量子力学讲义 张永德 九九七.九
量子力学讲义 张永德 一九九七．九
第一章量子力学的物理基础 §1实验基础 第一组实验 光的粒子性实验 2,第二组实验——粒子的波动性实验 §12基本观念 l, de broglie关系式与波粒二象性 2,波粒二象性的初步分析 3, de broglie波的初步分析 4,波粒二象性的再分析 某些基本推论 §13测不准关系 1, Heisenberg测不准关系 2,进一步解释及某些应用 §14量子力学的基本假设 公设—一波函数公设 2,第二公设 算符公设 3,第三公设 测量公设 4,第四公设 微观体系动力学演化公设 5,第五公设 全同性原理公设 6,公设应用举例 广义测不准关系推导 第二章 Schrodinger方程的一般讨论 §2.1Sc/ redinger方程 §2.,2 Schrodinger方程基本性质讨论 1,线性性质与态叠加原理 2,几率流与几率的定域守恒 3,稳定势场下 Schrodinger方程的一般解 4,势场奇点和界面处波函数的一般行为 5,能量平均值下限问题 6,能谱分界点问题 7,本征函数族完备性与能量可观测性问题 §2.,2 Schrodinger方程向经典力学的过渡 1,h→0过渡方式 2,取平均值过渡方式 §2.2力学量期望值的运动方程和对易子计算 1,力学量期望值的运动方程 2,对易子运算 第三章维问题 维定态的一些特例
第一章 量子力学的物理基础 §1.1 实验基础 1, 第一组实验 —— 光的粒子性实验 2, 第二组实验 —— 粒子的波动性实验 §1.2 基本观念 1, de Broglie 关系式与波粒二象性 2, 波粒二象性的初步分析 3, de Broglie 波的初步分析 4, 波粒二象性的再分析 —— 某些基本推论 §1.3 测不准关系 1, Heisenberg 测不准关系 2, 进一步解释及某些应用 §1.4 量子力学的基本假设 1, 第一公设 —— 波函数公设 2, 第二公设 —— 算符公设 3, 第三公设 —— 测量公设 4, 第四公设 —— 微观体系动力学演化公设 5, 第五公设 —— 全同性原理公设 6, 公设应用举例 —— 广义测不准关系推导 第二章 Schro&&dinger 方程的一般讨论 §2.1 Schro&&dinger 方程 §2.2 Schro&&dinger 方程基本性质讨论 1, 线性性质与态叠加原理 2, 几率流与几率的定域守恒 3, 稳定势场下 Schro&&dinger 方程的一般解 4, 势场奇点和界面处波函数的一般行为 5, 能量平均值下限问题 6, 能谱分界点问题 7, 本征函数族完备性与能量可观测性问题 §2.2 Schro&&dinger 方程向经典力学的过渡 1, h → 0过渡方式 2, 取平均值过渡方式 §2.2 力学量期望值的运动方程和对易子计算 1, 力学量期望值的运动方程 2, 对易子运算 第三章 一维问题 §3.1 一维定态的一些特例
维量子谐振子问题 2,一维势垒透射问题 3,一维周期势( Kronig- Penney势)问题 4,均匀势场中的运动 §3,2一维定态的一般讨论 本征函数族完备性定理 2,東缚态存在定理 3,无简并定理 4,零点定理 维高斯波包的自由演化 第四章中心场定态问题 §41前言 §42轨道角动量及其本征函数 §4.3几个一般分析 1,m量子数简并的离心势 2,径向波函数r→>0的边界条件 3,径向解的完备性问题 4,粒子回转的角动量和波尔磁子 §4.4球方势阱问题 束缚态问题 2,无限深球方势阱问题 3,自由粒子球面波解 4,非東缚态问题 §4.5库仑场——氢原子问题 1, Schrodinger方程及其求解 2,讨论 §46三维各向同性诸振子问题 1, Schrodinger方程及其求解 2,讨论 第五章表象与表示 S51幺正变换和反幺正变换 1,幺正算符定义 2,幺正算符的性质 3,幺正变换 4,反幺正变换 §5,2表象概念 1,波函数的标记和分类 2,量子力学的表象概念 3,几种常用的表象 S5.3量子力学的Drc符号表示
1, 一维量子谐振子问题 2, 一维势垒透射问题 3, 一维周期势（Kronig-Penney 势）问题 4, 均匀势场中的运动 §3.2 一维定态的一般讨论 1, 本征函数族完备性定理 2, 束缚态存在定理 3, 无简并定理 4, 零点定理 §3.3 一维高斯波包的自由演化 第四章 中心场定态问题 §4.1 前言 §4.2 轨道角动量及其本征函数 §4.3 几个一般分析 1, m 量子数简并的离心势 2, 径向波函数 r → 0 的边界条件 3, 径向解的完备性问题 4, 粒子回转的角动量和波尔磁子 §4.4 球方势阱问题 1, 束缚态问题 2, 无限深球方势阱问题 3, 自由粒子球面波解 4, 非束缚态问题 §4.5 库仑场 —— 氢原子问题 1, Schro&&dinger 方程及其求解 2, 讨论 §4.6 三维各向同性谐振子问题 1, Schro&&dinger 方程及其求解 2, 讨论 第五章 表象与表示 §5.1 幺正变换和反幺正变换 1, 幺正算符定义 2, 幺正算符的性质 3, 幺正变换 4, 反幺正变换 §5.2 表象概念 1, 波函数的标记和分类 2, 量子力学的表象概念 3, 几种常用的表象 §5.3 量子力学的 Dirac 符号表示
1, Dirac符号 2, Dirac符号的一些应用 3,关于Diac符号的一个注记 54 Wigner定理 wigner定理 S55量子力学的路径积分表示 1,传播子与 Feynman公设 2,和 Schrodinger方程的等价性 3,传播子U(G,;,t0)的再研究 4,路径积分计算之 自由粒子情况 5,路径积分计算之二一—谐振子情况 §56非惯性系中的量子力学 1,等效原理 2, Schrodinger方程的广义 Galilean变换 3,COW实验 4,引力红移 第六章对称性及其应用 般叙述 1,对称性的含义 2,量子力学中的对称性 3,对称性与守恒律及守恒量 §62时空对称性及其应用 1,时间均匀性和能量守恒定律 2,空间均匀性和动量守恒定律 3,空间各向同性和角动量守恒定律 4,空间反射对称性和宇称守恒 5,时间反演对称性 §63内桌对称性 1,同位旋空间旋转对称性和同位旋守恒 2,微观粒子全同性原理 第七章电子自旋角动量 §71电子自旋角动量 电子自旋的实验基础和其特点 2,电子自旋态的表示法 3,自旋算符与PaM矩阵 4,例算 5,自旋态的极化矢量与投影算符
1, Dirac 符号 2, Dirac 符号的一些应用 3, 关于 Dirac 符号的一个注记 §5.4 Wigner 定理 1, Wigner 定理 2, 讨论 §5.5 量子力学的路径积分表示 1, 传播子与 Feynmann 公设 2, 和 Schro&&dinger 方程的等价性 3, 传播子 ( ) 0 0 r,t;r ,t r U r 的再研究 4, 路径积分计算之一 —— 自由粒子情况 5, 路径积分计算之二 —— 谐振子情况 §5.6 非惯性系中的量子力学 1, 等效原理 2, Schro&&dinger 方程的广义 Galilean 变换 3, COW 实验 4, 引力红移 第六章 对称性及其应用 §6.1 一般叙述 1, 对称性的含义 2, 量子力学中的对称性 3, 对称性与守恒律及守恒量 §6.2 时空对称性及其应用 1, 时间均匀性和能量守恒定律 2, 空间均匀性和动量守恒定律 3, 空间各向同性和角动量守恒定律 4, 空间反射对称性和宇称守恒 5, 时间反演对称性 §6.3 内禀对称性 1, 同位旋空间旋转对称性和同位旋守恒 2, 微观粒子全同性原理 第七章 电子自旋角动量 §7.1 电子自旋角动量 1, 电子自旋的实验基础和其特点 2, 电子自旋态的表示法 3, 自旋算符与 Pauli 矩阵 4, 例算 5, 2 1 自旋态的极化矢量与投影算符
§72自旋角动量与轨道角动量的耦合 1,S与L的合成 2,角动量的升降算符 3,自旋一轨道耦合作用与碱金属原子光谱的双线结构 4,耦合表象与无耦合表象基矢的相互展开 §73两个自旋角动量的耦合 1,自旋单态和自旋三重态 2,两套基矢 耦合表象基和无耦合表象基 3,例算 4,自旋交换算符 第八章电磁作用问题 S8电磁场下的 Schrodinger方程 1,最小电磁耦合原理及电磁场下的 Schrodinger方程 2,方程的某些考察 §82均匀磁场下粒子的运动—无自旋情况 1,均匀磁场下不考虑自旋的中心场 Schrodinger方程 3,均匀磁场下自由带电粒子运动 §8.3均匀磁场下自由中性带磁矩粒子的运动 自旋情况之 1,中子极化矢量在磁场中的进动 2,中子的旋量迭加与干涉 中子干涉量度学 s84均匀磁场下束缚粒子的运动 自旋情况之二 1,均匀磁场下自旋粒子中心场 Schrodinger方程求解 2,讨论 S8.5 Aharonoy-Bohn效应 1,磁AB效应 2,向电磁AB效应的推广 3,几点讨论 S86超导量子理论基础 超导体中的流密度与 London方程 2, Meissner效应 通量子化及磁荷 4,超导 Josephson结的AB效应 第九章定态微扰论
§7.2 自旋角动量与轨道角动量的耦合 1, S 与 的合成 r L r 2, 角动量的升降算符 3, 自旋 — 轨道耦合作用与碱金属原子光谱的双线结构 4, 耦合表象与无耦合表象基矢的相互展开 §7.3 两个 2 1 自旋角动量的耦合 1, 自旋单态和自旋三重态 2, 两套基矢 —— 耦合表象基和无耦合表象基 3, 例算 4, 自旋交换算符 第八章 电磁作用问题 §8.1 电磁场下的 Schro&&dinger 方程 1, 最小电磁耦合原理及电磁场下的 Schro&&dinger 方程 2, 方程的某些考察 §8.2 均匀磁场下粒子的运动 —— 无自旋情况 1, 均匀磁场下不考虑自旋的中心场 Schro&&dinger 方程 2, 正常 Zeeman 效应 3, 均匀磁场下自由带电粒子运动 §8.3 均匀磁场下自由中性带磁矩粒子的运动 —— 2 1 自旋情况之一 1, 中子极化矢量在磁场中的进动 2, 中子的旋量迭加与干涉 —— 中子干涉量度学 §8.4 均匀磁场下束缚粒子的运动 —— 2 1 自旋情况之二 1, 均匀磁场下 2 1 自旋粒子中心场 Schro&&dinger 方程求解 2, 讨论 §8.5 Aharonov-Bohm 效应 1, 磁 AB 效应 2, 向电磁 AB 效应的推广 3, 几点讨论 §8.6 超导量子理论基础 1, 超导体中的流密度与 London 方程 2, Meissner 效应 3, 磁通量子化及磁荷 4, 超导 Josephson 结的 AB 效应 第九章 定态微扰论
§9非简并态微扰论 1,基本方程组 阶微扰论 3,二阶微扰论 4,例算 §9简并态徽扰论 1,简并态微扰论要旨 2,简并态微扰论 3,例算 第十章势散射理论 s10.1 般描述 散射(碰撞)实验的意义及分类 基本描述方法一—微分散射截面 3,入射波、散射波和散射振幅 §102分波法—分波与相移 1,分波法的基本公式 2,分波法的一些讨论 3,光学定理 4,低能散射的一般特征 §10.3格林函数法与波恩近似 1,格林函数法与势散射基本积分方程 2,一阶波恩近似 3,波恩近似适用条件分析 4,例算 §10.全同粒子散射 1,全同性原理在散射问题上的应用 2,例算 §10.5考虑自旋的散射 散射分道的概念 2,分道散射振幅计算——带自旋的波恩近似 3,自旋权重平均 4,例算 第十一章含时问题与量子跃迁 §111含时问题求解的一般讨论 1,量子力学中时间相关问题的一般分析 2,含时系统初始衰变率的一个普遍结论 3,初态衰变系统长期衰变规律的一个分析 4,量子Zeno效应 5,含时问题在相互作用图象中的处理 §11.2时间相关微扰论与量子跃迁 1,含时扰动及状态之间量子跃迁的概念 2,量子跃迁系数基本方程组及其一阶近似
§9.1 非简并态微扰论 1, 基本方程组 2, 一阶微扰论 3, 二阶微扰论 4, 例算 §9.2 简并态微扰论 1, 简并态微扰论要旨 2, 简并态微扰论 3, 例算 第十章 势散射理论 §10.1 一般描述 1, 散射（碰撞）实验的意义及分类 2, 基本描述方法 —— 微分散射截面 3, 入射波、散射波和散射振幅 §10.2 分波法 —— 分波与相移 1, 分波法的基本公式 2, 分波法的一些讨论 3, 光学定理 4, 低能散射的一般特征 §10.3 格林函数法与波恩近似 1, 格林函数法与势散射基本积分方程 2, 一阶波恩近似 3, 波恩近似适用条件分析 4, 例算 §10.4 全同粒子散射 1, 全同性原理在散射问题上的应用 2, 例算 §10.5 考虑自旋的散射 1, 散射分道的概念 2, 分道散射振幅计算 —— 带自旋的波恩近似 3, 自旋权重平均 4, 例算 第十一章 含时问题与量子跃迁 §11.1 含时问题求解的一般讨论 1, 量子力学中时间相关问题的一般分析 2, 含时系统初始衰变率的一个普遍结论 3, 初态衰变系统长期衰变规律的一个分析 4, 量子 Zeno 效应 5, 含时问题在相互作用图象中的处理 §11.2 时间相关微扰论与量子跃迁 1, 含时扰动及状态之间量子跃迁的概念 2, 量子跃迁系数基本方程组及其一阶近似
§13几种常见含时微扰的一阶近似计算 1,常微扰情况 2,周期微扰情况 114 Sudden及不撒除微扰的情况 §115光辐射与物质的相互作用 概论 2,受激原子的量子跃迁 3,电偶极辐射 4,受激氢原子的光电效应 第十二章WKB近似方法 §121WKB近似方法的原理 经典近似讨论 2,WKB近似方法原理 3,成立的条件 4,一般讨论 §122WKB近似方法的应用 维WKB解 2,中心场WKB解 3,势垒贯穿 4,矩阵元计算 §123WKB近似的进一步讨论 1,一般讨论 2,几个数学细节
§11.3 几种常见含时微扰的一阶近似计算 1, 常微扰情况 2, 周期微扰情况 §11.4 Sudden 及不撤除微扰的情况 §11.5 光辐射与物质的相互作用 1, 概论 2, 受激原子的量子跃迁 3, 电偶极辐射 4, 受激氢原子的光电效应 第十二章 WKB 近似方法 §12.1 WKB 近似方法的原理 1, 经典近似讨论 2, WKB 近似方法原理 3, 成立的条件 4, 一般讨论 §12.2 WKB 近似方法的应用 1, 一维 WKB 解 2, 中心场 WKB 解 3, 势垒贯穿 4, 矩阵元计算 §12.3 WKB 近似的进一步讨论 1, 一般讨论 2, 几个数学细节
前言 到19世纪末,经典物理学的两个主要支柱一一牛顿力学和光学(包括电磁波理论)取 得了辉煌的成就。在巨大的成就灿烂光辉的眩惑下,原本对立的粒子概念和波概念,更被物 理学家们将其普适化和绝对化了。与此同时,牛顿力学和波动力学的描述方法也被普适化和 绝对化了。仿佛物理学所研究的全部对象,它们的性质真的非此即彼了。与此相应,拉格朗 日决定论这种其实是因果论的最简单形式也被普适化和绝对化起来,看成是因果论的唯一正 确的形式。用爱因斯坦的话说就是:“上帝是不玩掷骰子的”。 实际上,物理世界并非如此。爱因斯坦这句话虽然并非论据,仅仅表达了他的一种信念 却显然是一种混入了主观主义的信念。要知道,我们能有什么“根据”去肯定“上帝”一定 是“不玩掷骰子”的呢?就根据经典物理学的巨大成就和伴随着的拉格朗日决定论吗?这显 然是一种不可靠的根据,一种主观的推测。因为经典物理学(以及与之相关的拉格朗日决定 论)所取得的辉煌成就有明显的极大的局限性。牛顿力学(包括后来建立的相对论力学)并 未涉及物质的内部构造、物体的内禀性质,而只局限于研究物体在其外在时空中的低速(高 速)机械运动;光学(包括后来的电磁波理论)也并没有涉及光的产生和吸收、光和物质的 相互作用,而只局限于研究光的传播。经典物理学,一旦超出原来的范畴,进入这些新领域, 便呈现出了捉襟见肘和漏洞百出的状态。就在经典物理学处于颠峰状态的19世纪末,也已 经发现了许多无法用经典物理学去理解的现象。比如,1896年贝克勒耳发现放射性、黑体 辐射问题中出现的紫外灾难、光电效应等等。这些都是经典物理学晴朗天空边际的朵朵乌云, 预示着暴风雨的即将来临 话得说回来,人们总是习惯于根据已有的知识和经验去思考新问题、理解新现象。尤其 当已有的理论已经取得了辉煌成就的情况下,这种已有的理论就常常会转化为精致的鸟笼, 束缚或局限住人们的创造性思维。不幸的是,这种“鸟笼”作用常常是习惯性的、不自觉的 不易觉察的,从而也就是不易挣脱的。因此,在从经典物理学过渡到量子理论的时候,在学 习量子力学的初始阶段,必须善于剖析自己的积习观念,必须善于从经典物理学光芒所编织 的鸟笼中挣脱出来,按照新的实验事实所指引的方向,利用缜密的逻辑思维前进。应当说 新的实验事实、新的实验现象永远是医治人们物理思想僵化的特效药方:严密的逻辑思维是 我们最可靠的工具。两者的恰当结合,才是正确指引物理学家前进的唯一灯塔,是肯定或扬 弃一切物理理论的唯一裁判。其中,实验检验又是肯定或扬弃一切理论的最高和最后裁判。 当今的量子理论已经发展成为庞大的理论群体。可以毫不夸张地说,量子理论是物理学 家迄今建立的最宏伟的物理理论,它博大精深、包罗万象,小至夸克和胶子的量子色动力学, 大至宇宙的量子创生理论,量子理论无所不在。量子理论已经取得了前所未见的巨大的辉煌 成就 正如在经典物理学辉煌成就面前不应当目眩神夺一样,在量子理论辉煌成就面前,也应 保持清醒的头脑。量子理论仍然不是人类不懈追求的最终真理。从量子理论诞生的时刻起, 成功和困难就想躯体和影子那样,一直相伴相随着:成功的躯体越长越高大,困难的阴影也 愈来愈浓重、愈清晰。这一切都说明,量子逻辑中正在积聚着一场火山爆发所需的能量,预 示着比本世纪初的那场暴风雨更猛烈更深刻的革命。 编写这本教材所遵循的主导思想有三点,一是偏重物理,也就是偏重物理思想的发掘、 物理思想的阐述、物理内涵的剖析,对数学论证则力求简洁有力,以求得对量子力学物理原 理的深刻领悟。二是尽力向前看,尽可能包括量子力学的一些新进展,以期求得稍稍变更基 础教材难脱的老面貌。当然,由于作者水平和知识所限,也由于教学大纲和学时的约束,做 好这一点是困难的,只能说是尽量而已。三是论述中尽量做到封闭与开放相结合,也就是阐 述量子逻辑的自洽性和力量美的同时,尽量可能随时随地指出其开放的一面,指出目前认识
前言 到 19 世纪末，经典物理学的两个主要支柱——牛顿力学和光学（包括电磁波理论）取 得了辉煌的成就。在巨大的成就灿烂光辉的眩惑下，原本对立的粒子概念和波概念，更被物 理学家们将其普适化和绝对化了。与此同时，牛顿力学和波动力学的描述方法也被普适化和 绝对化了。仿佛物理学所研究的全部对象，它们的性质真的非此即彼了。与此相应，拉格朗 日决定论这种其实是因果论的最简单形式也被普适化和绝对化起来，看成是因果论的唯一正 确的形式。用爱因斯坦的话说就是：“上帝是不玩掷骰子的”。 实际上，物理世界并非如此。爱因斯坦这句话虽然并非论据，仅仅表达了他的一种信念， 却显然是一种混入了主观主义的信念。要知道，我们能有什么“根据”去肯定“上帝”一定 是“不玩掷骰子”的呢？就根据经典物理学的巨大成就和伴随着的拉格朗日决定论吗？这显 然是一种不可靠的根据，一种主观的推测。因为经典物理学（以及与之相关的拉格朗日决定 论）所取得的辉煌成就有明显的极大的局限性。牛顿力学（包括后来建立的相对论力学）并 未涉及物质的内部构造、物体的内禀性质，而只局限于研究物体在其外在时空中的低速（高 速）机械运动；光学（包括后来的电磁波理论）也并没有涉及光的产生和吸收、光和物质的 相互作用，而只局限于研究光的传播。经典物理学，一旦超出原来的范畴，进入这些新领域， 便呈现出了捉襟见肘和漏洞百出的状态。就在经典物理学处于颠峰状态的 19 世纪末，也已 经发现了许多无法用经典物理学去理解的现象。比如，1896 年贝克勒耳发现放射性、黑体 辐射问题中出现的紫外灾难、光电效应等等。这些都是经典物理学晴朗天空边际的朵朵乌云， 预示着暴风雨的即将来临。 话得说回来，人们总是习惯于根据已有的知识和经验去思考新问题、理解新现象。尤其 当已有的理论已经取得了辉煌成就的情况下，这种已有的理论就常常会转化为精致的鸟笼， 束缚或局限住人们的创造性思维。不幸的是，这种“鸟笼”作用常常是习惯性的、不自觉的、 不易觉察的，从而也就是不易挣脱的。因此，在从经典物理学过渡到量子理论的时候，在学 习量子力学的初始阶段，必须善于剖析自己的积习观念，必须善于从经典物理学光芒所编织 的鸟笼中挣脱出来，按照新的实验事实所指引的方向，利用缜密的逻辑思维前进。应当说， 新的实验事实、新的实验现象永远是医治人们物理思想僵化的特效药方；严密的逻辑思维是 我们最可靠的工具。两者的恰当结合，才是正确指引物理学家前进的唯一灯塔，是肯定或扬 弃一切物理理论的唯一裁判。其中，实验检验又是肯定或扬弃一切理论的最高和最后裁判。 当今的量子理论已经发展成为庞大的理论群体。可以毫不夸张地说，量子理论是物理学 家迄今建立的最宏伟的物理理论，它博大精深、包罗万象，小至夸克和胶子的量子色动力学， 大至宇宙的量子创生理论，量子理论无所不在。量子理论已经取得了前所未见的巨大的辉煌 成就。 正如在经典物理学辉煌成就面前不应当目眩神夺一样，在量子理论辉煌成就面前，也应 保持清醒的头脑。量子理论仍然不是人类不懈追求的最终真理。从量子理论诞生的时刻起， 成功和困难就想躯体和影子那样，一直相伴相随着：成功的躯体越长越高大，困难的阴影也 愈来愈浓重、愈清晰。这一切都说明，量子逻辑中正在积聚着一场火山爆发所需的能量，预 示着比本世纪初的那场暴风雨更猛烈更深刻的革命。 编写这本教材所遵循的主导思想有三点，一是偏重物理，也就是偏重物理思想的发掘、 物理思想的阐述、物理内涵的剖析，对数学论证则力求简洁有力，以求得对量子力学物理原 理的深刻领悟。二是尽力向前看，尽可能包括量子力学的一些新进展，以期求得稍稍变更基 础教材难脱的老面貌。当然，由于作者水平和知识所限，也由于教学大纲和学时的约束，做 好这一点是困难的，只能说是尽量而已。三是论述中尽量做到封闭与开放相结合，也就是阐 述量子逻辑的自洽性和力量美的同时，尽量可能随时随地指出其开放的一面，指出目前认识
的边界所在,以便或是明了该问题描述的局限性,或是增加对量子力学固有困难的了解,这 既有助于加深对现有内容的理解,又能活跃思想,尽量不使量子力学僵化成为新的教条,成 为束缚人们思维的新“鸟笼”。 九九六年二月二十九日作者谨识
的边界所在，以便或是明了该问题描述的局限性，或是增加对量子力学固有困难的了解，这 既有助于加深对现有内容的理解，又能活跃思想，尽量不使量子力学僵化成为新的教条，成 为束缚人们思维的新“鸟笼”。 一九九六年二月二十九日 作者谨识
第一章量子力学的物理基础 §11实验基础 这里简述一些上个世纪末直到这个世纪30年代所进行的著名实验,这些实验奠定了量 子力学的基本观念,触发了从经典物理学向量子理论的跃变,并为这种跃变提供了最初 批实验事实 1,第一组实验一黑体辐射、光电效应、康普顿散射。它们给出了能量分立、光 场量子化概念,从实验上揭示了光的粒子性质。 上个世纪末,黑体辐射谱已被实验物理学家很好地测定了,但从经典物理学观念出发却 无论如何难以通盘地理解。1896年,Win从经典统计理论和黑体辐射经验规律出发,给出 了黑体辐射谱的公式。若记黑体辐射空腔单位体积中辐射场的频率在ν→v+dv间的能量 密度为dE,=s(v)dv,则该公式可以明确地写为 dE,= av)dv=c,v'e e2甲dv (1.1) 这里c1、c2是两个常系数,B=1/kT。这一公式在短波长或高频率区间内与实验符合, 但在中、低频区,特别是低频区与实验差别很大。1900年 Rayleigh、1905年 Jeans将腔中 黑体辐射场看成是大量电磁波驻波振子的集合,利用能量连续分布的经典观念和麦克斯韦 波尔兹曼分布律,导出了黑体辐射谱的另一个表达式—— Rayleigh√ Jeans公式。若记 e(y)=N,E,这里N,是腔中辐射场单位体积内频率v附近单位v间隔内电磁驻波振子自 8r2 由度数目,简单计算可得它为:而E,则是对应于v的驻波振子的平均能量,由麦 波分布律可得 epds kT 于是得到 Rayleigh- eans公式为 8rkTv2 dE,= E()dv (1.2) 与Wien公式的情况正相反,这个公式在低频部分与实验曲线符合得很好,但在高频波段不 但不符合,而且出现黑体辐射能量密度趋于无穷大的荒谬结果。这就是著名的所谓“紫外灾 难”,是经典物理学最早显露的困难之一。1900年 Planck引入能量子的概念,假设黑体辐 射空腔中振子的振动能量并不象经典理论所主张的那样和振幅平方成正比并呈连续变化,而 是和振子的频率v成正比并且只能取分立值 V: 0,hv,2hv, 3hv 与此相应,空腔场和腔壁物质之间交换能量也是这样一份份的。进一步,按经典统计理论的 麦波分布律,与上述能级对应的比例系数分别为 将这些系数归一化(即除以这些系数的总和)使它们变成为权重系数。从而,对应频率v的驻 波振子的平均能量成为
第一章 量子力学的物理基础 §1.1 实验基础 这里简述一些上个世纪末直到这个世纪 30 年代所进行的著名实验，这些实验奠定了量 子力学 的基本观念，触发了从经典物理学向量子理论的跃变，并为这种跃变提供了最初一 批实验事实。 1, 第一组实验 —— 黑体辐射、光电效应、康普顿散射。它们给出了能量分立、光 场量子化概念，从实验上揭示了光的粒子性质。 上个世纪末，黑体辐射谱已被实验物理学家很好地测定了，但从经典物理学观念出发却 无论如何难以通盘地理解。1896 年，Wien 从经典统计理论和黑体辐射经验规律出发，给出 了黑体辐射谱的公式。若记黑体辐射空腔单位体积中辐射场的频率在ν → + ν dν 间的能量 密度为dE d ν = ε( ) ν ν ，则该公式可以明确地写为 dE d c e d c ν νβ = = ε ν ν ν ν − ( ) 1 3 2 (1.1) 这里c1 、c2 是两个常系数， β = 1/ kT 。这一公式在短波长或高频率区间内与实验符合， 但在中、低频区，特别是低频区与实验差别很大。1900 年 Rayleigh、1905 年 Jeans 将腔中 黑体辐射场看成是大量电磁波驻波振子的集合，利用能量连续分布的经典观念和麦克斯韦- 波尔兹曼分布律，导出了黑体辐射谱的另一个表达式——Rayleigh-Jeans 公式。若记 ε ν εν ν ( ) = N ，这里 Nν 是腔中辐射场单位体积内频率ν 附近单位ν 间隔内电磁驻波振子自 由度数目，简单计算可得它为 8 2 3 πν c ；而ε ν 则是对应于ν 的驻波振子的平均能量， 由麦- 波分布律可得 ε ε ε ε ν εβ εβ = = − ∞ − ∞ ∫ ∫ e d e d kT 0 0 于是得到 Rayleigh-Jeans 公式为 dE d kT c ν ε ν ν d π ν = = ( ) ν 8 2 3 (1.2) 与 Wien 公式的情况正相反，这个公式在低频部分与实验曲线符合得很好，但在高频波段不 但不符合，而且出现黑体辐射能量密度趋于无穷大的荒谬结果。这就是著名的所谓“紫外灾 难”，是经典物理学最早显露的困难之一。1900 年 Planck 引入能量子的概念，假设黑体辐 射空腔中振子的振动能量并不象经典理论所主张的那样和振幅平方成正比并呈连续变化，而 是和振子的频率ν 成正比并且只能取分立值， ν ：0 2 ,h h ν, ν,3hν,...... 与此相应，空腔场和腔壁物质之间交换能量也是这样一份份的。进一步，按经典统计理论的 麦-波分布律，与上述能级对应的比例系数分别为 1 2 3 ,e e, ,e ,...... − − h h νβ νβ − hνβ 将这些系数归一化(即除以这些系数的总和)使它们变成为权重系数。从而，对应频率ν 的驻 波振子的平均能量成为