y q=2kN/m n Fp=10kN q=2kN/m C OK 4m F=13N A Fh=13kn XB牛 3m 13kN QK FAy=14.5kN[4m 4m FBy=11.5kN 14.5kN 8m m =16m q=2kN/m下M FAy=14.5kN ∑Fn=0F-(14.5-2×4ink-13c0s0k=0 Fw=14.528kN FNK-FOK Sinak +FHCOSOR)
∑Fn=0 FNK–(14.5–2×4)sinαK –13cosαK=0 FNK = 14.528 kN ( FNK = F0 QK sinαK +FH cosαK )
y q=2kN/m n Fp=10kN q=2kN/ C OK 4m FH=13kN A Fh=13kn XB牛 3m 13kN QK FAy=14.5kN[4m 4m FBy=11.5kN 14.5kN 8m m =16m q=2kN/m下Mk FAy=14.5kN ∑F=0FoK-(145-2×4) ) cosa+13 sInak=0 FoR=o QK FoK =FOK COSak-FH Sinak)
∑Fτ=0 FQK–(14.5–2×4)cosαK+13sinαK=0 FQK = 0 ( FQK = F0 QKcosαK –FH sinαK )
y q=2kN/m n Fp=10kN q=2kN/m C OK 4m F=13N A Fh=13kn XB牛 3m 13kN QK FAy=14.5kN[4m 4m FBy=11.5kN 14.5kN 8m m =16m q=2kN/m下Mk FAy=14.5kN 以K点为矩心的力矩平衡方程,求MK ∑MK=0MK+2×4×2+13×3-14.5×4=0 得 Mk=3kNm(下侧受拉) (Mk=M°K-Fyk)
以Ｋ点为矩心的力矩平衡方程，求MK： ∑MK=0 MK + 2×4×2 + 13×3–14.5×4 = 0 得： MK = 3 kNm ( 下侧受拉 ) ( MK = M0 K –FH yK )
说明:对照上述计算拱内力的三个方程式,可以 写出如后面括号中三个内力表达式,即: NK FO QK SIna tfucosou K QKQK coSak-FH sina K (4-2-2) K KHJK 上式可作为拱内力的计算公式用,特别是在作拱 的内力图时。但须注意以下几点 1、式(4-2-2)要在以拱的左底铰为原点的平面 直角坐标中应用,并仅考虑了竖向荷载的作用。 2、式中αx为所计算K截面外法线n(或K截面处 拱轴切线)与水平x坐标的夹角。如果取ak是与水 平方向的锐角考虑,则K截面在左半拱时为正,在 右半拱时为负
说明： 对照上述计算拱内力的三个方程式，可以 写出如后面括号中三个内力表达式，即： FNK = F0 QK sinαK +FH cosαK FQK = FQKcosαK –FH sinαK （4-2-2） MK = M0 K –FH yK 上式可作为拱内力的计算公式用，特别是在作拱 的内力图时。但须注意以下几点： １、式（4-2-2）要在以拱的左底铰为原点的平面 直角坐标中应用，并仅考虑了竖向荷载的作用。 ２、式中αK 为所计算K截面外法线n（或K截面处 拱轴切线）与水平x坐标的夹角。如果取αK是与水 平方向的锐角考虑，则K截面在左半拱时为正，在 右半拱时为负
3、带拉杆的三铰拱,其支座反力可由整体的平衡 条件完全求得;水平推力由拉杆承受。可将顶铰和 拉杆切开,取任一部分求出拉杆中的轴力。 拱的内力图特征 1、拱的内力图特征 减R NK QK Sinak+FHCOSaK FoK FOK COSaK-FH SinaK (4-2-2 KMK-FHyK 由上式分析可知,当拱轴为曲线时。有: 4(1)不管拱轴区段上是否有分布荷载,拱的各内 力图在区段上均为曲线形状;
３、带拉杆的三铰拱，其支座反力可由整体的平衡 条件完全求得；水平推力由拉杆承受。可将顶铰和 拉杆切开，取任一部分求出拉杆中的轴力。 三、 拱的内力图特征 １、拱的内力图特征 FNK = F0 QK sinαK +FH cosαK FQK = FQKcosαK –FH sinαK （4-2-2） MK = M0 K –FH yK 由上式分析可知，当拱轴为曲线时。有： （１）不管拱轴区段上是否有分布荷载，拱的各内 力图在区段上均为曲线形状；
(2)在竖向集中力F作用点两侧截面,拱的轴 力和剪力有突变,突变值分别为 Fp sinaκ和Fr cosaκ,弯矩图在该点转折;在集中力偶M作用点 两侧截面,弯矩有突变,突变值为M,轴力和剪力 不受影响。 (3)由于水平推力对拱的弯矩的影响,拱的弯矩 与相应的筒支梁的弯矩比较大大的减小。 2、拱的内力图的制作方法 原则上是将拱沿其跨度平分成若干等份区段,分 别计算出每个等分点截面的内力值,然后将各点内 力竖标顺序连以光滑曲线即可。但要注意各内力图 上的突变和转折特征 当只有竖向荷载作用时,拱轴上各等分点截面的 内力计算,可利用式(4-2-2)制作适当的表格后, 再进行由表格表示的各项的计算
（２） 在竖向集中力FP作用点两侧截面，拱的轴 力和剪力有突变，突变值分别为 FP sinαK 和FP cosαK，弯矩图在该点转折；在集中力偶Ｍ作用点 两侧截面，弯矩有突变，突变值为Ｍ，轴力和剪力 不受影响。 （３）由于水平推力对拱的弯矩的影响，拱的弯矩 与相应的简支梁的弯矩比较大大的减小。 ２、拱的内力图的制作方法 原则上是将拱沿其跨度平分成若干等份区段，分 别计算出每个等分点截面的内力值，然后将各点内 力竖标顺序连以光滑曲线即可。但要注意各内力图 上的突变和转折特征。 当只有竖向荷载作用时，拱轴上各等分点截面的 内力计算，可利用式（4-2-2）制作适当的表格后， 再进行由表格表示的各项的计算
§4-3拱的合理拱轴简介 由于拱的水平推力的作用,拱的弯矩与相应的 简支梁相比大大减小,所以拱是以受压为主的结 构 、拱的合理拱轴概念 在某一荷载作用下,沿拱轴所有截面上均无弯 矩时的拱轴线称之。 、在竖向荷载下的合理拱轴线 根据拱的合理拱轴的概念,在竖向荷载下的合 理拱轴线可由式(4-2-2)中的弯矩式得出,即由 4k≈MO KNHYK 4并令M=0 得:yκ=M°k/F1 (4-3-1)
§4-3 拱的合理拱轴简介 由于拱的水平推力的作用，拱的弯矩与相应的 简支梁相比大大减小，所以拱是以受压为主的结 构。 一、拱的合理拱轴概念： 在某一荷载作用下，沿拱轴所有截面上均无弯 矩时的拱轴线称之。 二、在竖向荷载下的合理拱轴线 根据拱的合理拱轴的概念，在竖向荷载下的合 理拱轴线可由式（4-2-2）中的弯矩式得出，即由 MK=M0 K –FH yK 并令 MK =０ 得： yK= M0 K/FH （4-3-1）
小例4-3-1求图示三铵拱的合理拱轴线方程,并分析 其合理拱轴的形状。 g=10kN/m 20KN C D 2m →丰A—x B3牛 FH=20KN 2m 2m 2m 4m FAy=30kN
例4-3-1 求图示三铰拱的合理拱轴线方程，并分析 其合理拱轴的形状
q=10kN/m F=20N人 C 2m A FH=20kN-g →X B牛 2m 2mk 2m 4 FAy=30kN 解:(1)求支座反力 由整体的平衡条件∑MB=0得: FA×8-FH×2-20×6-10×4×2=0 由C铰以左部分的平衡∑Md C=O 得 FA×4一F×4-20×2=0 联立上两式:4F-FH-1000 Fu-10=0 H 解得:FA=30kN(↑)FH20kN(→
解：（１）求支座反力 由整体的平衡条件 ∑MB = 0 得： FAy×8－FH×2－20×6－10×4×2=0 由Ｃ铰以左部分的平衡 ∑MC = 0 得： FAy×4－FH×4－20×2=0 联立上两式： 4FAy－FH－100=0 FAy－FH－10=0 解得： FAy=30kN (↑) FH=20kN (→)
q=10kN/m F=20N人 C 2m A FH=20kN-g →X BOE 2m 2mk 2m 4 FAy=30kN (2)建立以A支座为原点的直角坐标,由式 M/FH分段写出拱的合理拱轴线方程 (0≤x<2)y=(30/20)x=3x/2 (2≤x4)y=130x=20(x-2)/20=x/2+2 (4≤x≤8)y=[(30x-20(x-2)-10(x-4)2/2/20 x2/4+5x/2-2 上式即为竖向荷载作用下的合理拱轴线方程
（２）建立以Ａ支座为原点的直角坐标，由式 y=M0 /FH 分段写出拱的合理拱轴线方程: (0≤x≤2) y=(30/20)x=3x/2 (2≤x≤4) y=[30x－20(x－2)]/20=x/2＋2 (4≤x≤8) y=[(30x－20(x－2) －10(x－4)2 /2]/20 =－x 2 /4＋5x/2－2 上式即为竖向荷载作用下的合理拱轴线方程
