经济颖测方 第七章马尔可夫预测法 §1.基本概念与基本理论 马尔可夫过程当随机过程在k所处的状态为已知条件时,过程 在时刻ttk所处的状态仅与tk时的状态有关,而与tk以前的状态无关,这 种随机过程为马尔可夫过程。 用分布函数来描述:若在条件Y)=K(=1,2,,n)下的Yn的分布函数怡 好等于条件Ytn=Yn下的分布函数,即 FOn; t mY n-2 Y =Fn tr-: tnD 则称Y为马尔可夫过程 马尔可夫链:离散化的马尔可夫过程就是马尔可夫链。它具有无后效性 的特征,即它在将来取什么值只与它现在的取值有关,而与它过去取什么 值无关
经济预测与决策方法 第七章 马尔可夫预测法 §1.基本概念与基本理论 一、马尔可夫过程——当随机过程在tK 所处的状态为已知条件时，过程 在时刻 t> tK 所处的状态仅与 tK 时的状态有关，而与tK 以前的状态无关，这 种随机过程为马尔可夫过程。 用分布函数来描述：若在条件Y(ti )=Yi (i=1,2,…,n) 下的 Yn 的分布函数恰 好等于条件 Y(tn-1 )=Yn-1 下的分布函数，即 F(Yn；tn /Yn-1 Yn-2… Y1；tn-1 tn-2 … t1 ) =F(Yn；tn /Yn-1；tn-1 ) 则称 Y(t) 为马尔可夫过程。 马尔可夫链：离散化的马尔可夫过程就是马尔可夫链。它具有无后效性 的特征，即它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么 值无关
经济颖测方 状态概率向量:设马尔可夫链在t时取状态E1E2,En的概率分别为1 P2…p,而0P≤1,∑P圳向量[PP2…Pn称为A时的状态概率向量。 、状态转移概率 设系统可能出现N个状态E1E2…En,则系统由时刻从E转移到状态 k)时刻的概率就称为从的转移椰率,也称一步转移概率,记为 pn=p(E1→E) 四、状态转移概率矩阵 在一定条件下,系统只能在可能出现的状态E1E2…,E中转移,系统所 有状态之间转移的可能性用P表示,定义P状态 PP 12 PIN P 2N 转移概率矩阵。 NI
经济预测与决策方法 二、状态概率向量：设马尔可夫链在tK 时取状态E1 E2 … En的概率分别为p1 p2 … pn 而0≤Pi≤1， 则向量［P1P2… Pn］称为tK时的状态概率向量。 = = N i Pi 1 1 三、状态转移概率 设系统可能出现N个状态E1E2 … En，则系统由tK时刻从Ei转移到状态 tk+1时刻的概率就称为从i到j的转移概率，也称一步转移概率，记为 ( ) ij Ei Ej p = p → 四、状态转移概率矩阵 在一定条件下，系统只能在可能出现的状态E1E2 … En中转移，系统所 有状态之间转移的可能性用P表示，定义P为状态 = N N NN N N P P P P P P P P P P 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 转移概率矩阵
经济颖测方 3、定理1:设马尔可夫链在初始状态的(一步)转移概率矩阵为p)→则由初 始状态经过n个时间间隔(n步)转移到新的状态的转移概率为 P(m)=P.P……P=Pn 即n步转移概率等于一步转移矩阵的m次方。 定理2:若记P的元素为P则有 m p n→0 系统处在j状态的概率与它在很元的过去处在什么情况无关
经济预测与决策方法 3、定理1：设马尔可夫链在初始状态的(一步)转移概率矩阵为p (1) =p 则由初 始状态经过 n 个时间间隔( n 步)转移到新的状态的转移概率为： n n n P = P P P = P 个 ( ) 即n步转移概率等于一步转移矩阵的n次方。 定理2：若记Pn的元素为Pij (n)则有 j (n) ij n p = p → lim 系统处在 j 状态的概率与它在很元的过去处在什么情况无关
经济颖测方 例已知市场上有A,B,C三种牌子的洗衣粉,上月的市场占有分布为03 040.3),且已知转移概率矩阵为 0.60.20.2 P=0.10.70.2 0.10.10.8 试求本月份和下月份的市场占有率? 解:1、求本月份市场占有率 0.60.20.2 S=(03040.3)0.10702|=(0250.37038) 0.10.10.8
经济预测与决策方法 例 已知市场上有A，B，C三种牌子的洗衣粉，上月的市场占有分布为(0.3 0.4 0.3)，且已知转移概率矩阵为 = 0.1 0.1 0.8 0.1 0.7 0.2 0.6 0.2 0.2 P 试求本月份和下月份的市场占有率？ 解：1、求本月份市场占有率 ( ) (0.25 0.37 0.38) 0.1 0.1 0.8 0.1 0.7 0.2 0.6 0.2 0.2 0.3 0.4 0.3 1 = S =
经济颖测方 2、求下月份市场占有率 0.60.20.2 S2=(0.3040.30.10.702 0.10.10.8 0.40.260.32 =(0.3040.3)0.150530.32 0.150.170.68 0.2250.3470428 计算结果说明,在顾客(或用户)购买偏好改变不大情况下,下个月A牌洗 衣粉市场占有率225%,B牌洗衣粉市场占有率为347%,C牌洗衣粉的市 场占有率为428%
经济预测与决策方法 2、求下月份市场占有率 ( ) 2 2 0.1 0.1 0.8 0.1 0.7 0.2 0.6 0.2 0.2 0.3 0.4 0.3 S = ( ) = 0.15 0.17 0.68 0.15 0.53 0.32 0.4 0.26 0.32 0.3 0.4 0.3 = (0.225 0.347 0.428) 计算结果说明，在顾客(或用户)购买偏好改变不大情况下，下个月A牌洗 衣粉市场占有率22.5%，B牌洗衣粉市场占有率为34.7%，C牌洗衣粉的市 场占有率为42.8%
经济颖测方 例设东南亚各国主要行销我国大陆、日本、香港三个 产地的味精。对目前市场占有情况的抽样调查表明, 购买中国大陆味精的顾客占40%,购买日本、香港味 精的顾客占30%。顾客流动转移情况如下表所列: 中国大陆 日本 香港 中国大陆 40% 30% 30 日本 60% 30% 10 香港 60% 10 30 试预测第4个月味精市场占有率和预测长期的市场占 有
经济预测与决策方法 例 设东南亚各国主要行销我国大陆、日本、香港三个 产地的味精。对目前市场占有情况的抽样调查表明， 购买中国大陆味精的顾客占40%，购买日本、香港味 精的顾客占30%。顾客流动转移情况如下表所列： 中国大陆 日 本 香 港 中国大陆 40% 30% 30% 日 本 60% 30% 10% 香 港 60% 10% 30% 试预测第4个月味精市场占有率和预测长期的市场占 有率
经济颖测方 解:1、预测第4个月的市场占有率,即求三步转移后的市场占有率 已知S=(0.40.30.3)及转移概率矩阵P为: 0.40.30.3 P=P21P2P23|=06030.1 P1P2B3(060.10.3 40.30.3)(0.4960.2520252 三步转移概率矩阵为:P3=06030.1=050402520244 60.10.30.5040.2440252 于是,4个月市场占有率为: 0.4960.2520.252 40.30.3)=0.5040.2520244 0.5040.2440.252 即预测第4个月,中国大陆味精的市场占有份额为50.08%,日本、香港 各为2496%
经济预测与决策方法 解：1、预测第4个月的市场占有率，即求三步转移后的市场占有率。 已知 S 0=(0.4 0.3 0.3) 及转移概率矩阵P 为： = = 0.6 0.1 0.3 0.6 0.3 0.1 0.4 0.3 0.3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 P P P P P P P P P P 三步转移概率矩阵为： = = 0.504 0.244 0.252 0.504 0.252 0.244 0.496 0.252 0.252 0.6 0.1 0.3 0.6 0.3 0.1 0.4 0.3 0.3 2 3 P 于是，4个月市场占有率为： ( ) = = = 0.504 0.244 0.252 0.504 0.252 0.244 0.496 0.252 0.252 0.4 0.3 0.3 4 0 3 S S P 即预测第4个月，中国大陆味精的市场占有份额为50.08%，日本、香港 各为24.96%
经济颖测方 2、预测长期的市场占有率 由定义4知,本例的一步转移概率矩阵P是标准概率矩阵。所以,长期的 市场占有率将趋向稳定状态。 设:a=( 根据标准概率矩阵的性质,有mP=a,即 0.40.30.3 (x1x2x)06030.1=(x1x2 0.60.10.3 x1=0.4x1+0.6x2+0.6x3 2=0.3x1+0.3x2+0.lx3 又有x1+x2+x3=1于是得线性方程组 x3=0.3x1+0.1x2+0.3x3 x3 解之得:x1=0.5x2=0.25x3=0.25 于是,终极用户点有率为:中国大陆产的味精占50%,日本、香港产的 味精均各占25%
经济预测与决策方法 2、预测长期的市场占有率 由定义4知，本例的一步转移概率矩阵P是标准概率矩阵。所以，长期的 市场占有率将趋向稳定状态。 设：a=(x1 x2 x3 ) 根据标准概率矩阵的性质，有aP=α，即 ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 0.6 0.1 0.3 0.6 0.3 0.1 0.4 0.3 0.3 x x x = x x x 又有 x1+x2+x3=1 于是得线性方程组 + + + = + + = + + = + + 1 0.3 0.1 0.3 0.3 0.3 0.1 0.4 0.6 0.6 1 2 3 3 1 2 3 2 1 2 3 1 1 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x 解之得：x1=0.5 x2=0.25 x3=0.25 于是，终极用户点有率为：中国大陆产的味精占50%，日本、香港产的 味精均各占25%
经济颖测方 例某商店在最近20个月的商品销售量统计记录如下 商品销售量统计表 单位:千件 时间1234567891011121314151617181920 销售量4045801201103840506290110130140120557045|80110120 试预测第21月的商品销售量。 解:依上述步骤 1、划分状态 接盈利状况为标准选取 (1)销售量100千件属畅销 2、计算初始概率P 为了使问题更为直观,绘制销售量散点图,并画出状态分界线,如图所
经济预测与决策方法 例 某商店在最近20个月的商品销售量统计记录如下： 商品销售量统计表 单位：千件 时间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 销售量 40 45 80 120 110 38 40 50 62 90 110 130 140 120 55 70 45 80 110 120 试预测第21月的商品销售量。 解：依上述步骤 1、划分状态 接盈利状况为标准选取 (1)销售量＜60千件 属滞销； (2)60千件≤销售量≤100千件 属一般； (3)销售量＞100千件 属畅销。 2、计算初始概率P： 为了使问题更为直观，绘制销售量散点图，并画出状态分界线，如图所 示
经济颖测方 IGO [40 20 SO 40 20 0 45729I0I1 12 1213141516 18122 销售量散点图 由图可算出处于 滞销状态的有M1=7 一般状态的有M2=5 畅销状态的有M3=8
经济预测与决策方法 销售量散点图 由图可算出处于 滞销状态的有M1=7 一般状态的有M2=5 畅销状态的有M3=8