东南大学：《自动控制原理》课程教学资源（讲义）02 控制系统的数学模型.doc_大学文库

第二章控制系统的数学模型 2.1引言揿制系统是由控制对象、热行机枃放大罨檢测〔测量)装買和控制罨等组成数学模型:在分析和设计系统时,了解这些砖砖瓦瓦的丁作原理及运动过程是很重要的衷熏要的是深入研宠它们的动态特性,正确列写出京们的数学表达式我们把描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型深入了解元件及系统的动态特性,淮确建立它们的数学模型一称建模,只有得到较为進确的数学建模才能设计出性能良妖的挖制系统g 动态特性控制系统所采用的元件种类繁多,虽然各自服从的规律,但它们有一共同点即任何系统或元件总有物质或能量流入,同时又有某些物质或能量流出,系统通常又是有贮存物质或能量的能力,贮存量的多少用状态变量来表示。状态变量是反应系统流入量或流出量之间平衡的物理量,由于外部供给系统的物质或能量的速率是有限的,不可能是无穷大, 因此,系统的状态变量有一个状态变到另一个状态不可能瞬间完成,而要经过一段时间。这样,状态变量的变化就有一个过程,这就是动态过程。例如,电路中电容上的电压是一个状态变量,它由一个值变到另一个值不可能瞬间完成。具有一定惯量的物体的转速是一个状态变量,转速的变化也是一个过渡过程,具有一定质量的物体的温度是一个状态变量,它由温度T0变到T,同样有一个动态过程:又如容器中液位也是一个状态变量,液位的变化也要一定的时间。物理模型任何元件或系统实际上都是很复杂的,难以对它作出精确、全面的描述,必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的, 要根据问题的性质和求解的精确要求,来确定出合理的物理模型。建立控制系统数学模型的方法有分析法一对系统各部分的运动机理进行分析,物理规律、化学规律建立系统数学模型的几个步骤建立物理模型。列写原始方程。利用适当的物理定律一如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等) 选定系统的输入量、输出量及状态变量(仅在建立状态模型时要求),消去中间变量,建立适当的输入输出模型或状态空间模型实验法一人为施加某种测试信号,记录基本输出响应输入(已知) 输出(已知) 黑匣子数学模型的逼近数学模型有多种表现形式

14 第二章控制系统的数学模型 2.1 引言控制系统是由控制对象、执行机构、放大器、检测（测量）装置和控制器等组成。数学模型：在分析和设计系统时，了解这些砖砖瓦瓦的工作原理及运动过程是很重要的，更重要的是深入研究它们的动态特性，正确列写出它们的数学表达式。我们把描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型。深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型－称建模，只有得到较为准确的数学建模，才能设计出性能良好的控制系统。动态特性控制系统所采用的元件种类繁多，虽然各自服从的规律，但它们有一共同点：即任何系统或元件总有物质或能量流入，同时又有某些物质或能量流出，系统通常又是有贮存物质或能量的能力，贮存量的多少用状态变量来表示。状态变量是反应系统流入量或流出量之间平衡的物理量，由于外部供给系统的物质或能量的速率是有限的，不可能是无穷大，因此，系统的状态变量有一个状态变到另一个状态不可能瞬间完成，而要经过一段时间。这样，状态变量的变化就有一个过程，这就是动态过程。例如，电路中电容上的电压是一个状态变量，它由一个值变到另一个值不可能瞬间完成。具有一定惯量的物体的转速是一个状态变量，转速的变化也是一个过渡过程，具有一定质量的物体的温度是一个状态变量，它由温度T0变到T，同样有一个动态过程；又如容器中液位也是一个状态变量，液位的变化也要一定的时间。物理模型任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。建立控制系统数学模型的方法有分析法－对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律建立系统数学模型的几个步骤： • 建立物理模型。 • 列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等） • 选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。实验法－人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。黑匣子输入（已知）输出（已知）数学模型的逼近数学模型有多种表现形式

17 可见，机系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为即系统的等效网络）相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统...... 因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。例3 图2-3 所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua(t)（v）为输入量，电动机转速ωm（t）（rad/s）为输出量，列写微分方程。图中Ra(Ω)、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感，Mc(N·M)是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。图2-3 电枢控制直流电动机原理图 SM 负载＋ - ＋ - La Ra Ea Wm Jm,fm Ua if ia 解：电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia（t）与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。 ·电枢回路电压平衡方程： a a a a a a R i t E dt di t U t = L + ( ) + ( ) ( ) ① Ea是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压Ua(t)相反，即 Ea=Ceωm（t） Ce－反电势系数（v/rad/s） ② ·电磁转距方程： Mm(t)=Cmia(t) ③ Cm-电动机转距系数（N·M/A）是电动机转距系数。 Mm(t)-是由电枢电流产生的电磁转距（N·M） ·电动机轴上的转距平衡方程： ( ) ( ) ( ) ( ) f t M t M t dt d t J m m m c m m +  = −  ④ Jm－转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的） kg·m· 2 s fm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（N·m/rad/s） ③、④求出ia(t)，代入①同时②亦代入①得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 R M t dt dM t C U t L R f C C t dt d t L f R J dt d t L J a c c m a a a m m e m m a m a m m a m = − − + + + +    ⑤ 在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而⑤可简化为

18 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 t K U t K M t dt d t T m a c m m + = −  ⑥ 式中 a m m e a m m R f C C R J T + = 电动机机电时间常数（s） a m m e m R f C C C K + 1 = m m e a Raf C C R K + 2 = 电动机传递系数如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时 ⑥还可进一步简化为 C (t) U (t) e m = a ⑦ 电动机的转速Wm(t)与电枢电压Ua(t)成正比，于是电动机可作为测速发电机使用。系统最基本的数学模型是它的微分方程式。建立微分方程的步骤如下： ①确定系统的输入量和输出量 ②将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。 ③消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。 2.2.2 线性微分方程的求解列出方程求解方程求解微分方程初条输入量 2.2.3 非线性元件微分方程的线性化具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一断直线来代替。（分段定常系统） ·一个变量的非线性函数 y=f(x) 在x0处连续可微，则可将它在该点附件用台劳级数展开 = = + − + − +  ' '' 2 ( 0)( 0) 2! 1 y f (x) f (x0) f (x0)(x x0) f x x x 增量较小时略去其高次幂项，则有 0 ( ) ( 0) ( 0)( 0) ' y − y = f x − f x = f x x − x Δy k Δx Δy=kΔx 比例系数，函数在x0点切线的斜率 ·两个变量的非线性函数 y=f(x1,x2)，同样可在某工作点（x10,x20）附件用台劳级数展开为 − +    + − −    − +   + −   − +   = = + ( 1 20) ] 2 ( 10, 20) ( 10)( 20) 1 2 ( 10, 20) ( 1 10) 2 1 ( 10, 20) [ 2! 1 ( 2 20)] 2 ( 10, 20) ( 1 10) 1 ( 10, 20) ( 1, 2) ( 10, 20) [ 2 2 2 2 2 2 x x x f x x x x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x y f x x f x x 略去二级以上导数项，并令Δy＝y-f(x10,x20) Δx1=x-x10 Δx2=x-x20

23  + ( ) = ( ) 1 ( ) i t dt U t C Ri t i  =  = dt dU t i t dt i t C C U t o ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 0 消去中间变量i(t)，得： ( ) ( ) ( ) 0 0 U t U t dt dU t RC + = i 在初始条件为零的情况下，进行拉氏变换得： 1 1 ( ) ( ) 0 + = U t RCS U t i 可见，输入输出象函数之比只与本电路结构参数R、C有关。它可用来表征电路本身的特性，称为传递函数。由上述电路得到的这一概念可推广到一般情况。第4讲 2.3 控制系统的复域数学模型 2.3.1 传递函数是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初使条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化是分析较麻烦。用拉氏变化法求结微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 r t b r t dt d r t b dt d r t b dt d b c t a c t dt d c t a dt d c t a dt d a m m m m m m n n n n n n = + +  + + + +  + + − − − − − − 式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量， a (i 1,2,3, ,n) i =  和 b ( j 1,2, ,m) j =  是与系统结构和参数有关的常系数。设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令c(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方程为： [ ] ( ) [ ] ( ) 1 1 1 0 1 1 0 1 a s a s a s a C s b s b s b s a R s m m m m n n n n + +  + + = + +  + − + − − − 于是，由定义得系统传递函数为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 0 1 N s M s a s a s a s a b s b s b s b R s C s G s n n n n m m m m = + +  + + + +  + + = = − − − − 式中 m m m m M s = b s + b s +  + b − s + b − 1 1 0 1 ( ) n n n n N s = a s + a s +  + a − s + a − 1 1 0 1 ( ) 例5 求例2机械系统与电路系统的传递函数 ( ) ( ) X s X s r c 和 ( ) ( ) U s U s r c B1 B2 Xc K1 K2 Xc B1 Xc K1Xr ( + ) + ( + ) = + • • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 B B sX s K K X s B sX s K X s + c + + c = r + r