振动与波动 习题分析
1 振动与波动 习题分析
例1在匀加速上升的电梯中有一悬挂的摆, 角位移很小时,是否可以看成是简谐振动? 解]非惯性系中列牛顿方程 01 切向:(应考虑惯性力m)aS a mg sin- ma sin= m sin6≈6,s=l6 d26 m g m6(o+a=ml ma d 88+a 十 6=0 对比2+02x=0,可知是简谐振动 2
2 例1. 在匀加速上升的电梯中有一悬挂的摆, 角位移很小时,是否可以看成是简谐振动? l m a mg s ma q [解] 非惯性系中列牛顿方程 2 2 2 2 ( ) sin , sin sin dt d m g a ml S l dt d S mg ma m q q q q q q q − + = = − − = 0 2 2 = + → + q q l g a dt d 对比 0 2 2 2 + x = dt d x , 可知是简谐振动. 切向: (应考虑惯性力-ma )
例2.横截面均匀光滑的U形管中,有总长度为L 的液体若液面上下有微小起伏问是否是 简谐振动?(液体不能看成质点) 「解] ·于看是否符合简谐振动的定义式 方法一.对比动力学方程 如图,高出的液体段受重力 W=(△.p)g=2uSg 它正是整个液体受的合力
3 例2. 横截面均匀光滑的U形管中,有总长度为L 的液体.若液面上下有微小起伏,问是否是 简谐振动?(液体不能看成质点) [解] 看是否符合简谐振动的定义式. 如图,高出的液体段受重力 W = (V )g = 2ySg 它正是整个液体受的合力. 方法一. 对比动力学方程
由牛顿运动定律: 2y 2 psgy =m 2 OSL J y 28 2 +-y 0 对比d2x +2x=0可知是简谐振动 dt 而且知a=28
4 2 2 2 2 2 dt d y SL dt d y − Sgy = m = 由牛顿运动定律: 对比 0 2 2 2 + x = dt d x 可知是简谐振动. 而且知 L 2g = 0 2 2 2 → + y = L g dt d y
方法二对比能量的特征--能量法 设液体在平衡位置时, 平衙液面 重力势能为零, 液体在如图位置时, 相当于将右边高为y的液体 移到了左边重心上移了y 2(,sg 液体有了势能E,=(psyg)y=(2 因为光滑,无能量损耗 2 E=Ek+Ep= const可知是简谐振动
5 方法二. 对比能量的特征------能量法 设液体在平衡位置时, 重力势能为零, 液体在如图位置时, 相当于将右边高为y的液体 移到了左边.重心上移了y. 液体有了势能 ( ) ( ) 2 2 2 1 E s yg y sg y P = = ----- 2 2 1 因为光滑 = k y ,无能量损耗 E E E const. = K + P = 可知是简谐振动
因为k=2psg 所以a k 2psg 2g Vm \ psL 结果相同
6 因为 k = 2sg 所以 L g sL sg m k 2 2 = = = 结果相同
例3.一平面简谐波在媒质1中向+x方向传播, 已知:x=-d处的a点的振动表达式为 n= Acoso t,在原点右侧处有 一厚度为D的媒质2(如图所示) 在媒质1,2中波速为u,u2且p1u1p2L2 并设波的振幅都是A 试:(1)写出Ⅸ区沿+x方向传播的波的波函数 (2)写出S1面上反射波的波函数 (3)写出S2面上反射波在区的波函数 (4)若要使两列反射波在区内叠加后的 合振幅为最大,媒质2的厚度至少应多大?
7 例3. 一平面简谐波在媒质1中向+x方向传播, 已知: x = -d 处的a点的振动表达式为 A t a = cos , 在原点右侧 l处有 在媒质 1,2中波速为u1 ,u2 ,且1u1< 2u2 并设波的振幅都是A. 一厚度为 D的媒质2(如图所示), 试:(1)写出I区沿+x方向传播的波的波函数 (2)写出S1面上反射波的波函数 (3)写出S2面上反射波在 I区的波函数 (4)若要使两列反射波在 I区内叠加后的 合振幅为最大,媒质2的厚度至少应多大?
「解](1)写出I区沿+x方向传播的波的波函数 5,入射=Acos(ot 2丌) 或入射=Ac0sO(1-++d p11 I区 I区Ⅲ区
8 [解] (1)写出 I 区沿 +x 方向传播的波的波函数 cos( 2 ) 1 . x d A t I + 入 射 = − cos ( ) 1 . u x d A t I + 或 入 射 = − I 区 II 区 III 区 D x 1u1 2u2 S1 S2 0 l -d a 1u1 l l I 区 II 区 III 区 D x 1u1 2u2 S1 S2 0 l -d a 1u1 l l x
(2)写出S1面上反射波的波函数 先写出波在S面上引起质点振动的表达式 p 11 p 1 2,=Ac0s(-2+d 在S1面上反射的波 有半波损失,故 反射波的波函数为 I区Ⅱ区Ⅲ区 ,反射= COS O∥、I+d 元
9 I 区 II 区 III 区 D x 1u1 2u2 S1 S2 0 l -d a 1u1 l l 先写出波在S1面上引起质点振动的表达式 cos ( ) 1 1 u l d A t S + = − 在S1面上反射的波 有半波损失，故 反射波的波函数为 cos ( ) 1 1 . − − + + = − u x l u l d A t I 反 射 (2)写出S1面上反射波的波函数
(3)写出S2面上反射波在I区的波函数 先写出波在S2面上引5,= Acos( l+dD 起质点振动的表达式 1反.ACOs0-4+dDD 2u2 p1u 2因为在S2面上的反 射波无半波损失, d 再进入S1面透射到 I区也无半波损失。 I区 区Ⅲ区
10 先写出波在S2面上引 起质点振动的表达式 cos ( ) 1 2 2 u D u l d A t S − + = − 因为在S2面上的反 射波无半波损失， 再进入S1面透射到 I区也无半波损失。 cos ( ) 1 2 2 1 . u x l u D u D u l d A t I − − − + + 反 射 = − I 区 II 区 III 区 D x 1u1 2u2 S1 S2 0 l -d a 1u1 l l (3)写出S2面上反射波在I区的波函数
