第三篇动力学 静力学研究物体的平衡,而不涉及不平衡物体的运动; 运动学研究物体运动的几何性质,而不追究引起物体运动的原因; 动力学将力与运动联系起来,研究作用于物体上的力与物体机械 运动之间的关系 动力学知识被广泛地应用于机械的设计、制造,矿山的建设、开采, 房屋建筑、水利工程、航空航天等各个方面。 为了研究上的方便,把所研究的物体抽象为质点和质点系(主要是 刚体)两大类 质点 质点系: 刚体: 第十二章质点运动微分方程
第三篇 动力学 静力学 研究物体的平衡，而不涉及不平衡物体的运动; 运动学 研究物体运动的几何性质，而不追究引起物体运动的原因; 动力学 将力与运动联系起来，研究作用于物体上的力与物体机械 运 动之间的关系。 动力学知识被广泛地应用于机械的设计、制造，矿山的建设、开采， 房屋建筑、水利工程、航空航天等各个方面。 为了研究上的方便，把所研究的物体抽象为质点和质点系（主要是 刚体）两大类。 质点： 质点系： 刚体： 第十二章 质点运动微分方程
§1.动力学基本定律 、牛顿三定律: 第一定律:惯性定律 第二定律①加速度a是矢量 ②加速度与力的关系是瞬时的,加速度随力的变化而变化; ③当力不作用时,加速度为0,速度为常矢量,此时物体 做惯性运动,与第一定律相符 ④对于质量相同的质点,作用力愈大,获得的加速度愈大 同样大的力作用于不同的质量的物体上,质量大的加速 度小,质量小的加速度大。即,质量越大,物体的运动 状态越不易改变,也即物体的惯性越大。所以,质量是 物体惯性的度量 第三定律:作用力与反作用力定律
§1. 动力学基本定律 一、牛顿三定律: 第一定律: 惯性定律 第二定律: 第三定律: 作用力与反作用力定律 m F a = ①加速度a是矢量; ②加速度与力的关系是瞬时的，加速度随力的变化而变化; ③当力不作用时，加速度为0，速度为常矢量，此时物体 做惯 性运动，与第一定律相符; ④对于质量相同的质点，作用力愈大，获得的加速度愈大; 同样大的力作用于不同的质量的物体上，质量大的加速 度小，质量小的加速度大。即，质量越大，物体的运动 状态越不易改变，也即物体的惯性越大。所以，质量是 物体惯性的度量
国际单位制中:力N,kN 质量kg 长度、质量、时间为基本单位,力的单位是导出单位 在地面附近,物体都要受到重力P的作用,由a=-有 P 、惯性系: 牛顿定律不可能适用一切参考系,而只能适用于“绝对运动 的参考系,古典力学中,认为地球不动(地心学)而将其作为牛顿 定律的参考系,也称作为惯性参考系。当天体力学发展起来以后, 又不能以地球作为惯性参考系,而以太阳或其它恒星作为惯性参考 系,但在地球表面附近,牛顿定律仍然适用。因此,得出一个抽象 的结论:适用于牛顿定律的参考系称做惯性参考系。用起来又太 抽象,以后,若无特别声明,则以地球为惯性参考系
国际单位制中： 力 N，kN 质量 kg 长度、质量、时间为基本单位，力的单位是导出单位。 p = mg 二、惯性系: 牛顿定律不可能适用一切参考系，而只能适用于“绝对运动” 的参考系，古典力学中，认为地球不动（地心学）而将其作为牛顿 定律的参考系，也称作为惯性参考系。当天体力学发展起来以后， 又不能以地球作为惯性参考系，而以太阳或其它恒星作为惯性参考 系，但在地球表面附近，牛顿定律仍然适用。因此，得出一个抽象 的结论：适用于牛顿定律的参考系称做惯性参考系。 用起来又太 抽象，以后，若无特别声明，则以地球为惯性参考系。 在地面附近，物体都要受到重力P的作用，由 有 m F a =
§2.质点运动微分方程(质点动力学基本方程) ma=F 直角坐标形式 自然坐标形式 a=+订+2k F=Ⅺi+Y+zk m=∑Ⅹ ma=∑F my=∑Y ma=∑F 三、动力学两类基本问题 已知运动求力正问题求导;:4)F=F(x) 2已知力求运动逆问题积分: dv=F(x) dt 1).F=C 变形m dv dx F(X) 2F=F(t)}直接积分 dx dt 3)F=F(v) ●●● mvd f(xdx
§2. 质点运动微分方程（质点动力学基本方程） ma =F 一、直角坐标形式 i j k i j k = X + Y + Z = + + F a x y z 三、动力学两类基本问题： 1.已知运动求力,正问题,求导; 2.已知力求运动,逆问题,积分: = = my Y mx X = = ma F ma n Fn = = = 3).F F(v) 2).F F(t) 1).F C 4).F = F(x) F(x) dt dx dx dv m = mvdv = F(x)dx 二、自然坐标形式 直接积分 变形 F(x) dt dv m =
例1:矿井中的罐笼内装有质量为m的物体,现以匀加速a提升罐笼, 求物体m受到的约束反力。 解:动力学的解体思路与静力学的类似,只是 a 把列静力平衡方程换为列运动微分方程。 ①取研究对象:7物体m ②.画受力图 ③.建坐标 ④.列运动微分方程属于已知运动求力之情形 mg mx=2X ma N-mg ⑤.解方程: N=mg+ma 其中mg为静反力,ma为动反力
例1: 矿井中的罐笼内装有质量为m的物体，现以匀加速a提升罐笼， 求物体m受到的约束反力。 a m 解：动力学的解体思路与静力学的类似，只是 把列静力平衡方程换为列运动微分方程。 ①.取研究对象： 物体m ②. 画受力图： mg N ③. 建坐标: 0 x ④. 列运动微分方程: m x =ΣX ma = N − mg ∴ N= mg+ma 其中:mg为静反力，ma为动反力. 属于已知运动求力之情形. ⑤. 解方程:
例2:炮弹以初速v发射,不计阻力,求炮弹在重力作用下的运动 解:研究(任意位置时而不能是特殊位置时的)炮弹,作受力图, m=∑X=0 my=∑Y=-mg amg 属第二类问题,力是常量直接积分: ⅹ=C1= VoCOSa --gt +C2=-gt t Rosina x=(vo cos a)t+3 即为炮弹的运动方程 2 g+(osna)+g4消去时间即为轨迹方程 进而可以讨论最高射程,最远距离等
例2: 炮弹以初速v0发射，不计阻力，求炮弹在重力作用下的运动. α 解: 研究(任意位置时而不能是特殊位置时的)炮弹，作受力图， mg y o x = = my Y mx X = 0 = -mg 属第二类问题，力是常量.直接积分: = − + = 2 1 y gt c x c = v0 cosα = - gt + v0 sinα = − + + = + 0 4 2 0 3 ( sin ) 2 1 ( cos ) y gt v t c x v t c 即为炮弹的运动方程 消去时间即为轨迹方程 进而可以讨论最高射程，最远距离等
例3:质量为m的机车在水平面内沿曲线轨道由静止开始运动,牵引 力F=12t(kN),常值阻力R=2kN,求机车的运动规律 解:受力分析,牵引力F=12t(kN) R (+) 常值阻力R;重力和地面支反力均 沿铅直方向,不予画出;轨道在水平面 上沿曲率半径有一支反力 F ∑E=F-R不从0开始在时 F=12t=0增F随之增,ms=0.6t2-2t 直到F<R=2kN之前 3 p 间21253秒此/S、0.25 m=ΣFn=Nn机车静止已用去时 (t 从第一式出发, 机车开始运动,才可 mds=(1.2t-2)dt用动力学方程 即为机车的运动方程 (其他类型的例题见教材) mas= t-2)dt
例3: 质量为m的机车在水平面内沿曲线轨道由静止开始运动，牵引 力F=1.2t（kN），常值阻力R=2kN，求机车的运动规律。 O （+） S 解： 受力分析，牵引力 F=1.2t（kN） 常值阻力R；重力和地面支反力均 沿铅直方向，不予画出；轨道在水平面 上沿曲率半径有一支反力。 F R Nn = = = = − n n 2 F N s m ms F F R 从第一式出发， mds = (1.2t − 2)dt = − s 0 t 3 mds 5 (1.2t 2)dt t0不从0开始,在t=0时, F=1.2t=0,t增F随之增, 直到F≤R=2kN之前, 机车静止,已用去时 间t=2/1.2=5/3秒,此后 机车开始运动,才可 用动力学方程. 3 5 ms 0.6t 2t 2 = − + 3 ) 3 5 (t m 0.2 s = − 即为机车的运动方程. (其他类型的例题见教材)
第十三章动量定理 质点运动微分方程的直角坐标形式为 m=∑Ⅹ 已经看到,对一个质点的运动微分方程的积分在 my=∑Y有些问题中已很困难若对一由n个质点所构成的质点 系,则需列3n个这样的微分方程组,其难度可想而知 m=∑Z 与运动特征相关的量—动量、动量矩、动能 关系□ 与力特征相关的量—冲量、力矩、功 动力学普遍定理 重点研究刚体在 动量定理 各种运动形式下的 动量矩定理 运动微分方程 动能定理
第十三章 动量定理 = = = mz Z my Y mx X 质点运动微分方程的直角坐标形式为: 已经看到，对一个质点的运动微分方程的积分在 有些问题中已很困难.若对一由n个质点所构成的质点 系，则需列3n个这样的微分方程组，其难度可想而知. 与运动特征相关的量——动量、动量矩、动能 与力特征相关的量——冲量、力矩、功 关系 动力学普遍定理 动量定理 动量矩定理 动能定理 重点研究刚体在 各种运动形式下的 运动微分方程
§1.质点的动量定理 1质点的动量一mv矢量,量纲为kgms=kgms2·s=Ns 2力的冲量S=Ft矢量,量纲为Ns 前式中,F为常力,若F为变力, 则为 元冲量:ds=Fdts=fat 3.质点的动量定理 ma== 77 dt d(mv)=dt dK=ds即为质点的动量定理的微分形式
kg m/s kg m/s s N s 2 = = §1. 质点的动量定理 1.质点的动量: k=mv 矢量， 量纲为: 2.力的冲量: S =F t 矢量， 量纲为:N s 前式中， F为常力， 若F为变力， 则为 元冲量: dS =F d t = 1 2 t t s Fdt 3. 质点的动量定理: ma =F F v = dt d m d(mv ) = Fdt dk = ds 即为质点的动量定理的微分形式
其积分式为k2-k=s即为质点的动量定理的积分形式 将上式投影到直角坐标系上有 nv.-m] fdt mv2x-mvix= Fdt fdt 若在运动过程中,作用在质点上的合力恒为0,则该质点动量守恒 my-my=o 若在运动过程中,作用在质点上的合力在某轴上的投影恒为0,则 该质点在该轴上动量守恒 lx 0 mv ny 0 m,-mv-=0 2
其积分式为: k2 -k1 = s 即为质点的动量定理的积分形式. 将上式投影到直角坐标系上有: x t t 2 x 1 x x m v m v F dt s 2 1 − = = z t t 2z 1z z y t t 2y 1y y mv mv F dt s mv mv F dt s 2 1 2 1 − = = − = = 若在运动过程中，作用在质点上的合力恒为0，则该质点动量守恒: mv2 −mv1 = 0 若在运动过程中，作用在质点上的合力在某轴上的投影恒为0，则 该质点在该轴上动量守恒: mv2x −mv1x = 0 0 0 − = − = 2z 1z 2y 1y mv mv mv mv
