第8讲线性系统的时域分析法 3.3二阶系统的时域分析 二阶系统:凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统,称为二阶系统 3.3.1二阶系统的数学模型 随动系统(位置控制系统)如图3-6所示。 输入电位计 输出电位计 反馈信号 ec 发送 输入装置 RI KAe 负载 误差测量装置 放大器电动机齿轮传动 图3-6随动系统原理图 (1)该系统的任务:控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。 (2)工作原理:用一对电位计作系统的误差测量装置,它们可以将输入和输出位置信号, 转换为与位置成正比的电信号。 输入电位计电刷臂的角位置b,由控制输入信号确定,角位置b就是系统的参考输入量, 而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比,输出电位计电刷臂的角位置O,由输出轴 的位置确定。 电位差e=K,(en-e)就是误差信号 桥式电位器的传递函数 该信号被增益常数为K的放大器放大,(K,应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗) 放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上 电动机激磁绕组上加有固定电压 如果出现误差信号,电动机就产生力矩以转动输出负载,并使误差信号减少到零。 (3)当激磁电流固定时,电动机产生的力矩(电磁转距)为 M=C M(s=CLI,(s) (3-10) Cn:电动机的转矩系数 i:为电枢电流
56 第 8 讲 线性系统的时域分析法 3.3 二阶系统的时域分析 二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。 3.3.1 二阶系统的数学模型 随动系统（位置控制系统）如图 3-6 所示。 + 图 3-6 随 动 系 统 原 理 图 输 入 电 位 计 输 出 电 位 计 θr θc 发 送 反 馈 信 号 SM θc ia 输 入 装 置 e1 KA KAe La R1 R1 R2 θ i 放 大 器 电 动 机 齿 轮 传 动 负 载 误 差 测 量 装 置 Ra ⑴该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。 ⑵工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号， 转换为与位置成正比的电信号。 输入电位计电刷臂的角位置 r ，由控制输入信号确定，角位置 r 就是系统的参考输入量， 而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置 c ，由输出轴 的位置确定。 电位差 ( ) s r c e = K e − e 就是误差信号。 : Ks 桥式电位器的传递函数 该信号被增益常数为 KA 的放大器放大，（ KA 应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗） 放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。 电动机激磁绕组上加有固定电压。 如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零。 (3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为： m a M = C i M(s) C I (s) = m a （3-10） : Cm 电动机的转矩系数 : a i 为电枢电流
对于电枢电路 La a+Ri+kb=kk e (3-11) d t (LS+RI,(S)=KKsE(s)-kbSe(s) LR.:电动机电枢绕组的电感和电阻 Kb:电动机的反电势常数,O:电动机的轴的角位移。 电动机的力矩平衡方程为: d-e +f==M=Cm(3-12) (S2+AS)(s)=M(s) J:为电动机负载和齿轮传动装置,折合到电动机轴上的组合转动惯量。 f:为电动机负载和齿轮传动装置,折合到电动机轴上的粘性摩擦系数 62(s)=-6(s) (3-13) 3-11 3-10 3-12 M JS+S KbS(s) KbS 图37随动系统方块图 根据图3-7,可以求出系统的开环传递函数(即前向通路传递函数)因为反馈回路传递 函数为1 62(s)H(s) E(S) C K.K,L2S+Rn"A2+/.1= KsK,Cm/ Cn·K,S i(LoS+R,JS2+fS)+CK,S (3-14) LoS+ROS+fs 如果略去电枢电感L
57 对于电枢电路 K K e dt d R i K dt di L a a b A s a a + + = （3-11） (L S R )I (s) K K E(s) K S (s) a + a a = A S − b : : La Ra 电动机电枢绕组的电感和电阻。 : Kb 电动机的反电势常数， : 电动机的轴的角位移。 电动机的力矩平衡方程为： m a M C i dt d f dt d J + = = 2 2 （3-12） ( ) ( ) ( ) 2 JS + fS s = M s J:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。 f:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。 i c 1 = ( ) 1 ( ) s i s c = （3-13） Ks KA Cm i 1 KbS θr(s) E(s) E1(s) Ia(s) M(s) θ(s) θc(s) 3-11 3-10 3-12 KbSθ(s) 图 3-7 随 动 系 统 方 块 图 根据图 3-7，可以求出系统的开环传递函数（即前向通路传递函数）因为反馈回路传递 函数为 1 ( ) ( ) ( ) ( ) E s s H s G s c = L S R JS f S C K S K K C i i L S R JS f S C K S JS f S C L S R K K a a m b S A m a a m b m a a S A + + + = + + + + + = ( )( ) 1 ( )( ) 1 1 1 2 2 2 （3-14） 如果略去电枢电感 La
G(s)= A Cm/ir K/F K (3-15) S(S+f+ S(S+ F) S(S+1) S(TS+D) K1=KKCm/R。增益 F=∫+-m阻尼系数,由于(K)电动机反电势的存在,增大了系统的粘性摩擦。 R K=K1/F开环增益 Tn=J/F机电时间常数 那么,不考虑负载力矩的情况下,随动系统的开环传递函数可以简化为: K G(s)= (3-16) S(TMS+D) 相应的闭环传递函数()=aA0=,(s) K (3-17) 8(s 1+G(s) T S+S+K K K 为了使研究的结果具有普遍意义,可将式(3-17)表示为如下标准形式 o()=C(s) (3-18) R(s)S2+250n+0n K VT On 5 2√TK ω,一自然频率(或无阻尼振荡频率) 2一阻尼比(相对阻尼系数) 二阶系统的标准形式,相应的方块图如图3-8所示 C(s) S(S+2EOn) 图3-8标准形式的二阶系统方块图
58 ( 1) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 + = + = + + ⎯⎯→ ⎯⎯→ = S F J S K F S JS F K F R C K S JS f K K C i R K G s a m b S A m a 令 令 ( +1) = S T S K m （3-15） S A m a K1 = K K C iR 增益 a m b R C K F = f + 阻尼系数，由于 ( ) Kb 电动机反电势的存在，增大了系统的粘性摩擦。 K = K1 F 开环增益 Tm = J F 机电时间常数 那么，不考虑负载力矩的情况下，随动系统的开环传递函数可以简化为： ( 1) ( ) + = S T S K G s m （3-16） 相应的闭环传递函数 T S S K K G s G s s s s r m c + + = + = = 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) （3-17） m n n m m m T K S T K S T S T K + + = + + = 2 1 2 2 2 为了使研究的结果具有普遍意义，可将式（3-17）表示为如下标准形式 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) n n n R s S C s s + + = = （3-18） m n T K = 2 m n T K = m n T 1 2 = 2 Tm K 1 = n －自然频率（或无阻尼振荡频率） －阻尼比（相对阻尼系数） 二阶系统的标准形式，相应的方块图如图 3-8 所示 S(S+2ξωn) ωn R 2 (s) C(s) 图3-8 标准形式的二阶系统方块图 _
二阶系统的动态特性,可以用ξ和on这两个参量的形式加以描述 二阶系统的特征方程:S2+2E0、S+.2=0(3-19) S12=-50n土On (3-20) 3.3.2二阶系统的单位阶跃响应 阻尼比是实际阻尼系数F与临界阻尼系数F的比值 F F 2√K√/F2k/F2KF F一临界阻尼系数,5=1时,阻尼系数 50 右半平面ξ<0 两个相等根 od=ony 1-5 =0 jon 两个不等根 图3-9二阶系统极点分布 (1)欠阻尼(0<5<1)二阶系统的单位阶跃响应 Underdamped Case S12==50n±jOn 令σ=5n-衰减系数 59
59 二阶系统的动态特性，可以用 和 n 这两个参量的形式加以描述 二阶系统的特征方程： 2 0 2 2 S + n S +n = （3-19） 1 2 S1,2 = −n n − （3-20） 3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应 阻尼比 是实际阻尼系数 F 与临界阻尼系数 FC 的比值 m FC F JK F J K F T K J K F = = = = = 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 FC －临界阻尼系数， = 1 时，阻尼系数 0 两个正实部的特征根 发散 0 1 ，闭环极点为共扼复根，位于右半 S 平面，这时的系统叫做欠阻尼系统 = 1 ，为两个相等的根 1 ，两个不相等的根 = 0 ，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡 图 3-9二 阶 系 统 极 点 分 布 左 半 平 面 ξ>0 01 两 个 不 等 根 0 (1)欠阻尼( 0 1 )二阶系统的单位阶跃响应 Underdamped Case 2 S1,2 = −n jn 1− 令 = n －衰减系数
=-G±J 阻尼振荡频率 R(s)=,由式(3-18)得 C()=p(s)R(S)= S+220S+o-S s(S+5o)2+o2(S+5on)2+ B 对上式取拉氏反变换,得单位阶跃响应为 h(1) Icoso t dt+B) 稳态分量 瞬态分量 B=arct arccos 稳态分量为1,表明图3-8系统在单位阶跃函数作用下,不存在稳态位置误差,瞬 态分量为阻尼正弦振荡项,其振荡频率为ω』一阻尼振荡频率 包络线1±e/h-52决定收敛速度 5=0时,h(t)=1-sn 这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡,其振荡频率为ω,一故称为无阻尼 振荡频率。On由系统本身的结构参数K和T’或K和J确定,ω,常称自然频率 ·实际控制系统通常有一定的阻尼比,因此不可能通过实验方法测得on,而只能 测得4,且ω<ωn,5≥1,ω不复存在,系统的响应不再出现振荡。 (2)临界阻尼(5=1) Critically Damped Case
60 d = − j 2 d = n 1− －阻尼振荡频率 S R s 1 ( ) = ，由式（3-18）得 S S S C s s R s n n n 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 + + = = 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 n d n n d n S S S S + + − + + + = − 2 2 1 1 − = − = d n n d d n d 对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为 1 2 1− sin ] 1 ( ) 1 [cos 2 h t e t t d d t n − = − + − sin( ) 0 1 1 1 2 + − = − − e t t d t n （3-21） 稳态分量 瞬态分量 arccos 1 2 = − = arctg 稳态分量为 1，表明图 3-8 系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差，瞬 态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为 d －阻尼振荡频率 包络线 2 1 1 − − t n e 决定收敛速度 = 0 时， h(t) =1− sin n t t 0 （3-23） 这是一条平均值为 1 的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为 n －故称为无阻尼 振荡频率。 n 由系统本身的结构参数 K 和 Tm ，或 K1 和 J 确定， n 常称自然频率。 ·实际控制系统通常有一定的阻尼比，因此不可能通过实验方法测得 n ，而只能 测得 d ，且 d n ， d 1, 不复存在，系统的响应不再出现振荡。 (2)临界阻尼( = 1 ) Critically Damped Case
r0)=0),R(S)=s C(s) (S+n) S 临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应 h()=1-eont-e=1-e"(1+o,)t≥0 4) (3-24 5=1时,二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程 dh(n)-o2+c-° (3)过阻尼(5>1)0ver- damped Case S12=-50n±o C(s) (S-SXS-S2)S[s+on(E-√2-1)S+o,(+√V2-l)S A A A3 S+on(5-V52-1)5+on(+V52-1) S+O, (s A h(1)=1 4-2-1)+ 42-mt≥0
61 S r t u t R s 1 ( ) = ( ) , ( ) = n n n n n S S S S S C s + − + = − + = 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应 ( ) = 1− − = 1− (1+ ) 0 − − − h t e t e e t t n t t n t n n n （3-24） 当 = 1 时，二阶系统的 单位阶跃响 应是稳态值 为 1 的无超调 单调上升过 程， t n n e dt dh t − = + ( ) 2 (3)过阻尼( 1 ) Over-damped Case 1 2 S1,2 = −n n − S S S S S S S S C s n n n n [ ( 1)][ ( 1)] 1 ( )( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 + − − + + − = − − = ( 1) ( 1) 2 3 2 1 2 + + − + + − − = + n n A S A S A A1 =1 ( 1) 1 2 2 + − − − = S n A 2 1( 1) 1 2 2 3 − + − = A 0 2 1( 1) 1 2 1( 1) 1 ( ) 1 ( 1) 2 2 ( 1) 2 2 2 2 − + − + − − − = − − − − − + − h t e e t t t n n （3-25）
衰减快 慢 S2 基本上由S1决定 图3-10二阶系统的实极点 1 0.8 0.6 0.4 0.2 200 400 600 800 1000 1200 1400 图3-11表示了二阶系统在不同ξ值瞬态响应曲线(书上图3-10P87) 3.3.3二阶系统阶跃响应的性能指标 ·欠阻尼情况
62 jω S2 S1 衰减快 慢 ξ 基 本 上 由 S1决 定 图 3-10二 阶 系 统 的 实 极 点 σ 0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 图 3-11 表示了二阶系统在不同 值瞬态响应曲线（书上图 3-10 P87） 3.3.3 二阶系统阶跃响应的性能指标 ·欠阻尼情况
1.5 12 08 0.4 0.2 200 400 600 00 1000 1200 图3-12为系统欠阻尼时的单位阶跃响应曲线。下列所述的性能指标,将定量地描述 系统瞬态响应的性能。 在控制工程中,除了那些不容许产生振荡响应的系统外,通常都希望控制系统具有适度 的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。 二阶系统一般取ξ=04~0.8,0.7。其它的动态性能指标,有的可用ξ和on精确表示, 如t,tnMn,有的很难用和on准确表示,如t,1,可采用近似算法 (1)①t延时时间 在式(3-21)中,即加()=1-、1msin(o4+B) t≥0 令ht)=0.5,B=arcg = arccos 可得 @,td==hn 2sn(√1-50nta t arccos 参见书P88,在较大的ξ值范围内,近似有 1+0.65+0.25 (3-26) 书(3-19)式
63 图 3-12 为系统欠阻尼时的单位阶跃响应曲线。下列所述的性能指标，将定量地描述 系统瞬态响应的性能。 在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度 的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。 二阶系统一般取 = 0.4 ~ 0.8 , 0.7 。其它的动态性能指标，有的可用 和n 精确表示， 如 r p M p t ,t , ,有的很难用 和n 准确表示，如 d s t ,t ,可采用近似算法。 ⑴ d t 延时时间 在式（3-21）中，即 sin( ) , 0 1 1 ( ) 1 2 + − = − − h t e t t d t n 令 arccos 1 ( ) 0.5 , 2 = − h t d = = arctg 可得 2 2 1 2sin( 1 arccos ) ln 1 − − + = n d n d t t 参见书 P88，在较大的 值范围内，近似有 n d t 2 1+ 0.6 + 0.2 = （3-26） 书（3-19）式
0<5<1时,亦可用t1+0.7 (3-27)(书3-20) (2)②t.(上升时间) h(t1)=1,求得 4r+B)=0 a +B= (3-28)(3-31书) 5一定,即β一定,→n↑→t↓,响应速度越快 (3)◎tn(峰值时间) 对式(3-21)(书3-14)求导,并令其为零,求得 5o, e-sod sin(@ (+B)-Ojeso. cos(at+B)=0 1g(o4+B)= tgB odn=0,π,2π;…,根据峰值时间定义,应取 OAn=丌 2 5一定时,On↑(闭环极点离负实轴的距离越远)→tn↓ orM的计算,超调量 超调量在峰值时间发生,故(2)即为最大输出 h(t)=1 -sewe n(oI,+B) h(t)=l si(丌+B) B h(2)-h(∞) 0%= ×100%=ev-×100%(3-30)(书3-23) h(∞)
64 0 1 时，亦可用 n d t 1+ 0.7 = （3-27） （书 3-20） ⑵ r t （上升时间） h(t r ) =1 ，求得 sin( ) 0 1 1 2 + = − − d r t e t n d t r + = d r t − = （3-28） （3-31 书） 一定，即 一定， →n →t r ,响应速度越快 ⑶ (峰值时间) p t 对式（3-21）（书 3-14）求导，并令其为零，求得 sin( + ) − cos( + ) = 0 − e t e t d t d d t n n n 2 1 ( ) − tg d t + = 2 1− tg = = 0,,2, d p t ,根据峰值时间定义，应取 d t p = (3 29) 2 2 1 2 1 = = = d − d d t p T (书 3-22) 一定时，n （闭环极点离负实轴的距离越远）→t p ⑷ % or M p的计算，超调量 超调量在峰值时间发生，故 ( ) p h t 即为最大输出 sin( ) 1 1 ( ) 1 2 + − = − − d p t p h t e t n p 2 1 ( ) 1 − − h t = + e p 2 sin( + ) = −sin = − 1− 100% 100% ( ) ( ) ( ) % 2 1 = − = − − e h h t p h (3-30) (书 3-23)
70 10 ---- 阻尼比 3-142 R(S)S+250,S+@ 5=0时,o%=100% 5=04时,a%=254% 2=10时,o%=0 当2=0.4~0.8时%=15%~ (5)调节时间t3的计算 典型二阶系统欠阻尼条件下的单位阶跃响应 h()=1-esn(o4+B)t≥0 B=actg i-52 arccos 书式(3-14) 令Δ表示实际响应于稳态输出之间的误差,则有 si(t+f≤
65 图 3-14 2 2 2 ( ) 2 ( ) n n n R s S S C s + + = = 0 时， % =100% = 0.4 时， % = 25.4% = 1.0 时， % = 0 当 = 0.4 ~ 0.8 时 % =1.5% ~ 25.4% ⑸调节时间 S t 的计算 典型二阶系统欠阻尼条件下的单位阶跃响应 ( ) = 1− sin( + ) 0 − h t e t t d t n arccos 1 2 = − = arctg 书式(3-14) 令 表示实际响应于稳态输出之间的误差，则有 2 2 1 sin( ) 1 1 − + − = − − nt n e e t d t