第3讲 程向红 传递函数及其性质 典型元部件的传递函数
1 第3讲 程向红 传递函数及其性质 典型元部件的传递函数
上讲回顾 ■模型的概念 ■建立系统微分方程模■非线性系统的线性化 型 泰勒级数展开法 实例:电枢控制直流伺 服电动机模型 n电枢回路电压平衡方程 电磁转距方程 电动机轴上的转距平衡 方程
2 模型的概念 建立系统微分方程模 型 实例：电枢控制直流伺 服电动机模型 电枢回路电压平衡方程 电磁转距方程 电动机轴上的转距平衡 方程 非线性系统的线性化 —— 泰勒级数展开法 上讲回顾
数学工具-拉普拉斯变换与反变换 (1)拉氏变换定义 设函数f(满①t0时,f分段连续f0ed<a 则f()的拉氏变换存在,其表达式记作 F(s)=L[f(o]=l f(t)e sdt (2)拉氏变换基本定理 ■线性定理 La1f1(t)+a22()=a1F1(s)+a2F2(s) ■位移定理 Lle“f(t)=F(s+a) ■延迟定理 Llf(t-t=eF(s) ■终值定理 lim f(t)=lim SF(s) 3 s-0
3 数学工具－拉普拉斯变换与反变换 ⑴ 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 ①t0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作 ⑵拉氏变换基本定理 线性定理 位移定理 延迟定理 终值定理 − f t e dt st 0 ( ) F s L f t f t e dt st − = = 0 ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 L a f t + a f t = a F s + a F s L[e f (t)] F(s a) at = + − L[ f (t )] e F(s) s − − = lim ( ) lim ( ) 0 f t sF s t ⎯→ s ⎯→ =
数学工具-拉普拉斯变换与反变换续 ■初值定理mf()=hmsF(s) n微分定理d(1=F()042(y=(o)(00 a积分定理M=F)(o0可1= S S (3)拉氏反变换 F(s) B(s)k(S+-1)(S+2)…(+zn) F(s)化成下列因式分解形式 A(S)(S+Pus+p2).(S+Pn) a.F(s)中具有不同的极点时,可展开为 B(s F(s)= … (S+ pk)ls=-p stpstp s+p 4
4 数学工具－拉普拉斯变换与反变换续 初值定理 微分定理 积分定理 ⑶ 拉氏反变换 F(s)化成下列因式分解形式： a.F(s)中具有不同的极点时，可展开为 lim ( ) lim ( ) 0 f t sF s t ⎯→ s ⎯→ = ] ( ) (0) ( ) [ sF s f dt df t L = − ] ( ) (0) (0) ( ) [ 2 ' 2 2 s F s sf f dt d f t L = − − − = − s f s F s L f t dt ( ) (0) [ ( ) ] 1 s f s f s F s L f t dt ( ) (0) (0) [ ( ) ] 2 2 1 2 − − = − − ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 n m s p s p s p k s z s z s z A s B s F s + + + + + + = = n n s p a s p a s p a F s + + + + + + = 2 2 1 1 ( ) pk k pk s s A s B s a = + =− ( )] ( ) ( ) [
bF(s)含有共扼复数极点时,可展开为 a1 s+a2 a … (s+p1)(s+p2)s+p3 st p B(s La, s+a2lsa-pL A(s) (s+p1)S+p2) S=-P1 CF(S)含有多重极点时,可展开为 b 、b s+P1)(s+P1) (s+P1)(s+p) (S+p B(s bn=[(s+p1) B(S P1 1(s+p1)]}=-pn ds A(S) d' bo i de[de(s+ p )bs-pl 1 B(s) A( (r-1)!ds=A(s) (s+P)1}=a 其余各极点的留数确定方法与上同。 5
5 b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为 n n s p a s p a s p s p a s a F s + + + + + + + + = 3 3 1 2 1 2 ( )( ) ( ) 1 1 ( )( )] ( ) ( ) [ ] [ 1 2 s p 1 p2 s p s p s A s B s a s + a =− = + + =− c.F(s)含有多重极点时，可展开为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 n n r r r r r r s p a s p a s p b s p b s p b F s + + + + + + + + + + + = + + − − 1 ( ) ] ( ) ( ) [ 1 s p r r s p A s B s b = + =− 1 1 1 ( ) ]} ( ) ( ) { [ s p r r s p A s B s ds d b − = + =− 1 1 ( ) ]} ( ) ( ) { [ ! 1 s p r j j r j s p A s B s ds d j b − = + =− 1 ( ) ]} ( ) ( ) { [ ( 1)! 1 1 1 1 1 s p r r r s p A s B s ds d r b − =− − + − = 其余各极点的留数确定方法与上同
2.3控制系统的复域数学模型 2.31传递函数 Ⅺ无法显示该图片 是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的 概念 微分方程是在时城中描述系统动态性能的数学模型,在给 定外 微分方程可以得到系统的输出 响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦 用拉氏变化法求解微分方程时,可以得到控制系统在复数 域的数学模型-传递函数。 定义:线性定常系统的传递函数,定义 初使条件下 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之 传递函数。输出信号的拉氏变换 输入信号的拉氏变换 初始条件() 6
6 2.3 控制系统的复域数学模型 2.3.1 传递函数 是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的 概念。 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给 定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出 响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。 用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数 域的数学模型－传递函数。 定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下， 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 ( ) ( ) R s C s = = 输入信号的拉氏变换 零初始条件 输出信号的拉氏变换 传递函数
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述: c(t)+a11nc(t)+…+an1C()+an2() dt =bo,()+、m1 r(t)+.+bm-r(t)+br(t) dt ■式中c()是系统输出量,r(t)是系统输入量,和是 与系统结构和参数有关的常系数。 ■设r(t)和c()及其各阶系数在t=0是的值均为零,即 零初始条件,则对上式中各项分别求拉氏变换, 并令R(S)=L[c(t],R(S)=L[rt,可得的代数方 程为 aos"+a1s"+…+an③S+anJC(③s)=[bs"+bs"+…+bm-S+amn]R(s) ■于是,由定义得系统传递函数为:
7 式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，和是 与系统结构和参数有关的常系数。 设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即 零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换， 并令R(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方 程为： 于是，由定义得系统传递函数为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 r t b r t dt d r t b dt d r t b dt d b c t a c t dt d c t a dt d c t a dt d a m m m m m m n n n n n n = + + + + + + + + − − − − − − [ ] ( ) [ ] ( ) 1 1 1 0 1 1 0 1 a s a s a s a C s b s b s b s a R s m m m m n n n n + + + + = + + + − + − − − 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
C(s)b。s"+b3s″+…+bnS+bnM(Ss) R(s) aoS"+a,s"++an-5+an N(S) M(S)=b05+b, s+.+bm-S+6m N(s)=aos"+a,s-+ .+as+a 例2-5 求例2机械系统与电路系统的传递函数料乙 解 (B+B2)X+(Ki+K2)X=B,x+KX (B1+B2)SX(s)+(K1+k2)X(S)=B1SX(3)+K1X(s) x(5=(B+B)5+k,+机械系统传递函数 (R+ r2)Uc(+U=r,Ur+U
8 求例2-2机械系统与电路系统的传递函数 和 解： --》机械系统传递函数 m m m m M s = b s + b s + + b − s + b − 1 1 0 1 ( ) n n n n N s = a s + a s + + a − s + a − 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) X s X s r c ( ) ( ) U s U s r c B1 B2 Xc K1 K2 Xc B1 Xc K1 Xr ( + ) + ( + ) = + • • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 B B SX s K K X s B SX s K X s + c + + c = r + r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 0 1 N s M s a s a s a s a b s b s b s b R s C s G s n n n n m m m m = + + + + + + + + = = − − − − 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) B B s K K B s K X s X s r c + + + + = r r c c U C U R U C C R R U 1 1 1 2 1 2 1 ) 1 1 ( + ) + ( + = + • • 例2-5
(R+ r2su(s)+(+U(s=rSU(s)+U(s) R,S+ U(s U,(S)(R,+R2)S+ 》电系统的传递函数 性质1 传递函数是复变量s的有理真分式函数,m≤n,且所具 有复变量函数的所有性质。 性质2 G(s)取决于系统或元件的结构和参数,与输入量的 形式(幅度与大小)无关 R(s) e G(s) C(s) 图2-6 9
9 ( ) 1 ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( 1 1 1 2 1 2 U s C U s R SU s C C R R SU s + c + + c = r + r ) 1 1 ( ) ( 1 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 C C R R S C R S U s U s r c + + + + = R(s) G(s) C(s) 图2-6 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的 形式（幅度与大小）无关。 --》电系统的传递函数 传递函数是复变量s的有理真分式函数， m≤n，且所具 有复变量函数的所有性质。 性质1 性质2
性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系,但它不提供任何该系统的 物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。 性质4 如果G(s)已知,那么可以研究系统在各种输入信号作用 下的输出响应。 性质5 如果系统的G(s)未知,可以给系统加上已知的输入,研 究其输出,从而得出传递函数,一旦建立G(s)可以给出 该系统动态特性的完整描述,与其它物理描述不同。 传递函数数学模型是(表示)输出变量和输入变量微 分方程的运算模型( operational mode) 性质传递函数与微分方程之间有关系。 6 G(s)= K(s)如果将s=置换传递函数微分方帮
10 ( ) ( ) ( ) R s C s G s = 如果将 dt d S 置换 传递函数 微分方程 性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的 物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。 如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用 下的输出响应。 性质4 如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研 究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出 该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同。 性质5 传递函数数学模型 是（表示）输出变量和输入变量微 分方程的运算模型（operational mode） 性质 传递函数与微分方程之间有关系。 6
