第14讲 程向红 奈奎斯特稳定判据 对数稳定判据和稳定裕度 控制系统的校正
1 第14讲 程向红 奈奎斯特稳定判据 对数稳定判据和稳定裕度 控制系统的校正
53.5极坐标图的一般形状(、m)"(Tijo+1720+1)…(Tnj0+1) K(1j0+1)(z2jO+1)…(zmj+1) n>m v=00型系统:极坐标图的起点 0+O O=0 =0是一个位于正实轴的有限值 Re 0=∞极坐标图曲线的终点位于坐 2型系统 标原点,并且这一点上的曲线与 个坐标轴相切。 1型系统 ↓0型系统 V=11型系统:在总的相角中-90°的相角是i0项产生的 O=0极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段 O=∞幅值为零,且曲线收敛于原点,且曲线与一个 坐标轴相切
2 5.3.5 极坐标图的一般形状 Re Im = 0 1型系统 0型系统 2型系统 0 0 0 ( ) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( ) 1 2 1 2 + + + + + + = − j T j T j T j K j j j G j n m n m = 0 0型系统：极坐标图的起点 = 0 是一个位于正实轴的有限值 = 极坐标图曲线的终点位于坐 标原点，并且这一点上的曲线与一 个坐标轴相切。 =1 1型系统： − 90 的相角是 j 极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段 = 幅值为零，且曲线收敛于原点，且曲线与一个 坐标轴相切。 在总的相角中 项产生的 = 0
n-m=3 =22型系统 n-m=2 在总相角中-180°的相角是由 Re √o)2项产生的 如果0(1o0的分母多项式阶次 n-m=1 高于分子多项式阶次,那么图534b高频区域内的极坐标图 G(io)的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点 当0=时,G(o)轴迹将与实轴或虚轴相切
3 = 2 在总相角中−180 的相角是由 2 ( j) 项产生的 2型系统： Re = 0 n−m=1 n−m= 2 n−m=3 图5-34b高频区域内的极坐标图 如果 G( j) 的分母多项式阶次 G( j) 的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点 = 时， G( j) 轨迹将与实轴或虚轴相切 高于分子多项式阶次，那么 当
R(s) C(s G(S) 55奈奎斯特稳定判据 (Nyquist Stability Criterion) H(S) 闭环传递函数为 C(s G(S) 图3-35闭环系统 R(s) 1+HSG(s) 为了保证系统稳定,特征方程1+H(s)(s)=0 充要条件 的全部根,都必须位于左半平面。 虽然开环传递函数H(s)G(s) 的极点和零点可能位于右半平面, 但如果闭环传递函数的所有极点均位 于左半s平面,则系统是稳定的
4 5.5奈奎斯特稳定判据 (Nyquist Stability Criterion) R(s) C(s) G(s) H(s) 闭环传递函数为 图3-35 闭环系统 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H s G s G s R s C s + = 为了保证系统稳定，特征方程 1+ H(s)G(s) = 0 的全部根，都必须位于左半s平面。 H(s)G(s) 的极点和零点可能位于右半s平面， 但如果闭环传递函数的所有极点均位 于左半s平面，则系统是稳定的。 虽然开环传递函数 充要条件
5.52影射定理 1()为两个的多项式之比,并设P为F(s)的极点数,Z为 F(s)的零点数,它们位于平面上的某一封闭曲线内, 且有多重极点和多重零点的情况。设上述封闭曲线不通过 F()的任何极点和零点。于是,s平面上的这一封闭曲线影射到 F(s)平面上,也是一条封闭曲线。当变量s顺时针通过封闭曲线时 在F(S平面上,相应的轨迹顺时针包围F(s原点的总次数R等于ZP
5 5.5.2影射定理 设 F(s) 为两个s的多项式之比，并设P为 F(s) 的极点数，Z为 F(s) 的零点数，它们位于s平面上的某一封闭曲线内， F(s) 的任何极点和零点。于是，s平面上的这一封闭曲线影射到 F(s) 平面上，也是一条封闭曲线。当变量s顺时针通过封闭曲线时 F(s) 平面上，相应的轨迹顺时针包围 F(s) 原点的总次数R等于Z-P。 且有多重极点和多重零点的情况。设上述封闭曲线不通过 在
若R为正数,表示F()的零点数超过了极点数; 若R为负数,表示F(s)的极点数超过了零点数 在控制系统应用中,由H(s)G(s)很容易确定 F(s)=1+H(s)G(s)的P数。因此,如果,F(s) 的轨迹图中确定了R,则平面上封闭曲线内的零点数 很容易确定。 H(S)G()=B(s) 两者的极点数相同 F(s)=1+H()G()4(s)+B(s) A(S)
6 若R为正数，表示 F(s) 的零点数超过了极点数； F(s) 的极点数超过了零点数。 H(s)G(s) 很容易确定 F(s) =1+ H(s)G(s) 的P数。因此，如果， F(s) 的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数 若R为负数，表示 在控制系统应用中，由 很容易确定。 ( ) ( ) ( ) ( ) A s B s H s G s = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) A s A s B s F s H s G s + = + = 两者的极点数相同
55.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用 为了分析线性控制系统的稳定性,令s泙平面上的封闭曲线包 围整个右半面。这时的封闭曲线由整个j0轴(从O= 到O=+0)和右半平面上半径为无穷大的半圆轨迹构成 该封闭曲线为奈奎斯特轨迹(轨迹的方向为顺时针方向)。 因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半平面,所以它包围了 1+H(s)G(s)的所有正实部的极点和零点。 如果1+H(s)G(s)在右半平面不存在零点, 则不存在闭环极点,因而系统是稳定的
7 5.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用 为了分析线性控制系统的稳定性，令s平面上的封闭曲线包 围整个右半s平面。这时的封闭曲线由整个 j 轴(从 = − 到 = + 该封闭曲线为奈奎斯特轨迹(轨迹的方向为顺时针方向)。 因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半s平面，所以它包围了 )和右半s平面上半径为无穷大的半圆轨迹构成 1+ H(s)G(s) 的所有正实部的极点和零点。 1+ H(s)G(s) 则不存在闭环极点，因而系统是稳定的。 如果 在右半s平面不存在零点
im↑1+G面 s平面 Re 1+GGoHGjO Im↑GH平面 图5-37平面内的封闭曲线 Re 1+H(0)G(O) 1+G(o)H(o) GOGO 曲线对原点的包围,恰等于 H(G(o)轨迹对1+0点的包围
8 s平面 j 0 图5-37 s平面内的封闭曲线 Re Im 1+GH平面 1+G(j)H(j) 0 1 Re Im 0 1+G(j)H(j) G(j)H(j) −1 GH平面 曲线对原点的包围，恰等于 H( j)G( j) 1+ H( j)G( j) 轨迹对-1+j0点的包围
5.55关于奈奎斯特稳定判据的几点说明 这一判据可表示为:Z=R+P 式中 Z=函数F(s)=1+H(G(s)在右半s平面内的零点数 R 对1+j0点顺时针包围的次数 P=函数H(s)G(s)在右半s平面内的极点数 如果P不等于零,对于稳定的控制系统,必须z=0或 R==P,这意味着必须反时针方向包围1+0点P次。 如果函数H(sG(s)在右半s平面内无任何极点,则z=R 因此,为了保证系统稳定,G(jo)H(Jio) 的轨迹必须不包围1+j0点
9 这一判据可表示为： Z = R + P Z = 函数 F(s) =1+ H(s)G(s) 在右半s平面内的零点数 R = 对-1+j0点顺时针包围的次数 P = 函数 H(s)G(s) 如果P不等于零，对于稳定的控制系统，必须 Z = 0 或 R = −P ，这意味着必须反时针方向包围-1+j0点P次。 5.5.5关于奈奎斯特稳定判据的几点说明 式中 在右半s平面内的极点数 如果函数 H(s)G(s) 在右半s平面内无任何极点，则 Z = R 因此，为了保证系统稳定， G( j)H( j) 的轨迹必须不包围-1+j0点
5.56G(s)H(s)含有位于j上极点和或零点的特殊情况 Jo Ds平面 GHP平面 Cd E B K Re G(SH(S) 0E<<1 D.EIF s(s+1) F 变量$沿着jo轴从-0运动到10 ,从0到0,变量S沿着半径为E (6<x1)的半圆运动,再沿着正j轴从0运动到10
10 5.5.6 G(s)H(s) 含有位于 j 上极点和/或零点的特殊情况 s平面 j + j0 − j0 + j − j 1 A B C G H平面 Re Im =− = ' ' ' D ,E ,F F E D ' A ' B ' C + = 0 − = 0 变量 s 沿着 j 轴从 − j 运动到 − j0 ，从 − j0 到 + j0 ，变量 s 沿着半径为 1）的半圆运动，再沿着正 j轴从 + （ j0 运动到 j ( 1) ( ) ( ) + = s Ts K G s H s