经济颖测方 第八章灰色预测模型 §1.什么是灰色系统 一、灰色系统 二、灰数 某个只知道大概的范围而不知道其确切值的数,称为灰数 灰数不是一个数,而是一个数集,一个数的区间,记灰数为Q 若a1在灰数⑧中取值,则a为⑧的一个可能的白化值, 记为⑧(a1
经济预测与决策方法 第八章 灰色预测模型 §1.什么是灰色系统 一、灰色系统 二、灰数 某个只知道大概的范围而不知道其确切值的数，称为灰数。 灰数不是一个数，而是一个数集，一个数的区间，记灰数为 若 ai 在灰数 中取值，则 ai 为 的一个可能的白化值， 记为 ( )i a
经济颖测方 三、灰色系统理论的基本观点 1、灰色系统理论认为任何随机过程都是一定幅度值范围、 一定时区内变化的灰色量,所以随机过程是一个灰色过程。 在处理手法上,灰色过程是通过对原始数据的整理来寻找数 的规律,这叫数的生成。 2、灰色系统理论认为:尽管客观系统表象复杂,数据离乱 但它总是有整体功能的,总是有序的,对原始数据作累加处理 后,便出现了明显的指数规律。这是由于大多数系统是广义的 能量系统,而指数规律便是能量变化的一种规律
经济预测与决策方法 三、灰色系统理论的基本观点 1、灰色系统理论认为任何随机过程都是一定幅度值范围、 一定时区内变化的灰色量，所以随机过程是一个灰色过程。 在处理手法上，灰色过程是通过对原始数据的整理来寻找数 的规律，这叫数的生成。 2、灰色系统理论认为：尽管客观系统表象复杂，数据离乱， 但它总是有整体功能的，总是有序的，对原始数据作累加处理 后，便出现了明显的指数规律。这是由于大多数系统是广义的 能量系统，而指数规律便是能量变化的一种规律
经济颖测方 §2生成数的主法 随机过程在灰色系统里被称为灰色量,灰色系统对灰色量 的处理既不找概率分布,也不寻求统计特征,而是通过数据处 理方法来寻找数据表现的规律,这种数据处理方法称为生成法, 灰色系统中主要有累加生成和累减生成 、累加生成 记原始序列为:X0=x(1)2X"(2)…X"(m) 生成序列为:x1={x()x"(2)…,x(n) 中:X=∑X()=X(K-1)+X(K)
经济预测与决策方法 §2.生成数的主法 随机过程在灰色系统里被称为灰色量，灰色系统对灰色量 的处理既不找概率分布，也不寻求统计特征，而是通过数据处 理方法来寻找数据表现的规律，这种数据处理方法称为生成法， 灰色系统中主要有累加生成和累减生成。 一、累加生成 记原始序列为： (1), (2), , (n) 0 0 0 0 X = X X X (1), (2), , ( ) 1 (1) (1) (1) 生成序列为： X = X X X n 其中： ( ) ( 1) ( ) 1 0 1 (1) (0) X X i X K X K K i = = − + =
经济颖测方 例 K=1X(1)=X(1)=2.28 K=2X(2)=X(1)+X(2)=228+298=5.26 K=3X(3)=X(2)+X(3)=526+3.39=865 K=4X(4)=X(3)+X0(4)=865+424=12.98 K=5X(5)=X(4)+X(5)=1298+686=1975 K=6X(6)=X(5)+X(6)=1975+864=2839 K=7X(7)=X(6)+X(7)=28.39+1185=40.24 K=8X(8)=X(7)+X(8)=40.24+12.15=5329 K=9X(9)=X(8)+X0(9)=5329+1271=65.10 累计生成序列 X(K)=228.52686512.89,975,28394024532965.10}
经济预测与决策方法 例 9 (9) (8) (9) 53.29 12.71 65.10 8 (8) (7) (8) 40.24 12.15 53.29 7 (7) (6) (7) 28.39 11.85 40.24 6 (6) (5) (6) 19.75 8.64 28.39 5 (5) (4) (5) 12.98 6.86 19.75 4 (4) (3) (4) 8.65 4.24 12.98 3 (3) (2) (3) 5.26 3.39 8.65 2 (2) (1) (2) 2.28 2.98 5.26 1 (1) (1) 2.28 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 = = + = + = = = + = + = = = + = + = = = + = + = = = + = + = = = + = + = = = + = + = = = + = + = = = = K X X X K X X X K X X X K X X X K X X X K X X X K X X X K X X X K X X 累计生成序列 ( ) 2.28,5.26,8.65,12.89,19.75,28.39,40.24,53.29,65.10 1 X K =
经济颖测方 累减生成 例x(K)={28.526865289,19752839402453.296510} 令K=0,X1(0)=0 K=1X1(1)=X(1)+X0(0)=228-0=228 K=2X(2)=X(2)+X(1)=526-2.28=298 K=3X(3)=X(3)+X(2)=865-526=339 K=4X(4)=X(4)+X(3)=1289-865=424 K=5X(5)=X(5)+X0(4)=19.75-12.89=686 K=6X(6)=X(6)+X0(5)=28.39-1975=864 K=7X(7)=X(7)+X(6)=40.24-2839=11.85 K=8X(8)=X(8)+X(7)=5239-4024-=12.5 K=9x(9)=X1(9)+X(9)=6510-5329=12.71 累计生成序列 X(K)={289833942468686411852.1527}
经济预测与决策方法 累减生成 例 ( ) 2.28,5.26,8.65,12.89,19.75,28.39,40.24,53.29,65.10 0 X K = 令K＝0，X 1 (0)=0 9 (9) (9) (9) 65.10 53.29 12.71 8 (8) (8) (7) 52.39 40.24 12.15 7 (7) (7) (6) 40.24 28.39 11.85 6 (6) (6) (5) 28.39 19.75 8.64 5 (5) (5) (4) 19.75 12.89 6.86 4 (4) (4) (3) 12.89 8.65 4.24 3 (3) (3) (2) 8.65 5.26 3.39 2 (2) (2) (1) 5.26 2.28 2.98 1 (1) (1) (0) 2.28 0 2.28 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ = = + = − = = + = − = = + = − = = + = − = = + = − = = + = − = = + = − = = + = − = = = + = − = K X X X K X X X K X X X K X X X K X X X K X X X K X X X K X X X K X X X 累计生成序列 ( ) 2.28,2.98,3.39,4.24,6.86,8.64,11.85,12.15,12.71 1 X K =
经济颖测方 §3.关联度 关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法。计算关联关需先计算 关联系数。 关联系数计算方法 设参考刚列为X(K)={X0(),X0(2)2X0(3)…X0(m) 被比较序列为X1(K)={X(2)2X1(3)2…X,(m) 关联系数定义为: minmin n.(K)= Xo(K)-X(K)+pmax- max Xo(K)-X(K) Xo(K)-X (K)+pmax. max Xo(K)-X, (K) 其中: (1)Ax()-X(k)为第K点X与x的绝对差。 接下页)
经济预测与决策方法 §3.关联度 关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法。计算关联关需先计算 关联系数。 关联系数计算方法： 设参考序列为 X 0 (K) = X0 (1), X0 (2), X0 (3)X0 (n) 被比较序列为 X i (K) = Xi (2), Xi (3),Xi (n) 关联系数定义为： ( ) ( ) pmax max ( ) ( ) min min ( ) ( ) pmax max ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 X K X K X K X K X K X K X K X K n K i i i i i − + − − + − = 其中： （1） X0 (K) − Xi (K) 为第K点X0与Xi的绝对差。 （接下页）
经济颖测方 (2)mmxK)-X(K)为两级最小差。其中minx(K)-x(K)是第 一级最小差,表示在X序列上找各点与X的最小差。 min min.(k)-X(K 为第二级最小差,表示在各序列找出的最小差基础上寻求所有序列中的最 小差。 (3)mmmm0(K)-X(K)是两级最大差,其含义与最小差相似。 (4)p称为分辨率0<p<1,一般采取P=05 (5)对单位不一,初值不同的序列,在计算关联系数前应首选进行初值化, 即将该序列所有数据分别除以第一个数据。 关联度 被比较序列与参考序列的关联度是各类关联系数的平均值,即 7(K)
经济预测与决策方法 min min ( ) ( ) （3） X0 K − Xi K 是两级最大差，其含义与最小差相似。 （4）p称为分辨率0＜p＜1，一般采取P＝0.5 （5）对单位不一，初值不同的序列，在计算关联系数前应首选进行初值化， 即将该序列所有数据分别除以第一个数据。 2、关联度 被比较序列与参考序列的关联度是各类关联系数的平均值，即 （2） 为两级最小差。其中 是第 一级最小差，表示在Xi序列上找各点与X0的最小差。 min min ( ) ( ) X0 K Xi K i n − min ( ) ( ) X0 K − Xi K min min ( ) ( ) X0 K − Xi K 为第二级最小差，表示在各序列找出的最小差基础上寻求所有序列中的最 小差。 = = n K i i K n r 1 ( ) 1
经济颖测方 例设参考序列为Y=(8,8.88,16,18,24,32),被比较序列为 Y1=(10,1.6,18.34,20,23.4,30) Y2=(5,5.625,5375,6.875,8.,125,8.75) 求其关联度 7=n>们(4)=1n(K) (1+0.94450.8714+0.8180+0.6360+0.5294)=0.7988 72=0.6449 r1、r2表明X和X的关联程度大于X2与X的关联程度
经济预测与决策方法 例 设参考序列为Y0＝（8，8.88，16，18，24，32），被比较序列为 Y1＝（10，11.66，18.34，20，23.4，30） Y2＝（5，5.625，5.375，6.875，8.125，8.75） 求其关联度： = = = = 6 1 1 1 1 1 ( ) 6 1 ( ) 1 K n K K K n r = (1+ 0.9445+ 0.8714 + 0.8180 + 0.6360 + 0.5294) = 0.7988 r2 = 0.6449 r1、r2表明X1和X0的关联程度大于X2与X0的关联程度
经济颖测方 §4.GM(1.1)预测模型 、GM(1.1)模型 设时间序列X有几个观察值,X0={x(1)x(2),…,X(m 累加生成序列x={x(1)x(2)…,x(m)},生成序列X满足: aax1=U式中称发展灰数,U称内生控制灰数 设a为待估参数向量 利用最小二乘法求解可得 u a=(BB)Bh其中 1/2x()+x(2) X(2) x(+1)=x(2p=m+ B 1/12x(2)+X(3) X(3) X0(4) 1/2x(n-1)+X(n)1 X(n) x(i+1)=X(i+1)-X(i)
经济预测与决策方法 §4. GM（1.1）预测模型 一、GM（1.1）模型 设时间序列X0有几个观察值， (1), (2), , (n) 0 0 0 0 X = X X X 累加生成序列 (1), (2), , (n) 1 0 1 0 X = X X X ，生成序列X1 满足： ax U dt dX + = 1 1 式中a称发展灰数，U称内生控制灰数。 设 ˆ 为待估参数向量 = u a ˆ ，利用最小二乘法求解可得 B B B Yn T 1 T ˆ ( ) − = 其中 − − + − + − + = 1/ 2 ( 1) ( ) 1 1/ 2 (2) (3) 1 1/ 2 (1) (2) 1 1 1 1 1 1 1 X n X n X X X X B = ( ) (4) (3) (2) 0 0 0 0 X n X X X Yn a u e a u X i X ai + + = − ( 1) (1) ˆ 1 0 ( ) ˆ ( 1) ˆ ( 1) ˆ 0 1 1 X i + = X i + − X i
经济颖测方 二、模型检验 灰色预测模型检验-一般有残差检验,关联度检验和后验差检验。 1.残差检验 首先按模型计算(+1,其次将ⅹ(+1累减生成氵(),最后计算 原始序列()与()的绝对残差()=X()-8(),(i=12…n) 及相对误差o=fox(=12…,n) 2关联度检验 按关联度计算方法算岀ⅹ(ω与原始序列ⅹ(的关联系数,然后算岀关联 度,根据经验,当p=0.5时,关联度大于06便是满意的
经济预测与决策方法 二、模型检验 灰色预测模型检验一般有残差检验，关联度检验和后验差检验。 1.残差检验 首先按模型计算 ( 1) ˆ 1 X i + ，其次将 ( 1) ˆ 1 X i + 累减生成 ( ) ˆ 0 X i ，最后计算 原始序列 ( ) ˆ 0 X i ( ) ˆ 0 与 X i 的绝对残差 0 (i) = X 0 (i) − X ˆ 0 (i)，（i =1,2, ,n） 及相对误差 Φ / ,( 1,2, , ) 0 0 ＝ Δ (i) X (i) % i = n 2.关联度检验 按关联度计算方法算出 与原始序列 的关联系数，然后算出关联 度，根据经验，当p=0.5时，关联度大于0.6便是满意的。 ( ) ˆ 0 X i ( ) ˆ 0 X i