第二篇运动学 任务:运动学单纯从几何观点描述物体在空间的位置随时间变化的 几何性质——运动方程、轨迹、速度、加速度等。 运动的相对性:参照物--参考体-参考坐标系-参考系 对任何物体运动的描述都是相对的 点、刚体 第八章点的运动 §1点的直线运动 轨迹:点所走过的路线 速度:p=dhr 运动方程:x=x(t) d y d2x 平均速度:u*△x 加速度:aL dt V三x △t
第二篇 运动学 任务: 运动学单纯从几何观点描述物体在空间的位置随时间变化的 几何性质——运动方程、轨迹、速度、加速度等。 运动的相对性： 参照物-----参考体------参考坐标系------参考系 对任何物体运动的描述都是相对的。 点、刚体 第八章 点的运动 §1.点的直线运动 轨迹：点所走过的路线 x o · M x 运动方程： x = x（t） 平均速度： t x v = 加速度： v x dt d x dt dv a = = = = 2 2 x dt dx 速度： v = =
在直线运动中,ν、a都是代数量,当ν、a同号时,点作加速运 动,否则反之 建立点的运动方程是描述点运动几何性质的关键 若a为常量,则有: A 1=10+dt X=X+10t+—dt ot X ,2=2cx 例:曲柄连杆机构如图,求滑块B 的运动规律、速度及加速度。 解:分析要求点的轨迹—若为直线运动,则建立直线轴x,取 固定点作为原点,将要求点置于坐标轴上任意位置(不要放在特殊 位置),标出动点在坐标轴上的位置坐标x,纯粹用几何方法找出ⅹ 的长度,并表成时间t的函数,即为运动方程
β 在直线运动中, v、a 都是代数量，当v、a 同号时，点作加速运 动，否则反之。 建立点的运动方程是描述点运动几何性质的关键。 若a为常量,则有: v v ax x x v t at v v at 2 2 1 2 0 2 2 0 0 0 − = = + + = + 例:曲柄连杆机构如图,求滑块B 的运动规律、速度及加速度。 o B A r l ωt 解： 分析要求点的轨迹——若为直线运动，则建立直线轴x，取一 固定点作为原点，将要求点置于坐标轴上任意位置（不要放在特殊 位置），标出动点在坐标轴上的位置坐标x，纯粹用几何方法找出x 的长度，并表成时间t 的函数，即为运动方程。 x x
x=rcos@t+ lcosB 而 sin B sin at x=rcos at+1,1-(sin at) ν、a同学们自己求。 O §2点的曲线运动 矢径法:(用于理论推导) 运动方程 =『(t)矢端所描出的曲线即为M点的轨迹 △r 平均速度 速度:v dr=i △t dt dy d-r 加速度:a dt dt
∴ x = rcosωt+ lcosβ 而 t r l sin sin = 2 cos 1 ( sin t) l r x = r t +l − v、a 同学们自己求。 §2.点的曲线运动 一. 矢径法:(用于理论推导) M r O· Δr 运动方程： r = r (t) 矢端所描出的曲线即为M点的轨迹. 平均速度: 速度: v r v r a = = = = 2 2 dt d dt d 加速度： t = r v r r v = = dt d
直角坐标法(多用于轨迹为未知之情形)M(x,y,z x=X(t 运动方程: (t) X, y ) r=xi+vi+zk v=『=+j+zk v=vr +y+22 k r 三2cosc 。 a=y=『=+订+ka=√x2+2+ x x 2
二、直角坐标法(多用于轨迹为未知之情形) M r · r =xi+yj+zk k j i （x，y，z） x y z 0 · x = x（t） y = y（t） Z = z（t） 运动方程： v = r = x i+ y j+ z k a = v = r = x i+ y j+ z k 2 2 2 v = x + y + z = v x cos a v z a v y a v x z z y y x x = = = = = = 2 2 2 a = x + y + z = a x cos v z v y v x z y x = = =
例:半径为r的圆轮放在粗糙的水平 面上,轮心A以匀速v前进,求轮 A 缘上任一点的运动规律 D 解:①在轮缘上任取一点M (不能是特殊点) ②找一固定点O建立直角坐 B 标,标出M点的位置坐标; ③纯粹用几何方法找出该坐标的长度, 最终表为时间t的函数-即为运动方程 X=OC=OB-CB=vot-rsin6 -=No/-rsin MB Vot-r sin vat =MC=AB-AD =r-rcose=r-rcos 速度、加速度请同学们做
例：半径为r的圆轮放在粗糙的水平 面上，轮心A以匀速v0前进，求轮 缘上任一点的运动规律。 A · O · M 解：①在轮缘上任取一点M （不能是特殊点）； x y ②找一固定点O建立直角坐 标，标出M点的位置坐标； D C B θ ③纯粹用几何方法找出该坐标的长度， 最终表为时间t的函数--------即为运动方程。 x=OC=OB-CB y=MC=AB-AD =vo t-rsinθ =r-rcosθ r MB = v0 t − rsin r v t v t r 0 0 = − sin r v t r r 0 = − cos 速度、加速度请同学们做
三、自然坐标法(用于轨迹为已知之情形) 弧坐标、运动方程 S:弧坐标 运动方程:S=S(1少) 自然法:用弧坐标描述点运动的方法 称为弧坐标法或自然坐标法, 简称自然法。 T 2、曲率、自然轴系 AS o△e 把MM"段曲线的平均弯曲程度用K*表示 平均曲率:K* △e △s T T 曲率 ksde ds曲率半径:=kab
三、自然坐标法 (用于轨迹为已知之情形): 1、弧坐标、运动方程 S (+) M s=s(t) o S：弧坐标 运动方程： 自然法：用弧坐标描述点运动的方法 称为弧坐标法或自然坐标法， 简称自然法。 2、曲率、自然轴系 M o T Δθ Δs 把MM '段曲线的平均弯曲程度用K*表示 K* │Δs│ Δθ 平均曲率: = ——— 曲率 : ds d k = 曲率半径 : d ds k = = 1
自然轴系:对于空间任意曲线其上任一点都有自己的切线和法线 以弧坐标增加的方向规定为切线的正向,沿切线的单位矢量记为冖规 定过切点指向曲率中心的方向为 方向,沿主法线的单位矢量记 为,再取b=T×n为第三个矢量称为付法线此三轴即为自然 轴系自然轴系为流动坐标系,其原点随点M的运动而运动, T、n、b是变矢量,其方向随点M的运动而改变 3、速度 dt As △r A→>0△t △s△r im O A→>0△t△s
· Δr 自然轴系: 对于空间任意曲线,其上任一点都有自己的切线和法线, 以弧坐标增加的方向规定为切线的正向,沿切线的单位矢量记为τ,规 定过切点指向曲率中心的方向为主法线方向,沿主法线的单位矢量记 为n,再取 b= τ×n 为第三个矢量,称为付法线,此三轴即为自然 轴系. 自然轴系为流动坐标系，其原点随点M的运动而运动， τ、n 、b是变矢量,其方向随点M的运动而改变。 M b τ n o (+) 3、速度 M o τ Δs (+) t t = → r 0 lim dt dr v = lim ( ) 0 0 r = → s r t s t v = s τ
4、加速度 z = dt 4y △e 字母顶上加 n dT 表示矢量,以下 T+S 同 dt =ST+S didi de ds 大·s 0×s0 dt de ds dt △T slin△T d6△0→0△6△0→0△6 a △O 2r Sin =im .im e △→>0△6 △6→>0
4、加速度 · Δτ M o τ Δs (+) Δθ nC dt dv a = dt d ( s ) = dt d s dt ds = + dt d s s = + dt ds ds d dd dt d = dd = k s lim lim ( ) 0 0 e dd = = → → e e 0 0 2 lim 2 sin lim → → = = n n n s s 2 = + = a + a n 字母顶上加“ — ” 表示矢量，以下 同
切向加速度 a =s a 法向加速度: 全加速度:a=an+ar 2 2 C a+a 全加速度始终位于曲线内凹的一侧 g 特殊圠 ①p=∞,an=0,直线运动 直线运动不必表为弧坐标 ②、v=常量,a=0,匀速曲线运动,a=an =1+at ③匀变速曲线运动,a=常量,则有 S=So+l、a
切向加速度: a = s a = an + a 法向加速度: 2 2 a = an + a 全加速度: an a tg = n v an 2 = α 全加速度始终位于曲线内凹的一侧. 特殊地: ①ρ=∞, an=0 ,直线运动, a=aτ , 直线运动不必表为弧坐标. ②.v=常量, aτ=0 ,匀速曲线运动, a=a.n ③.匀变速曲线运动, aτ =常量, 则有: v v a s s s v t a t v v a t 2 2 1 2 0 2 2 0 0 0 − = = + + = +
例1:点作平面曲线运动速度为v其加速度a与曲率圆所截的弦 MA=l求证此时 21 解依题意画图, y C·coSc=a.= r: aI cos a 两式相除即得结果 A a 例2:点作平面曲线运动其速度v在某一固定方向的投影为常量C, 求证其加速度 p为曲线在M点处的曲率半径 解依题意画图,Cp V =vcos=C COSC= a.=0 n a CL·coSc=a
例1: 点作平面曲线运动,速度为v,其加速度a与曲率圆所截的弦 MA=l,求证此时 r v a an 2 cos = = 解:依题意画图, C A M r l a v α l v a 2 2 = r l 2 cos = 例2: 点作平面曲线运动,其速度v在某一固定方向的投影为常量C, 求证其加速度 ,ρ为曲线在M点处的曲率半径. M n v y x α C v a 3 = vx = v cos = C 解:依题意画图, = 0 x a y a = a a r v a an 2 cos = = v C cos = 两式相除即得结果