第二章光的衍射(3) 选择题: 1.(D)2.(D)3.(A)4.(B)5.(C) 二、填空题: 1.15×10-2cos(6πt+1/2π)2.2π,暗3.36mm4.3 参考解: 按给定条件B/a=d/a=2a/a=2 衍射包线的第一级小出现α=π,所以β=2π,而双缝干涉条纹强度极 大值出现在βmπ(m=0,1,2…),m2,相应于第二干涉极大,但衍 射包线的第一极小与干涉条纹的第二极大相重合,所以在中央衍射包线 中只含干涉条纹的中央极大及两侧的第一极大,即总共含有3个明条纹。 5.(a+b)sin0=±kλ,变小 6.(2λd)1/2 7.982 参考解: λ/△A=N A=(5896+5890)/2=5893A △入=5896-5890=6A N=5893/6=982 8.相等 21/x|(n0-ne) 三、算题:
第二章 光的衍射 （3） 一、 选择题： 1．（D） 2．（D） 3．（A） 4．（B） 5．（C） 二、 填空题： 1. 15×10-2cos(6πt+1/2π) 2. 2π，暗 3．36mm 4．3 参考解： 按给定条件β/α=d/a=2a/a=2 衍射包线的第一级小出现α=π，所以β=2π，而双缝干涉条纹强度极 大值出现在β=mπ（m=0，1，2…），m=2，相应于第二干涉极大，但衍 射包线的第一极小与干涉条纹的第二极大相重合，所以在中央衍射包线 中只含干涉条纹的中央极大及两侧的第一极大，即总共含有3个明条纹。 5．（a+b）sinθ=±kλ，变小 6．(2λd)1/2 7． 982 参考解： λ/△λ=N λ=(5896+5890)/2=5893 Å △λ=5896-5890=6 Å N=5893/6=982 8. 相等 2πl/λ|（n0-ne）|+π 三、 算题：
解:(1) φ=λ/λ=1Φ=900 (2)a=10λsinφ=入/10入=0.1中 a=100Nsinφ=λ/100λ=0.01Φ=34 这说明,比值λ/a变小的时候,所求的衍射角变小,中央明纹变窄(其 他明纹也相应地靠近中心点),衍射效应越来越不明显,(λ/a)→0 的极限情形即几何光学的情形:光线沿直线传播,无衍射效应。 2.解:单缝衍射第1个暗纹条件和位置坐标x1为 01=λxl=ftge1≈fsin01≈fλ/a(∴θ1很小) 单缝衍射第2个暗纹条件和位置坐标x2为: asin2=2x2ftg02≈fsin02≈2f/a(∵02很小) 单缝衍射中央亮纹傍第一个亮纹的宽度△x1=x2-x1=5.00mm 4.解:(1)由单缝衍射公式得asin01= A1 asin02=2A2 由题意可知01=02,sin01=sin02 代入上式可得λ1=2A2 (2)asin01=k1λ1=2k1A2(k1=1,2,……) in02=k2λ2(k2=1,2,……) 对于k2=2k1,则θ1=02,相应的两暗纹相重合。 5.解:光栅常数d=1m/(5×10-5)=2×10-6m 设λ1=450n,λ2=650nm,则根据光栅方程,λ1和λ2的第2级谱线 f dsin 1=211: dsin 0 2=212 根据上式得:01=26.74°,02=40.54° 第2级光谱的宽度x2-x1=f(tg2-tge1)
1．解： (1) a=λ sinφ=λ/λ=1 φ=900 (2) a=10λ sinφ=λ/10λ=0.1 φ=5044ˊ (3) a=100λ sinφ=λ/100λ=0.01 φ=34ˊ 这说明，比值λ/a 变小的时候，所求的衍射角变小，中央明纹变窄（其 他明纹也相应地靠近中心点），衍射效应越来越不明显，（λ/a）→0 的极限情形即几何光学的情形：光线沿直线传播，无衍射效应。 2．解：单缝衍射第 1 个暗纹条件和位置坐标 x1 为： asinθ1=λ x1=f tgθ1≈fsinθ1≈fλ/a (∵θ1 很小) 单缝衍射第 2 个暗纹条件和位置坐标 x2 为： asinθ2=2λ x2=f tgθ2≈fsinθ2≈2fλ/a (∵θ2 很小) 单缝衍射中央亮纹傍第一个亮纹的宽度 △x1=x2-x1=5.00mm 4．解：（1）由单缝衍射公式得 asinθ1=λ1 asinθ2=2λ2 由题意可知 θ1=θ2， sinθ1= sinθ2 代入上式可得 λ1=2λ2 （2）asinθ1=k1λ1=2k1λ2 (k1=1,2,……) asinθ2=k2λ2 (k2=1,2,……) 对于 k2=2 k1，则 θ1=θ2，相应的两暗纹相重合。 5．解：光栅常数 d=1m/(5×10-5)= 2×10-6m 设 λ1=450nm, λ2=650nm,则根据光栅方程，λ1 和λ2 的第 2 级谱线 有 dsinθ1=2λ1；dsinθ2=2λ2 根据上式得： θ1=26.74°，θ2=40.54° 第 2 级光谱的宽度 x2-x1=f (tgθ2-tgθ1)
透镜的焦距f=100cm 6.解:由光栅公式得sinφ=k1λ1/(a+b)=k2A2/(a+b)k2/kl=A1/ λ2=0.688/0.447 将k2/k1约为整数比k2/k1=3/2=6/4=12/8 取最小的k1和k2,k1=2,k2=3, 对应的光栅常数(a+b)=k1A1/sinφ=3.92μm 7.解:由光栅衍射主极大公式得dsinφ1=klA1 dsinφ2=k2A2 sinφl/sinφ2=2k1/3k2 当两谱线重合时有φ1=φ2 ∴kl/k2=3/2=6/4=9/6 当第二次重合时kl/k2=6/4,k1=6,kl=4 由光栅公式可知dsin60°=61d=3.05×10-3mm 8.解:(1)由题意λ1的k级与λ2的(k+1)级谱线重合所以 dsinφ1=k1dsinφ2=(k+1)A2 ∴k=2 (2)因x/f很小tgφ1≈sin中1≈x/f ∴d=kλlf/x=3.05×10-3cm 9.解:(1)斜入射时的光栅方程dsin0- daini=kλ,k=0,±1, ±2, 规定i从光栅G的法线n--n起,逆时针方向为正 0从光栅G的法线n--n起,逆时针方向为正
∴透镜的焦距 f=100cm 6．解：由光栅公式得 sinφ=k1λ1/(a+b)= k2λ2/(a+b) k2/k1=λ1/ λ2=0.688/0.447 将 k2/k1 约为整数比 k2/k1=3/2=6/4=12/8…… 取最小的 k1 和 k2，k1= 2，k2=3， 对应的光栅常数 (a+b)= k1λ1/ sinφ=3.92μm 7．解：由光栅衍射主极大公式得 dsinφ1=k1λ1 dsinφ 2=k2λ2 sinφ1/ sinφ 2=2k1/3k2 当两谱线重合时有 φ1=φ2 ∴ k1/k2=3/2=6/4=9/6…… 当第二次重合时 k1/k2=6/4， k1=6, k1=4 由光栅公式可知 dsin60°=6λ1 d=3.05×10-3mm 8．解：（1）由题意λ1 的 k 级与λ2 的(k+1)级谱线重合所以 dsinφ1=kλ1 dsinφ2=(k+1)λ2 ∴k=2 （2）因 x/f 很小 tgφ1≈sinφ1≈x/f ∴d= kλ1f /x=3.05×10-3cm 9．解：（1）斜入射时的光栅方程 dsinθ-dsini= kλ, k=0, ±1, ±2,…… 规定 i 从光栅 G 的法线 n--n 起，逆时针方向为正； θ从光栅 G 的法线 n--n 起，逆时针方向为正
(2)对应于i=30°,0=90°,设k=kmax1,则有dsin90°-dsin30° kmax1 x kmax1=2.10取整kmax1=2 (3)对应于i=30°,0=-90°,设k=kmax2,则有dsin(一 90°)-dsin30°=kmax2A kmax2=-6.30取整kmax2=-6 (4)但因d/a=3,所以,第-6,-3,……级谱线缺级。 (5)综上所述,能看到以下各级光谱线:-5,-4,-2,-1,0,1,2, 共7条光谱线。 10.解:可以把这个光栅看作是N个衍射单元所组成的,每个衍射单元 是由一组间隔为d的双缝组成。在衍射角为0时,每个衍射单元的光强 为 I′=4I0(sina/a)2cos2β,其中α=πasinθ/λ,B= n dsin0/λ 在衍射角为0时,N个衍射单元的多光束干涉的光强为(相邻两个衍射 单元的间隔为3d) I=I′( sinNy/siny)2,其中y=π(3d)sin0/λ 这块光栅的光强公式为I=4I0(sina/a)2cos2β( sinNy/siny)2, 其中a=πasin/A,B= u dsin0/A,y=(3d)sin0/入 11.解:当圆孔对于P点能分成整数k个波带时,有 k=(D/2)2(1/R+1/r0)/A 因点光源级远,上式中R→∞,变为k=D2/4Ar0 代入数据算得k=3
（2）对应于 i=30°, θ=90°,设 k=kmax1, 则有 dsin90°-dsin30°= kmax1λ kmax1=2.10 取整 kmax1=2. （3）对应于 i=30°, θ=－90°,设 k=kmax2, 则有 dsin(－ 90°)-dsin30°= kmax2λ kmax2=－6.30 取整 kmax2=－6 （4）但因 d/a=3，所以，第-6，-3，……级谱线缺级。 （5）综上所述，能看到以下各级光谱线：-5，-4，-2，-1，0，1，2， 共 7 条光谱线。 10．解：可以把这个光栅看作是 N 个衍射单元所组成的，每个衍射单元 是由一组间隔为 d 的双缝组成。在衍射角为θ时，每个衍射单元的光强 为 I′=4I0(sinα/α)2cos2β, 其中 α=πasinθ/λ, β=πdsinθ/λ 在衍射角为θ时，N 个衍射单元的多光束干涉的光强为（相邻两个衍射 单元的间隔为 3d） I= I′(sinNγ/sinγ)2, 其中 γ=π(3d)sinθ/λ 这块光栅的光强公式为 I=4I0(sinα/α)2cos2β(sinNγ/sinγ)2， 其中α=πasinθ/λ, β=πdsinθ/λ， γ=π(3d)sinθ/λ. 11．解：当圆孔对于 P 点能分成整数 k 个波带时，有 k=(D/2)2(1/R+1/r0)/ λ 因点光源级远，上式中 R→∞，变为 k=D2/4λr0 代入数据算得 k=3
可知圆孔对P点恰可分为奇数个半波带,故P点为亮点。 12.解:设晶面间距为d;第一束Ⅹ射线波长为λ1,掠射角θ1=30° 级次k1=1;另一束射线波长为λ2=0.097nm,掠射角02=60°,级次k2=3 根据布拉格公式:第一束dsin01=k1λ1 第二束dsin02=k2A2 两式相除得λ1=0.168nm 四、问答题 1.答:主要是因为声波(空气中)波长为0.1米到10米的范围,而 可见光波长数量级为1微米,日常生活中遇到的孔或屏的线度接近或小 于声波波长,而又远大于光波波长,所以,声波衍射现象很明显,而光 波的衍射现象就很难观察到 2.答:由单缝衍射暗纹条件sinθkλ/a,(k=±1,±2,……)可知 当λ/a很小的时候,k不太大的那些暗纹都密集在狭窄的中央明纹附近, 以致不能分辨出条纹 并且k很大的暗纹之间的明纹本来就弱到看不见了,不必加以考虑。这 样,就观察不到衍射条纹 3.因k=±4的主极大出现在0=90°的方向上,实际观察不到 所以,可观察到的有k=0,±1,±2,±3共7条明条纹
可知圆孔对 P 点恰可分为奇数个半波带，故 P 点为亮点。 12．解：设晶面间距为 d；第一束 X 射线波长为λ1，掠射角θ1=30°， 级次k1=1；另一束射线波长为λ2=0.097nm，掠射角θ2=60°，级次k2=3. 根据布拉格公式：第一束 dsinθ1=k1λ1 第二束 dsinθ2=k2λ2 两式相除得 λ1=0.168nm 四、 问答题 1． 答：主要是因为声波（空气中）波长为 0.1 米到 10 米的范围，而 可见光波长数量级为 1 微米，日常生活中遇到的孔或屏的线度接近或小 于声波波长，而又远大于光波波长，所以，声波衍射现象很明显，而光 波的衍射现象就很难观察到。 2． 答：由单缝衍射暗纹条件 sinθ=kλ/a, (k=±1, ±2,……)可知， 当λ/a很小的时候，k不太大的那些暗纹都密集在狭窄的中央明纹附近， 以致不能分辨出条纹。 并且 k 很大的暗纹之间的明纹本来就弱到看不见了，不必加以考虑。这 样，就观察不到衍射条纹。 3． 因 k=±4 的主极大出现在θ=90°的方向上，实际观察不到。 所以，可观察到的有 k=0, ±1, ±2, ±3 共 7 条明条纹