6-3结构位移计算的一般公式 、杆件局部(微段)变形时的位移 DBC6A× Fp=1 C 0≥A C 工 s d A=-(Mcd8-Focdn-FNcdn) d△=Mcde+ Focdn+Fxcd 图示梁,仅在BC微段ds上发生变形,其它部分仍 保持刚性。若仅考虑CA段,相当于悬臂梁CA在固 定端C处有支座位移。因此,可利用刚体的虚功原 理,由静定结构支座移动时求位移的方法来研究。 即沿拟求位移方向虚设单位力,并求出C截面的内 力。代入公式 △=-∑FR;C (6-2-1)
§6-3 结构位移计算的一般公式 一、杆件局部（微段）变形时的位移 d D = -(-MCd-FQCd -FNCd) d D = MCd＋FQCd＋FNCd 图示梁，仅在ＢＣ微段ds上发生变形，其它部分仍 保持刚性。若仅考虑CA段，相当于悬臂梁ＣＡ在固 定端Ｃ处有支座位移。因此，可利用刚体的虚功原 理，由静定结构支座移动时求位移的方法来研究。 即沿拟求位移方向虚设单位力，并求出Ｃ截面的内 力。代入公式： D = -∑FRici (6-2-1)
二、变形杆件的位移 △=「d△=(Md0+ Focdn+FNcd) 当同时考虑支座位移,且又为杆件结构时: △=∑Mcd0+Focn+FNcd)2Fne(a) 该式即为计算杆件结构位移的一般公式。并可写成: 1×△+∑Fnc1=∑(Md0+ Focdn+FNcd) 变形体的虚功原理: 若变形体有满足变形协调及约束允许的可能位移, 那么,满足静力平衡条件的任一力系在该变形体的 变形和位移上所作的总外力虚功等于总内力虚功 (虚应变能),即W=V
二、变形杆件的位移 D = ∫ d D = ∫(MCd＋FQCd ＋FNC d ) 当同时考虑支座位移，且又为杆件结构时： D = ∑ ∫(MCd＋FQCd ＋FNC d ) -∑Frici （a） 该式即为计算杆件结构位移的一般公式。并可写成： １×D ＋∑Frici = ∑ ∫(MCd＋FQCd ＋FNC d ) 变形体的虚功原理： 若变形体有满足变形协调及约束允许的可能位移， 那么，满足静力平衡条件的任一力系在该变形体的 变形和位移上所作的总外力虚功等于总内力虚功 （虚应变能），即 W=V
DBCθ A FNC C A x MFo FN ds B C C B R de 因为d=Kdsdη=ydsd=eds代入式(a) △=∑MKds+∑ focus+∑ceds∑Fn (c)
因为 d=ds d=ds d=ds 代入式(a) D=∑∫MCds＋∑∫FQCds＋∑∫FNCds -∑Frici (c)
对于线性弹性变形体在荷载作用下时,有: k=MP/EI Y= FOP/GA 8= FNP/EA 代入式(c),得结构位移计算公式: △=∑McM/Eds+∑( Foc FOp/ga)ds +e(nenp/eA) ds -> c (6-3-1)
对于线性弹性变形体在荷载作用下时，有： =MP /EI = FQP/GA = FNP/EA 代入式（c），得结构位移计算公式： D = ∑∫(MCMP /EI) ds ＋∑∫( FQC FQP/GA) ds ＋∑∫(FNCFNP/EA) ds -∑Fric i (6-3-1)
§6-4静定结构在荷载作用下的位移 各类静定结构的位移计算公式 1)槊、刚架:只考虑弯曲变形的影响 △=∑McM/EDds (6-4-1) 2)桁架:只考虑轴向变形的影响 △=∑( FNIC F/EA)ds △=∑ FNCFNPVEA (6-4-2) 3)组合结构: △=∑(McMp/ED)ds+∑(FcFp/EA)ds 4)拱 A=∑(McMF/ED)ds+∑( FAcE/EA)ds (6-4-4)
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移 一、各类静定结构的位移计算公式 １）梁、刚架：只考虑弯曲变形的影响 D = ∑∫(MC MP /EI) ds (6-4-1) ２）桁架：只考虑轴向变形的影响 D = ∑∫(FNC FNP/EA) ds D = ∑FNCFNPl/EA (6-4-2) ３）组合结构： D = ∑∫(MC MP /EI) ds ＋∑∫(FNC FNP/EA) ds (6-4-3) ４）拱 D= ∑∫(MCMP /EI) ds ＋∑∫(FNCFNP/EA) ds (6-4-4)
二、静定梁、刚架的位移计算 1、积分法: 例6-4-1求图示刚架C截面的水平位移△cH和A、 B两截面的相对转角0。各杆EⅠ=常数。 X2 A C FAx=0 Fay- qU
二、静定梁、刚架的位移计算 １、积分法： 例6-4-1 求图示刚架Ｃ截面的水平位移DCH和Ａ、 Ｂ两截面的相对转角 。各杆 EI=常数
、w解:建立拟求的两个指定位移相应的虚力系。分别 对各杆件写出弯矩函数MC、Mp,代入积分公式计 算位移。 1)求△cm AB杆(0x1≤)Mp=qkx1/2-qx12/2Mc=x12 AC杆(0≤x1≤2)Mp=0 C A2 AcH=(1/EDJ(-x/2)(qlx, /2-qx,2/2)dx =-q14148EI Fo=1 上c B FA
解：建立拟求的两个指定位移相应的虚力系。分别 对各杆件写出弯矩函数MC、ＭＰ，代入积分公式计 算位移。 １）求DCH AB杆(0≤x1≤l) MP=qlx1 /2-qx1 2 /2 MC=-x1 /2 AC杆(0≤ x1≤ l/2) MP=0 MC=x2 DCH = (1/EI)∫ l (-x1 /2) (qlx1 /2-qx1 2 /2)dx1= -ql4 /48EI (→)
C M=1 M=1 A A B FAx=0 FAxEO X1 2 FAy=0 2)求0 AB杆(0≤X) MD=M=O AC杆(0≤xW2)Mp=qkx12qx122Mc=-1 0=(1/ED1(-1)(qkx1/2-qx2)dx1=-q/12EI(5) 说明:注意利用△=∑(McMp/ED)ds时,两种状 态中对同一杆件应取相同坐标,相应的两弯矩函数 也应先规定受拉侧,以确定积分的正负
２）求 AB杆(0≤x1≤l) MP=MC=0 AC杆(0≤ x1≤ l/2) MP=qlx1 /2-qx1 2 /2 MC= -1 =(1/EI)∫ l (-1) (qlx1 /2-qx1 2 /2)dx1= - ql3 /12EI() 说明： 注意利用 D = ∑∫(MC MP /EI) ds 时，两种状 态中对同一杆件应取相同坐标，相应的两弯矩函数 也应先规定受拉侧，以确定积分的正负
2、图乘法 根杆件结构位移公式: 1、图乘公式推导△=∫(McMp/ED)ds(a) 若杆件为等截面直杆 Mp dAp=Mp ax △=(l/ ED JMc Mpdx =(1/ED JydAp =(1/ED tan 0 lxdAp dx B =(1/ED Xc tan 0 Ap =(1/ED c Ap M→>y=×tge 整理并考虑杆件结构的应 用 △=∑Apyc/EI (6-4-5) Xc JXdAp-=xcAp Xc tan 0=yc
2、图乘法 １、图乘公式推导 一根杆件结构位移公式： D = ∫ (MC MP /EI) ds (a) 若杆件为等截面直杆: D =( 1/EI) ∫MC MPdx =( 1/EI) ∫ydAP =( 1/EI) tan ∫ lxdAP =( 1/EI) xC tan AP =( 1/EI) yC AP 整理并考虑杆件结构的应 用： D = ∑ AP yC /EI (6-4-5) ∫ lxdAP =xCAP xC tan =yC
图乘公式的应用条件: 1)结构杆件分别为等截面直杆,即EI=常数。 2)yc必须取自直线段弯矩图,而相应该直线段的 另一弯矩图的面积A及面积形心可求出。 例6-5-1用图乘法求图示简支梁在B端截面的转角 位移和跨中点C截面的竖向位移△cv。EI=常数 A
图乘公式的应用条件： １）结构杆件分别为等截面直杆，即EI=常数。 ２） yC必须取自直线段弯矩图，而相应该直线段的 另一弯矩图的面积AP及面积形心可求出。 例6-5-1 用图乘法求图示简支梁在Ｂ端截面的转角 位移和跨中点Ｃ截面的竖向位移DCV 。EI=常数