第15讲 程向红 控制系统的校正 系统的设计与校正问题 消用校正装置及其特性 串联校正
1 第15讲 程向红 系统的设计与校正问题 常用校正装置及其特性 串联校正 控制系统的校正
例5-6设一个闭环系统具有下列 O=0+ G平面 K 开环传递函数G(s)H(s) 0=0 s(s-1 试确定该闭环系统的稳定性。 Re 解 H(SG(S) 0=-00 在右半s平面内有一个极点 O=0 图544H()G(j)极坐标图 2图5-44中的奈奎斯特图表明, H(s)G(s)轨迹顺时针方向包围-1+0点一次 R=1 3Z=R+P=2 这表明闭环系统有两个极点在右半平面, 因此系统是不稳定的
2 例5-6 设一个闭环系统具有下列 ( 1) ( ) ( ) − = s Ts K G s H s 试确定该闭环系统的稳定性。 GH平面 Re Im = =− −1 + = 0 − = 0 开环传递函数 图5-44 H( j)G( j) 极坐标图 解 H(s)G(s) 在右半s平面内有一个极点 T s 1 = P = 1 图5-44中的奈奎斯特图表明， H(s)G(s) 轨迹顺时针方向包围-1+0点一次 R = 1 Z = R + P = 2 这表明闭环系统有两个极点在右半s平面， 因此系统是不稳定的
例5-7设一个闭环系统具有下列开环传 递函数试确定该闭环系统的稳定性。 GH平面 ±√3 Re 1在右半平面内有一个酶进线 aKI K P=1因此开环系统是不稳定的 2图545表明H(S)G(s) 轨迹逆时针方向包围-1+j0—次 R=-1 Z=R+P=0 反5A5 Himalia从坛图 说明1+H(s)G(s)没有零点位于右半s平面内,闭环系统是 稳定的。这是一个开环系统不稳定,但是 回路闭合后,变成稳定系统的例子
3 例5-7 设一个闭环系统具有下列开环传 递函数试确定该闭环系统的稳定性。 图5-45 H( j)G( j) 极坐标图 G H平面 Re Im −1 −K = 3 = − − = 0 −4K = + = 0 在右半s平面内有一个极点渐近线 s =1 P = 1 因此开环系统是不稳定的 H(s)G(s) 轨迹逆时针方向包围-1+j0一次 R = −1 Z = R + P = 0 说明 1+ H(s)G(s) 没有零点位于右半s平面内，闭环系统是 稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是 回路闭合后，变成稳定系统的例子。 图5-45表明
例58—单位反馈控制系统的开环传递函数为 K 30753+75++15式中KT72和3 均为正值。为使系统稳定,开环增益K与时间常数 1,T2和73之间满足什么关系? 解 G(j0)= K [7172(j0)2+72j0+1](T3jO+1) 频率特性 K G(o iP(o (1-722)2+(72o)2+(7o)2 T0 P(o)=-arctg 1-1IT0 2 arctg130 G(j0+)=K-j0 G(∞)=-0+j0
4 例5-8 一单位反馈控制系统的开环传递函数为 ( 1)( 1) ( ) 2 3 2 1 2 + + + = TT s T s T s K G s 式中 1 2 3 K,T ,T 和T 均为正值。为使系统稳定，开环增益 K 与时间常数 1 2 3 T ,T 和T 之间满足什么关系？ 解 ： 频率特性 ( ) 2 3 2 2 2 2 1 2 [(1 ) ( ) ][1 ( ) ] ( ) j e T T T T K G j − + + = 3 2 1 2 2 1 ( ) arctgT T T T arctg − − = − G( j0+) = K − j0 G( j) = −0 + j0 [ ( ) 1]( 1) ( ) 2 3 2 1 2 + + + = T T j T j T j K G j
7i=1,72=2,73=3,K=2 1.5 0.5 -0.5 -0.5 0.5 1.5 Real Axis
5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Real Axis Imag Axis T1 =1,T2 = 2,T3 = 3,K = 2
K 展开 与负实 轴的交点 K 71273(m)+(7172+7273)j0)2+(12+73)0+1 K 1-72(Ti+73)02+(72+73-7172173o)2)0 +13 令虚部为零即可T2+73-71273 0 TiaT K K 与负实轴相交于G() 1-72(71+73)o =1-7(71+73 72+3 7173 K 12+2K+ 7173
6 [ ( ) 1]( 1) ( ) 2 3 2 1 2 + + + = T T j T j T j K G j ( ) ( )( ) ( 2 3 ) 1 2 1 2 2 3 3 1 2 3 + + + + + = T T T j T T T T j T T j K T T T T T T T T j K 1 ( ) ( ) 2 2 3 1 2 3 2 − 2 1 + 3 + + − = 令虚部为零即可 0 2 T2 +T3 −T1 T2 T3 = 1 2 3 2 3 T T T T T c + = 与负实轴相交于 2 1 3 2 3 2 1 3 2 2 1 3 1 ( ) 1 ( ) ( ) T T T T T T T T K T T T K G j c c + − + = − + = = 1 1 ( ) 1 3 2 3 1 3 − + − + T T T T T T K ( ) 1 1 3 2 3 1 3 + + + K T T T T T T 展开 ？与负实 轴的交点
5.7相对稳定性 G平面 57.1相位裕度和增益裕度 Re 0 K大时 K小时 图5-46G(j0)的极坐标图 判断糸统稳定 >0 的又一方法 h(dB)>0 y=180°+/((02)H(o) h=-20log G(Ox)H(Ox)
7 5.7.1相位裕度和增益裕度 Re Im 0 −1 G平面 K大时 K小时 图5-46 G( j) 的极坐标图 5.7相对稳定性 h(dB) 0 判断系统稳定 0 的又一方法 180 ( ) ( ) c c = + G j H j 20log ( ) ( ) x x h = − G j H j
①相位裕度、相角裕度( Phase Margin)y 设系统的截止频率( Gain cross-over frequency)为 A(j02)=G(jo。)H(jO2)=1 定义相角裕度为y=180°+/(G(0)H(o2) 当y>0时,相位裕量为正值; 当y<0时,相位裕度为负值。 ②增益裕度、幅值裕度( Gain margin)h 设系统的相位穿越频率 (Phase cross-over frequency)o 0(O)=/G(o)H(1n)=(2k+1)z k=0.±1 定义幅值裕度为 G(Ox)H(jo 若以分贝表示,则有h=-20bgG(0x)H(mx
8 相位裕度、相角裕度(Phase Margin) 设系统的截止频率(Gain cross-over frequency)为 c A( jc ) = G( jc )H( jc ) =1 定义相角裕度为 180 ( ) ( ) c c = + G j H j 当 0 时，相位裕量为正值； 当 0 时，相位裕度为负值。 增益裕度、幅值裕度(Gain Margin) h 设系统的相位穿越频率(Phase cross-over frequency) (x ) = G( jx )H( jx ) = (2k +1) k = 0,1, 定义幅值裕度为 ( ) ( ) 1 x x G j H j h = 20log ( ) ( ) x x 若以分贝表示，则有 h = − G j H j x
Positive egative dB Gain Margin dB Gain Margin go 90 L g 1809 180° 270 Logo 2709 Positive Phase margin Negative Phase Margin Stable System Unstable System
9 Log Log Log Log −90 −270 −180 Positive Gain Margin Positive Phase Margin Negative Gain Margin Negative Phase Margin Stable System Unstable System 0 dB −90 −270 −180 0 dB c x c x
Positive G Plane Negative Im Gain Margin Phase Margin G Plane h Re e G(O) Positive egative Phase Margin Gain Margin Stable System Unstable System
10 Re Im h 1 GPlane Positive Gain Margin Positive Phase Margin -1 1 Re Im h 1 GPlane Negative Gain Margin Negative Phase Margin -1 1 Stable System Unstable System G( j) G( j)