I H m gRr T 0 0 2 0 2 4 = π 故有： 0 2 0 0 2 4 m gRr I T π H = （8） 由此可见，只要准确测出三线摆的有关参数m0 、R、r、H 和T0，就可以精确地 求出下圆盘的转动惯量 0 I 。 如果要测定一个质量为 m 的物体的转动惯量，可先测定无负载时下圆盘的转 动惯量 0 I ，然后将物体放在下圆盘上，并注意，必须让待测物的质心恰好在仪器 的转动轴线上。测定整个系统的转动周期T1 ，则系统的转动惯量 1 I 可由下式求出： ( ) 2 1 1 2 0 1 4 I T H m m gRr π + = （9） 式中H 1为放了待测物之后的上、下圆盘间距，一般可以认为H 1 ≈ H 。待测物的 转动惯量 I 为： [( ) ] 2 0 0 2 1 0 2 0 1 4 I I m m T m T H gRr = − I = + − π （10） 用这种方法，在满足实验要求的条件下，可以测定任何形状物体的转动惯量。 用三线摆可以验证转动惯量的平行轴定理。物体的转动惯量取决于物体的质 量分布以及相对于转轴的位置。因此，物体的转动惯量随转轴不同而改变，转轴 可以通过物体内部，也可以通过物体外部。根据平行轴定理，物体对于任意轴的 转动惯量 a I ，等于通过此物体以质心为轴的转动惯量 c I 加上物体质量 m 与两轴 间距离 d 平方的乘积，写成：
(11)Ia= I。+md通过改变待测物体质心与三线摆中心转轴的距离，测量I，与d?的关系便可验证转动惯量的平行轴定理。三、实验内容1．了解三线摆原理以及有关三线摆实验器材的知识2.用三线摆测量圆环的转动惯量，并验证平行轴定理（1）测定仪器常数H、R、r恰当选择测量仪器和用具，减小测量不确定度。自拟实验步骤，确保三线摆上、下圆盘的水平，使仪器达到最佳测量状态。（2）测量下圆盘的转动惯量三线摆上方的小圆盘，使其绕自身转动一个角度，借助线的张力使下圆盘作扭摆运动，而避免产生左右晃动。自己拟定测量下圆盘转动惯量的方法。(3）测量圆环的转动惯量下圆盘上放上待测圆环，注意使圆环的质心恰好在转动轴上，测量圆环的质量和内、外直径。利用公式求出圆环的转动惯量。（4）验证平行轴定理将质量和形状尺寸相同的两金属圆柱体对称地放在下圆盘上。测量圆柱体质心到中心转轴的距离。计算圆柱体的转动惯量。四、实验仪器三线摆，米尺，游标卡尺，电子停表等，整体图如下：
2 I a = I c + md （11） 通过改变待测物体质心与三线摆中心转轴的距离，测量 a I 与 2 d 的关系便可验证 转动惯量的平行轴定理。 三、 实验内容 1. 了解三线摆原理以及有关三线摆实验器材的知识 2. 用三线摆测量圆环的转动惯量，并验证平行轴定理 （1） 测定仪器常数 H、R、r 恰当选择测量仪器和用具，减小测量不确定度。 自拟实验步骤，确保三线 摆上、下圆盘的水平，使仪器达到最佳测量状态。 （2） 测量下圆盘的转动惯量 三线摆上方的小圆盘，使其绕自身转动一个角度，借助线的张力使下圆盘作 扭摆运动，而避免产生左右晃动。 自己拟定测量下圆盘转动惯量的方法。 （3） 测量圆环的转动惯量 下圆盘上放上待测圆环，注意使圆环的质心恰好在转动轴上，测量圆环的质 量和内、外直径。 利用公式求出圆环的转动惯量。 （4） 验证平行轴定理 将质量和形状尺寸相同的两金属圆柱体对称地放在下圆盘上。测量圆柱体质 心到中心转轴的距离。计算圆柱体的转动惯量。 四、 实验仪器 三线摆，米尺，游标卡尺，电子停表等，整体图如下：
三线摆的整体图三线摆：双击整体图中的三线摆，出现三线摆的界面。三线摆包含圆柱体，圆环，水平仪等，如下图所示。将水平仪分别拖动到三线摆支架上方和下圆盘中，测量三线摆是否水平，如下图：
三线摆的整体图 三线摆： 双击整体图中的三线摆，出现三线摆的界面。三线摆包含圆柱体，圆环，水 平仪等，如下图所示。 将水平仪分别拖动到三线摆支架上方和下圆盘中，测量三线摆是否水平，如 下图：
调节三线摆支架上方水平图调节三线摆下圆盘水平图通过三线摆支架下方两个调节旋钮调节支架上方水平，三线摆上圆盘上方的六个旋钮调节下圆盘水平。当调节下圆盘的水平时，要先将水平调节开关打开。放置物品：用鼠标拖动圆柱体和圆环，放在三线摆的下圆盘中，如下图当放置第二个圆柱体时，第二个圆柱体会自动找到与第一个圆柱体对称的位置
调节三线摆支架上方水平图 调节三线摆下圆盘水平图 通过三线摆支架下方两个调节旋钮调节支架上方水平，三线摆上圆盘上方的 六个旋钮调节下圆盘水平。当调节下圆盘的水平时，要先将水平调节开关打开。 放置物品：用鼠标拖动圆柱体和圆环，放在三线摆的下圆盘中，如下图： 当放置第二个圆柱体时，第二个圆柱体会自动找到与第一个圆柱体对称的位 置
放置圆环时，圆环会自动找到在下圆盘中的对称位置。当放置好两圆柱体或者圆环，通过拖动上圆盘上的转动图标，选择合适的转动角度，来转动三线摆；圆柱体、圆环、下圆盘的质量分别是200.0g、385.5g和358.5g。米尺：双击实验桌上米尺小图标，可弹出米尺的主窗体。如下图：选择测量内容上固盘悬点之间的距高上下圆盘之间的钜离O下固盘悬点之润的距高
放置圆环时，圆环会自动找到在下圆盘中的对称位置。当放置好两圆柱体 或者圆环，通过拖动上圆盘上的转动图标，选择合适的转动角度，来转动三线 摆；圆柱体、圆环、下圆盘的质量分别是 200.0g、385.5g 和 358.5g。 米尺： 双击实验桌上米尺小图标，可弹出米尺的主窗体。如下图：
米尺的主界面在主界面的右侧，可以选择不同的测量内容1）选择测量上圆盘悬点之间的距离，如下图：上圆盘悬点之间的距离可以上下、左右拖动米尺测量不同悬点之间的距离。2）选择测量上下圆盘之间的距离，出现下面的测量界面：米凡选挥测量内存上四盘基点之间的距商上下留盘之间的距离○下置盘悬点之间的耗商测量上下圆盘之间的距离可以通过拖动左边白色区域来改变中间放大的米尺的视角；也可以上下
米尺的主界面 在主界面的右侧，可以选择不同的测量内容 1）选择测量上圆盘悬点之间的距离，如下图： 上圆盘悬点之间的距离 可以上下、左右拖动米尺测量不同悬点之间的距离。 2）选择测量上下圆盘之间的距离，出现下面的测量界面： 测量上下圆盘之间的距离 可以通过拖动左边白色区域来改变中间放大的米尺的视角；也可以上下
拖动中间放大的米尺，改变米尺的上下位置。3）点击测量下圆盘悬点之间的距离，出现下面的界面：米尺量下阅盘相邻品点之闯的臣高最点A,B的距离照点B，C的距离总点A，C的昆离晟点慰点退点！3678下圆盘悬点之间的距离上方可以选择不同的测量内容；可以左右拖动米尺的位置，也可以左右拖动米尺上方的矩形框放大显示米尺的读数。秒表：双击整体图中的秒表，出现秒表的主视图，如下图：电子秒表xSOLAR23:3183ALARMICHRONOGRAPH
拖动中间放大的米尺，改变米尺的上下位置。 3） 点击测量下圆盘悬点之间的距离，出现下面的界面： 下圆盘悬点之间的距离 上方可以选择不同的测量内容；可以左右拖动米尺的位置，也可以左右拖动 米尺上方的矩形框放大显示米尺的读数。 秒表： 双击整体图中的秒表，出现秒表的主视图，如下图：
操作提示：鼠标点击开始暂停按钮可以开始或者暂停计时鼠标点击复位按钮可以对秒表复位。游标卡尺：双击桌面上的游标卡尺，出现游标卡尺的主视图，如下图：点击开始测量按钮，会出现待测物栏，如下图潜标卡尺特测物体主尺就度18右击锁定按钮，打开游标卡尺，拖动下爪一段距离；将圆环从待测物栏中拖动到两爪之间，松下鼠标，待测物会放在合适的位置，如下图：
操作提示： 鼠标点击开始暂停按钮可以开始或者暂停计时,鼠标点击复位按钮可以对秒 表复位。 游标卡尺: 双击桌面上的游标卡尺，出现游标卡尺的主视图，如下图： 点击开始测量按钮，会出现待测物栏，如下图 右击锁定按钮，打开游标卡尺，拖动下爪一段距离；将圆环从待测物栏中拖 动到两爪之间，松下鼠标，待测物会放在合适的位置，如下图：