山东大学：《生物医学信号处理 Biomedical Signal Processing》精品课程教学资源（PPT课件讲稿）Chapter 04 Sampling of Continuous-Time Signals

Chapter 4:Sampling of Continuous-Time Signals 4.0 Introduction 4.1 Periodic Sampling 4.2 Frequency-Domain Representation of Sampling 4.3 Reconstruction of a Bandlimited Signal from its Samples 4.4 Discrete-Time Processing of Continuous- Time signals 4.5 Continuous-time Processing of Discrete- Time Signal 2

2 Chapter 4: Sampling of Continuous-Time Signals 4.0 Introduction 4.1 Periodic Sampling 4.2 Frequency-Domain Representation of Sampling 4.3 Reconstruction of a Bandlimited Signal from its Samples 4.4 Discrete-Time Processing of Continuous￾Time signals 4.5 Continuous-time Processing of Discrete￾Time Signal

4.0Introduction Discrete-Time Processing of Continuous-Time signals >Continuous-time signal processing can be implemented through a process of sampling, discrete-time processing,and the subsequent reconstruction of a continuous-time signal. C/D Discrete-time D/C x(n] system y[n] T 下：sampling period xn,1/:sampling frequency (rate)in Hz -oK<n<oo 2,=2π/T,(rad/s) sampling frequency(rate)in radians/s 3

and the subsequent reconstruction of a continuous-time signal. 3 4.0 Introduction ➢Continuous-time signal processing can be implemented through a process of sampling,   ( ), f=1/T: sampling frequency (rate) in Hz x n x nT c n = −   =s 2 , /  T rad s ( ) T: sampling period discrete-time processing, Discrete-Time Processing of Continuous-Time signals sampling frequency(rate) in radians/s

C/D converter Unit 00 4.1 Periodic impulse s(0=∑6t-nT) traim Sampling 1=-o0 单位冲激串 Conversion from impulse train x(0 to discrete-time x(n]=xc(nT) Continuous- sequence time signal impulse train sampling T=T1 x( x,(4)=x(☑）∑δ(t-nT) (冲激串采样) n= 4T-27 2T4工 T =∑x.(nT)ò(t-nT） x(n] n=-00 sampling period x[n]=x(nT) Sampling sequence -2-101234 (采样序列) 4

4 ( ) n  t nT  =− = −  4.1 Periodic Sampling Continuous￾time signal Unit impulse train ( ) ( ) c n x nT  t nT  =− = −  ( ) ( ) ( ) s c n x t t nT x t   =− = −  [ ] ( ) c x n = x nT impulse train sampling T: t sampling period n 单位冲激串 Sampling sequence (采样序列) (冲激串采样)

4.2 Frequency-Domain Representation of Sampling 单位冲激串的傅立叶变换：S2)-2平∑δ2-k2) T:sample period;fs=1/T:sample rate;s-2/T:sample rate s()为单位冲激串函数，可展开傅立叶级数 sG∑ot-n0=之aenr=72e2w s(t) tycoidi- Is() ejkS2stF→2π6(S2-k2s) 2π +S(j2) sU0)2平∑s0-k2) 2π 2π T T 5

5 T：sample period; fs=1/T:sample rate;Ωs=2π/T:sample rate ( ) ( ) n s t t nT   =− = −  ( ) ( ) 2 s k S j k T    =−  = −   ( ) ( ) 2 s k S j k T    =−  = −   k k a e jk ts  =−  = s(t)为单位冲激串函数，可展开傅立叶级数 1 k s jk t T e  =−  =  2 ( ) F s jk ts e  k  → −  -T 1 t 0 T s t( ) … … / 2 / 2 ( ) 1 1 s T jk t k T a e dt T T  t + −  − = =   0 S j ( )  … … 2 T  2 T 2  T  − 单位冲激串的傅立叶变换： 4.2 Frequency-Domain Representation of Sampling s t( )

4.2 Frequency-Domain Representation of Sampling s0)∑δt-nsU22牙∑2-k2) x(④=x.0s0=x0∑6t-nI)-∑x6-n) (冲激串采样) xn X.-sx.U(-0do 利用调制性质：时域相乘， =2元2妥立0-2)xUQ-00 频域卷积，来求X,(2) =号260-k0)X0Q-6do=7ΣX(-kD》 X(2)的周期延拓 then represent X(ei)of x[n] xe(t) x(t in terms of x,(j). -4-3-2-101234 -2T-T 0 T 2T

( ) ( ) ( ) 1 * 2 X j X j S j s c   =   c c ( ) ( ) ( ) ( ) n n x t t nT x nT t nT     =− =− = − = −   6 4.2 Frequency-Domain Representation of Sampling x n[ ] ( ) ( ) n s t t nT   =− = −  x t x t s t s c ( )= ( ) ( ) ( ) ( ) FT 2 s k S j k T    =− ⎯→ = −     ( ( )) 1 c k X j k s T  =− =   −  then represent of x[n] in terms of . X j s ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 2 s c k k j d T    X     =−  − =   −  −  ( ) ( ) 1 ( ) s c k X j T    k d   − =− =   −  −  ( ) ( ) 1 ( ) 2 S j X j   c d    − = −  ( ) j X e  利用调制性质:时域相乘, 频域卷积,来求 ( ) X j s  X j c ( ) 的周期延拓 (冲激串采样)

Representation of X(e)in terms of X,(j),X.(j) impulse train sampling x,(t)=x(t)s(t)=>x.(nT)(t-nT) 用连续时间傅里叶变换定义求X(①) X.(j2)-x(nT)(-nT)edt =x(nT)J6(-nT)edt -oo=-0 =∑x.(nT)en let xn]=x(nT),T=@ o:digital frequency数字角频率，rad DTFT 2:analog frequency模拟角频率，rad/s =之nile-jom=-Xem)）=X(en =x.U2-7∑x.U2-k2》 是X(2) 的周期延拓 三-00 Sampling frequency采样频率，rad/s 7

[ ] ( ) j n j n x n e X e    =− − = =  7 s c ( ) c ( ) ( ) ( ) ( ) n x t x n x t s t T t n  T  =− = = − c ( ) n j Tn x nT e  =− −  = ( ) c ( ) ( ) n s j t X j x nT t  nT e dt  =−  −  −   =  −  let [ ] ( ), x n x nT = c  =T  DTFT Representation of in terms of , ( ) j X e  X j s ( ) X j c ( ) 2 , s T   =( ) ( ( )) 1 s c s k X j T X j k  =− =   =  −  Sampling frequency 采样频率, rad/s 用连续时间傅里叶变换定义求 X j s ( )  : 是 X j c ( ) 的周期延拓 ( ) j T X e  = ( ) ( ) j t c n x Tn  t nT e dt  =−  −   − = −   ω: digital frequency数字角频率, rad Ω: analog frequency模拟角频率, rad/s 冲激串采样) impulse train sampling

连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系 ◆在奥本海姆的《信号与系统》 教材里，在“第7章采样” 内容之前，连续时间傅里叶变换X(Go),和离散时间傅里 叶变换X(eo)中涉及的频率都用相同的频率符号o表示， 各自独立叙述没有加以区分。 X(eo)=∑nen XU而)=∫x(0e'd, n=-o0 但要注意频率的单位，一个是rad,另一个是rad/s;另外， 频率高低与o取值范围的关系：连续时间傅里叶变换 X(G@)中的ω值越大，频率越高；但是离散时间傅里叶变 换Xo)中的o值越大，频率却未必越高：X(o中的o的 值是π的奇数倍的时候，表示频率最高；ω的值是π的偶数 倍的时候，表示频率最低。 另外注意连续时间和离散时间的傅里叶变换是否具有 周期性：X()具有周期性，周期2π。 XGoj不具有周期性

( ) [ ] , n j j n X x n e e    =− − =  连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系 ◆在奥本海姆的《信号与系统》教材里, 在 “第7章 采样” 内容之前，连续时间傅里叶变换X(jω), 和离散时间傅里 叶变换X(ejω)中涉及的频率都用相同的频率符号ω表示, 各自独立叙述没有加以区分。 8 ( ) , ( ) j t X j x t e dt    − − =  但要注意频率的单位, 一个是rad, 另一个是rad/s; 另外, 频率高低与ω取值范围的关系：连续时间傅里叶变换 X(jω)中的ω值越大, 频率越高；但是离散时间傅里叶变 换X(e jω)中的ω值越大, 频率却未必越高：X(e jω)中的ω的 值是π的奇数倍的时候, 表示频率最高; ω的值是π的偶数 倍的时候, 表示频率最低。 另外注意连续时间和离散时间的傅里叶变换是否具有 周期性: X(e jω)具有周期性, 周期2π。X(jω)不具有周期性

连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系 奥本海姆《信号与系统》在“第7章采样的7.4 Discrete- Time Processing of Continuous-time Signals'”一节中，因对连续 时间信号x()进行采样（得到c[n),在分析频谱时需要同 时涉及到连续时间信号的傅里叶变换和离散时间序列的 傅里叶变换。 这是两种不同的傅里叶变换，必须加以区分(7.4区分为： Ω是数字频率，Q是模拟频率)，因为两种傅里叶变换的 频谱特性，特别是频率的高低变化和周期性的有无，如上 页所述，各有不同。 X(ea)=∑xnej2n, x(Uo吵jx0eh 1h=-00 ◆(7.4节从535页的最后一段开始)特别将两种傅里叶变换 中的频率符号加以区分（仅7.4一节，其他章节没有区分）：

( ) [ ] , d d n j j n X x n e e  =  − −  = 9 ( ) , ( ) j t X j x t e dt c c    − − =  ◆奥本海姆《信号与系统》在“第7章采样”的“7.4 Discrete￾Time Processing of Continuous-time Signals”一节中, 因对连续 时间信号xc (t)进行采样(得到xd [n]), 在分析频谱时需要同 时涉及到连续时间信号的傅里叶变换和离散时间序列的 傅里叶变换。 ◆这是两种不同的傅里叶变换, 必须加以区分(7.4区分为: Ω是数字频率, ω是模拟频率)，因为两种傅里叶变换的 频谱特性, 特别是频率的高低变化和周期性的有无, 如上 页所述, 各有不同。 连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系 ◆(7.4节从535页的最后一段开始)特别将两种傅里叶变换 中的频率符号加以区分(仅7.4一节, 其他章节没有区分):

连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系 X,emy=∑xmn,X.Uo」x0eodt, ◆通过对冲激串采样x,()=x()s()进行变换，将两种不同的 傅里叶变换联系了起来，不但两种变换的变换结果可建立 起表达式关系，而且两种变换的自变量频率之间也存在 比例关系：2=0T,2是数字频率，o是模拟频率。 X,e7∑X(Uo-ko》 信号与系统》 第7章7.4节中的538页最上面一段解释了 该比例关系=oT:用“4.3-5 Time and Frequency Scaling”性质解释：时间上采样，即乘1T:t/T,则频域上 乘T,即2=0T fx(t)FX(o),then z(at)←→ a 10

10 ◆通过对冲激串采样 进行变换, 将两种不同的 傅里叶变换联系了起来,不但两种变换的变换结果可建立 起表达式关系, 而且两种变换的自变量频率之间也存在 比例关系: Ω=ωT, Ω是数字频率, ω是模拟频率。 连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系 ( ) [ ] , d d n j j n X x n e e  =  − −  = ( ) , ( ) j t X j x t e dt c c    − − =  ( ( )) 1 ( ) j d c s k X e X j k T     =− = −  信号与系统》第7章7.4节中的538页最上面一段解释了 该比例关系Ω=ωT: 用“4.3-5 Time and Frequency Scaling” 性质解释: 时间上采样, 即乘1/T: t/T, 则频域上 乘T, 即Ω=ωT 。 x t x t s t s c ( )= ( ) ( ) If , then

连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系 奥本海姆《信号与系统》在“第7章采样”的“7.4 Discrete-Time Processing of Continuous-time Signals"- 节中，两种傅里叶变换的表示方法： X,(e)=∑xdnle jom, X.Uoy∫x0erdh, 这与奥本海姆《离散时间信号处理》教材中用的频率符 号正好相反（该教材中数字频率0=2T,2是模拟频率）： X(e）=∑m,XU2y∫0edt, =-o0 11

11 奥本海姆《 信号与系统》在 “第7章 采样”的“7.4 Discrete-Time Processing of Continuous-time Signals”一 节中, 两种傅里叶变换的表示方法: 这与奥本海姆《离散时间信号处理》教材中用的频率符 号正好相反(该教材中数字频率ω=ΩT, Ω是模拟频率): ( ) [ ] , n j j n X x n e e    =− − = ( ) , ( ) j t X j x t e dt   − −  =  ( ) [ ] , d d n j j n X x n e e  =  − −  = ( ) , ( ) j t X j x t e dt c c    − − =  连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换间的联系