第六章矩阵位移法
第六章 矩阵位移法
内容 §6.1概述 §6.2局部坐标单元刚度矩阵 §6.3坐标变换 §6.4结构的原始刚度矩阵 §6.5支承条件的引入 §6.6非结点荷载的处理
内 容 §6.1 概述 §6.2 局部坐标单元刚度矩阵 §6.3 坐标变换 §6.4 结构的原始刚度矩阵 §6.5 支承条件的引入 §6.6 非结点荷载的处理
§6.1概述 ◆结构数据化 ◆局部坐标系单元刚度矩阵 ◆坐标转换>整体单刚 ◆结构总体刚度矩阵 ◆非结点荷载处理 编写程序 ◆支承条件 ◆解方程求结点位移 ◆杆端力计算
结构数据化 局部坐标系单元刚度矩阵 坐标转换 — >整体单刚 结构总体刚度矩阵 非结点荷载处理 支承条件 解方程求结点位移 杆端力计算 编写程序 §6.1 概述
§6.2局部坐标单元刚度矩阵(1) 局部坐标系杆端力列向量 M 大时=际aMx可M 局部坐标系杆端位移列向量 q v 单元刚度方程: F}=[]5 ll
§6.2 局部坐标单元刚度矩阵(1) e e e F = k •局部坐标系杆端力列向量 单元刚度方程： T e j e j e j e i e i e i e F = N Q M N Q M T e j e j e j e i e i e i e = u v u v e M i e Qi e N i e M j e Q j e N j j i e e ui y l x i j j i e i e i v e j u e j e j v •局部坐标系杆端位移列向量
§6.2局部坐标单元刚度矩阵(2) 局部杆端力与杆端位移的关系——局部单元刚度方程 EA EA 12EI 6El 12EI 6El 0 6El dEl 6El 2EI 0 EA EA 12El 6E LeI 6El 6El 2El 6El 4EI 2EI 单元刚度方程:4B bE }=[]{ kEY
§6.2 局部坐标单元刚度矩阵(2) e e e F = k 局部杆端力与杆端位移的关系——局部单元刚度方程 − − − − − − − − = e j e j e j e i e i e i e j e j e j e i e i e i v u v u L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EA L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EA M Q N M Q N 6 4 0 6 2 0 12 6 0 12 6 0 0 0 0 0 6 2 0 6 4 0 12 6 0 12 6 0 0 0 0 0 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 单元刚度方程： = 1 e i l 4EI l 2EI 2 6 l EI 2 6 l − EI
§6.2局部坐标单元刚度矩阵(3) 杆端力与杆端位移的关系—单元刚度矩阵 EA 0 EA LeL 6El -12El: 6El 0 L 3 L 6El 4E/ 6El M L q EA EA O I2ET-6El LeL 6El M L3 6El 2EI 6El: 4El e
§6.2 局部坐标单元刚度矩阵(3) 杆端力与杆端位移的关系——单元刚度矩阵 − − − − − − − = e j e j e j e i e i e i e j e j e j e i e i e i v u v u L E I L E I L E I L E I L E I L E I L E I L E I L EA L EA L E I L E I L E I L E I L E I L E I L E I L E I L EA L EA M Q N M Q N 6 4 0 6 2 0 12 6 0 12 6 0 0 0 0 0 6 2 0 6 4 0 12 6 0 12 6 0 0 0 0 0 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 =1 e i u = 1 e =1 i e i v =1 e j u =1 e j =1 e j v
单元刚度矩阵的特点 对称反力互k,=k 奇异行列式值为零K=0 已知杆端力{F}→>不能求出杆端位移{G} 主元素大于零k1>0
单元刚度矩阵的特点 ◼ 对称——反力互 等 奇异——行列式值为零 主元素大于零 已知杆端力{F} => 不能求出杆端位移{δ} i j ji k = k 0 ii k K = 0
杄端力的投影关系 整体坐标系与单元坐标系关系 M°Q xo弹单元坐标系 X xo整体坐标系 x Ni=X cos a+I sin a cosa sin a 0Xe Ni=xe cosa+re sin a e:=-x, sin a+r cos a 0 -sin a cosa 0=r g,=-x sin a+ r cos a 01|M
杆端力的投影关系 ◼ 整体坐标系与单元坐标系关系 N X a Y a e i e i e i = cos + sin Q X a Y a e i e i e i = − sin + cos e i e M i = M N X a Y a e j e j e j = cos + sin Q X a Y a e j e j e j = − sin + cos e j e M j = M e Xi e Yi e M j e N i e Qi x y x y e i j e X j e Yj e N j e Q j e M i xoy整体坐标系 xoy单元坐标系 O = − e i e i e i e i e i e i M Y X a a a a M Q N 0 0 1 sin cos 0 cos sin 0
§6.3坐标变换 体坐标系与单元坐标系关系 F Me X: y: M 6} ui Vi p i uj Vi cosa sin a 00 0 0 =-k{→F=[m -sin a cosa 000 0 00 门是正交矩阵[=[门丁y= 0000 00 cosa sin a 0 0 0-sin a cosa 0 000 可][ [k丁{6}
§6.3 坐标变换 ◼ 整体坐标系与单元坐标系关系 e T e e e e e e F X Y M X Y M = i i i j j j e T e e e e e e i i i j j j = u v u v e e F T F = e e = T e e e T F k T = e e e T e e e F T k T F k = = T e e e e e e e i j i j F N Q M N Q M i j = T e e e e e e e i i j j i j = u v u v − − = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 0 1 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 0 0 a a a a a a a a T j i e ii ij ji jj k k i k j k k = e e e F k = T 1 T T T − 是正交矩阵 = e e T F T F =
§6.4结构的原始刚度矩阵 X3 首先进行单元、结点编号 第i结点外力、位移向量 X paY q1 P 结构结点外力、位移向量 P 单元刚度矩阵(整体单刚) P -[研][]1P [49][g H][]2 2][k3 [k2]kR]4
§6.4 结构的原始刚度矩阵 ◼ 首先进行单元、结点编号 1 2 (1) (1) 1 11 12 (1) (1) 21 22 1 2 k k k k k = （ ） (2) (2) 2 22 23 (2) (2) 32 33 2 3 k k k k k = （ ） (3) (3) 3 33 34 (3) (3) 32 44 3 4 k k k k k = （ ） = 4 3 2 1 P P P P P = 4 3 2 1 = i i i i M Y X P = i i i i v u 第 i 结点外力、位移向量 结构结点外力、位移向量 单元刚度矩阵（整体单刚） 1 2 3 x y 1 2 3 4 x y X3 Y3 M3