现代物理学丛书 量子力学 卷 (第三版) 曾谨言蒼 H A0937331 锦學腹丛 2000
第1章量子力学的诞生 1经典物理学碰到了哪些严重困难? 19世纪末与20世纪初经典物理学理论( Newton力学,热力 学及统计物理学,电动力学)一方面被认为发展到了相当完善的地 步,但另一方面又在生产与科学实验面前遇到了不少严重的困难 下面简述几个主要的困难 1.1.1黑体辐射向 冶金高温测量技术及天文学等方面的需要,推动了对热辐射 的研究例如,G. Kirchhoff定律(辐射吸收与发射率之比的关系, 1859), J. Stefan四次方律(1884)等相继提出.到19世纪末,已认 识到热辐射与光辐射都是电磁波,开始研充辐射能量在不同频率 范国中的分布问题,特别是对黑体(空窖)辐射进行了较深入的理 论上和实验上的研究 完全黑体(空窖)在与热辐射达到平衡时,辐射能量密度E随 频率v的变化曲线如图1.1所示,Ed表示空容单位体积中频率 在(y+d)之间的辐射能量.W.Wien(1896)从热力学普遍理论 考虑以及分析实验数据得出的半经验公式为①D E,dv=ciexpL-c2v/T]dv c与c2是两个经验参数,T为平衡时的温度公式与实验曲线符 合得不错 ①W.Wien,Wed,A灬,,58(1896),662.根据热力学普遍理论,E(r)形式应 取E(T)=vfνT).但函数∫(w/T)的形式不能从普遗理论给出.M, Planck,A der phys.,1(1900,719,文中对wien公式的理论基础作了深入论证
但后来更精细和更全面的实验表明,wien公式并非与所有实 验数据都符合得那样好.几位实验物理学家指出在长波波段, wien公式与实验有明显偏离这促使 Planck去改进Wien公 式①.结果得出了一个两参数的公式,即(有名的 Planck公式) Ey dv=- cody (2) explc2v/T]-1 与当时已有的几个公式相比, Planck公式不仅与实验符合得最 好,而且形式也最简单(wien公式除外) 与此同时,W. rayleigh(1900), J H. Jeans(1905)根据经 典电动力学和统计物理理论,得出了一个黑体辐射公式,即 ( Rayleigh- Jeans公式) Er dv=a3kTy'd (3) 其中c为光速,k(=1.38×102J/K)是 Boltzmann常数,此公式 在低频部分与实验曲线还比较符合.但当→∞时,E→∞,是发 散的,与实验明显不符(所谓“紫外发散困难”) 不难看出,当y∞时, Planck公式(2)趋于wien公式(1),而 ①M. Planck,Verh.D.Pby,Ges.,2(1900),202,文中提到了当时巳知的黑 体辐射公式,包括Wen公式, Thiesen公式, Lummer-Jahnke公式, Lummer- Pring heim公式但文中未提 Rayleigh-Jean公式,详细情况可参阅F.Hund, History of Quantum Theory,chap2,p.25.书屮提到实验物理学家 H. Rube和F, Kurlbaum的 工作发现低频部分We公式与实验明显偏离 Planck听到此结果后,立即动手找另 外的表达式D. ter eaar, The Old Quantum Theory,Part1,书屮p.9提到 Planck当 时并不知道 Rayleigh-Jeans公式还可参阅E.U. Condon, Physics Today,1962,No 2 Lord Rayleigh, Phil. Mag, 49(1900). 539, Nature, 71(1905),559,72 (1905),54,243.J.H, Jeans, Nature,71(1905),607,72(1905),101,293!Pra. Kay·S.,A76(1905),545. Rayleigh1900年文中给出Ec2,公式中前的因f的 正确结果是1905年得出的,cans的工作就是纠正了前面的因子, Rayleigh-Jean公式 的推导,例如,参阅王竹溪统计物理学导论(1957),§41
当v0(长波极限),趋于 Rayleigh- Jeans公式(a1/e2=8πk/3)① Planck提出这个公式后许多实验物理学家立即用它去分析 了当时最精确的实验数据,发现符合得非常好⑨他们认为,这样 简单的一个公式与实验如此符合,绝非偶然,在这公式中一定蕴藏 誉一个非常重要但尚未被人们揭示出的科学原理 3.12光电效应 1 Rayleigh 19世纪末由于电气工业的 发展,稀薄气体放电现象开始引 起人们注意.J.J. Thomson (1896)通过气体放电现象及阴极 射线的研究发现了电子在此之 前, H. Hertz(188发现了光电效 应,但对其机制还不清楚直到电 图1.1 子发现后,认识到这是由于紫 外线照射,大量电子从金属表面逸出的现象③经过实验研究,发 现光电效应呈现下列几个特点: a)对于一定的金属材料做成的(表面光洁的)电极,有一个 确定的临界频率均,当照射光频率v时,不管光多微弱,只要光一照上,儿 ①A. EinStein,An. der phys,】7(1905),132.是 Einstein在1905年指出, 按经典理论应得到 Rayleigh公式,面它与验有呀显矛盾,特别是" ultraviolet cat&s- toph”他注意到在长波和高温极限, Planck公式趋于 Rayleigh公式.即经典理论成 立,菌了很小时,经典理论不正确,此时 Planck公式趋于Wein公式 2 3 E U Condon, Physics Today(1962),No. 10,p. 37. ③A. Einstein,Ann,如Phk,1(1905),132文中,关于光电效应的实验及 分析的资料提到了 Lenard的工作.见P. Lenard,An, der physis,8(1902),149
乎立刻(≈10-)观测到光电子.这与经典电磁理论计算结果很不 致 以上三个特点,(c)是定量上的问题,而(a)与(b)在原则上无 法用经典物理学来解秤 1.1.3原子的线状光谱及其规律 最原始的光谱分析始于 Newton(17世纪),但直到19世纪中 叶,人们把它应用于生产后才得到迅速发展.例如,RW. Bunsen G. Kirchhoff等人开始利用不同元素所特有的标志谱线来做徽量 元素的成分分析.元素铷(Rb)与铯(Cs)就是根锯光谱分析发现 的. 由于光谱分析积累了相当丰富的资料,不少人对它们进行了 氅理与分析①.1885年, Balmer发现,氢原子可见光谱线的波数 =3=2,为波长具有下列规律(见图12 o 图1.2氢原子光谱的 Balmer线系 ①关于19世纪光清分析的情况,可参阅H. Kayser, Handbuch d, Spekiraskepie, Bd.1(1900)对于原子的线状光谱的规律性的探素,除Bmer之外 Rydberg和Ritn 也有重要贸献他们提出了组合规则( combination rule),见J.R. Rydberg,k. Svenska Vetensk, Ak. Handl. 23, Nr. Il(1890), Phil. Mag, 29(1890), 331+ Anm. der Pk,5(193),629,W.Ritz,2,Phy.,9(1908),521. aschen根据组合原则研 光氯原于光谦红外区),得出了Pash线系;R(-1)x=4
v=R ,兀=3,4,5 (4) R=109677.581cm-1 Rydberg常数 Balmer公式与观测结果的惊人符合,引起了光谱学家的注 意紧跟着就有不少人对光谱线波长(波数)的规律进行了大量分 析例如 Rydberg对碱金属元素的光谱进行过仔细分析,发现它 们可以分为主( principal)线系、锐(sha)线系及漫( diffuse)线系 等几个线系每一线系的各条谱线的波数,都有与式(4)类似的规 律.W.Ritz(190g)的组合规则( combination rule)对此作了更普遍 的概括.按此原则,每一种原子都有它特有的一系列光谐项T(n) 而原子发出的光谱线的波数v,总可以表成两个光谱项之差,即 wm=r(n-T(m) (5) 其中m与n是某些正整数.显然,光谐项的数目比光谱线的数目 要少得多 这样,人们自然会提出以下一系列问题;原子光谱为什么不是 连续分布而是呈分立的线状光谱?原子的线状光谱产生的机制是 什么?这些谱线的波长(波数)为什么有这样简单的规律?光谱项 的本质又是什么?…① 1.].4原子的稳定性 1895年 Rontgen发现了Ⅹ射线.1896年A.H. Bequerrel从 ①值得提到, N. Bohr在发变他的划时代的三篇论文(1913年4月5H)之前,直 到1913年2月都没有考虑原子线状光谐的规律问到1913年3月初他把论文送给 Rutherford时,文章中才有关于氢原子光谱的研究,并告诉 Rutherford他已能解释氢 原子光谱的规律.1913年HM. Hansen自 Gottingen回到 Corena8en,曾经问Bohr 否用他的理论解释光掌,Bhr说这可能是极为国难的 Hansen把 Rydberg的简 单焜掌告诉了Bohr可见Bohr是在很晚的阶段才把光谐规常吸收到他的论中去后 来Bohr说他看到 Balmer公式后,一切问蔥都趋于明朗令人惊奇的是发现光谱规拿 的 Rydberg就在Lund大学工作,与 Copenhagen近在咫尺,想必与Bohr有经常接触 耐Bhr在如此长时间对这方而工作不了解未触及此阿题而这间膳正是他的理论解 决得最出色的部分(Hnd, History of Qu& ntum Theory,p.70)
铀盐发现了大然放射性(后来弄清楚,这些天然放射线由a3及y 三种射线组成).1898年, Curie夫妇发现了放射性元素钋与镭 电子与放射性的发现揭示出:原子不再是物质组成的永恒不 变的最小单位,它们具有复杂的结构,并可互相转化.原子既然可 以放出带负电的粒子来,而原子又是中性的,那么原子是怎样由 带负电的部分(电子)与带正电的部分结合起来的?这样,原子的内 部结构及其运动规律的同题就提到日程上来了 Thomson(1904)曾经提出如下模型:正电荷均匀分布在原子 中(原子大小≈10-8cm),而电子则在原子中作某种有规律的排 列1911年, Rutherford用a粒子去打击原子,研究碰撞后散射出 去的a粒子的角分布,并与模型计算值比较发现 Thomson模型 无法解释大角度散射.他提出:原子中正电部分集中在很小区域中 (<10-12cm),原子质量主要集中在正电部分,形成“原子核”,而电 子则围绕着它运动(与行星绕太阳系运动很相似),这就是今天众 所周知的“原予有核模型” 但是 Rutherford模型也碰到了严重的困难首先 Rutherford 模型中没有个特征长度①.从19世纪统计物理学研究,人们已 了解到原子的大小≈10-cm在 Thomson模型中,根据电子排列 的空间构形( configuration)的稳定性,可以找到这样一个合理的 特征长度然而在经典物理学框架中来考虑 Rutherford模型,却 找不到一个合理的特征长度其次,由于电子在原子核外作加速运 动面按经典电动力学,加速运动的带电粒子将不断辐射而丧失能 量.因此围绕原子核运动的电子,终究会大量丧失能量而“掉到” 原子核中去.这样,原子也就“崩溃”了但现实世界表明原子是稳 ①据电子的持性质量m电荷),在 Maxwel电动力学ψ可以出现一个特 征长度,即r=e1/mc28x10-1cm,即经典电予半径.由于r10cm,而且光c 出球其中(原于中电子速度)所以,完全不适合于用来表征原子的大小,但如把作 用量于h引进 Rutherford模叠根据量纲分析可以找到下列特征长度即a=8/m 0.53×10-cm(后来人们称之为B半径)这样, Rutherford模型碰到的第一个用 难就解决了
定地存在着矛盾尖锐地摆在面前,怎样解决呢? 1.1s固体与分子的比热问题 固体中每个原子在其平衡位置附近作小振动,可以看成是具 有三个自阳度的粒子,按照经典统计力学,其平均动能与势能均为 kT,总能量为3kT因此,一克原子固体物质的平均热能为 3NT=3RT(N=6.023×102是 Avogadro数,R=Nk称为气体 常数)因此,固体的定容比热为 Cv=3R≈5.958cal/K① 3R 图1.3因体比热 此即 Dulong-Pett经验定律(1819).但后来实验发现,在极低温 下,固体比热都趋于0,如图1.3所示.这原因是什么?此外,若 考虑到原子由原子核与若干电子组成,为什么原子核与电子的这 样多自由度对于固体比热都没有贡献?( Boltzmann佯谬,1890.) 多原子分子的比热也存在类似的问题例如,双原子分子 N2O2,H2,CO等),可以认为有5个自由度(三个平动自由度及 两个转动自山度),比热应该为以R≈5cal/k.在常温下,观测结果 ①lcal=4.18J
的确与此相近但在温度低于60K后,它们的比热都下降到了 3caK左有.这原因又是什么? 量子理论就是在解决这些生产实践和科学实验同经典物理学 的矛盾中逐步建立起来的 1.2 Planck- Einstein的光量子论 历史上,量子理论是首先在黑体辐射问题上突破的.上节已经 提到,由于wien的黑体辐射公式在低频部分与实验结果有明显 偏高, Planck在解决此问题的探索中,提出了(1900年10月19 日)一个新的惑体辐射公式( Planck公式).一方面由于 Planck公 式与实验的惊人符合,另一方面由于公式十分简单,在实验物理学 家的鼓励下, Planck进一步去探索这公式所蕴含的更深刻的本 质经过近两个月紧张努力,他发现(1900年12月4日),如果作 下列假设就可以从理论上推出他找到的黑体辐射的公式③.这个 假设是:对于一定频率v的电磁辐射,物体只能以M为单位吸收 或发射它,h为一个普适常数.换言之,吸收或发射电磁辐射只能 以“量子”方式进行,每个“量子”的能量为 E- (1) ①M. Planck,vrh.D.Pky.Ce.,2(1900),202,提出暴体搞射公式M Planck,verh,D.Py.Ger,,2(1900),237,提出理论解事,正式论文发表于M Planck,An.dPy,41901),53他在假设知之下得出了黑体骊射公式 G exp[hvfAT3-I 即a-h/k,c=8mh/2. Planck本人强调为要与实验符合,h必须取有限值,面经典物 理理论列要求A→0. Planck后来写:“…这个很特别的常数h的物理意义的闹明是 钡握难的理论间题它的引进导费经典物理理论失效这比我最初的认识要基本得多 …”但直到 Einstein引进光量子概念之后,的物理意义及Pnck理论的基磁才搞清 X(D ter Haar. Problems in Quantum Mechanics, pp, 13-14). ③ Planck公式的推导可参王竹,统计物理学导论,§42,1957,或E Whittaker, A History of the Theories of Aether and Electricity, chap, 3, 1951; D,ter Haar, The old Quantum Theory, chap. 1, 1967
这种吸收或发射电磁辐射能量的不连续性概念,在经典力学中是 无法理解的,所以尽管 Planck的假设可以解释他的与实验符合得 非常好的公式,却并未引起很多人的注意, 首先注意到量子假设有可能解决经典物理学所碰到的其它困 难的是A. Einstein②他在1905年用 Planck的量子假设去解决光 电效应问题,进一步提出了光量子概念③,即认为辐射场由光量子 组成每一个光量子的能量与辐射场的频率的关系是 E=shy (2) 并根据狭义相对论以及光子以光速c运动的事实得出,光子的动 量p与能量E有如下关系 p=E/c 因此,光子的动量p与辐射场的波长A有下列关系: 户=h/l 当采用了光量子概念之后,光电效应间题立即迎刃而解.当光 量子射到金属表面时,一个光量子的能量可能立即被一个电子吸 收.但只当入射光频率足够大,即每一个光量子的能量足够大时, ①例如,W. Gibbs, Statistical Mechanic(1902)及H, Jeans, Kinetic Theor of gases(1904)两书均末提及 Planck的工作 ②A. Einstein, An dey Paysit,17(1905),132.在此期刊的同一卷中, Einstein 连着发表了三篇划时代的论文本文是其中第一篇另外一篇是关于 Brown运动,一篇 是关于狭义相对论.由于第一篇论文引进光量子概念他得到Nbel物理华奖(不是因 为提出狭义相对论)应当提到不少人背说 Einstein1905年的文章主要是去解释光电 效应但实际情况并如此事实上,当时光电效应的测量还没有达到那样高的精度足 以指明它与经典行为确切背离 D. ter haar, Problems in Quantum Mechanics,p.15) 关于光电效应的讨论只占文章很小一部分(第8节)、文中用了很大篇幅讨论黑体辐射 律不能纳入经典 Morrel理论第7节讨论荧光现象( Stokes规则,发射光率低于 入射光频率),第9节讨论气体分子在靠外光照射下的游禹现象 后来所用的“光子”( photon)一词是1926年由G, N. Lewis(Nar,I8,Dec 1926)才提出的但此概念的实质在Este一文中巳给出
