《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）向量组的线性相关性

§2.3 向量组的线性相关性 一、线性组合 二、线性相关和线性无关 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组和秩 五、向量空间的基与向量的坐标

§2.3 向量组的线性相关性 一、线性组合 二、线性相关和线性无关 三、向量组的等价 四、向量组的最大无关组和秩 五、向量空间的基与向量的坐标

一、线性组合 在向量线性运算的基础上，讨论向量之间的关系. 1.定义2.3.1对于向量a1,必2，am和，若存在m 个数入1，几2，.，m,使得： a=1a41+22+.+2mam 则称a是，2，am的线性组合，1,2，·，n称 为组合系数。 或者称向量a可由向量组a,%2,am线性表示 说明：()零向量是任何一组向量组的线性组合

一、线性组合 在向量线性运算的基础上,讨论向量之间的关系. 1.定义2.3.1 对于向量1 ,2 ,., m和，若存在m 个数1 ,2 ,. ,m ，使得：  = 11 + 22 + .+ mm 则称是1 ,2 ,.,m的线性组合，1 ,2 ,. ,m 称 为组合系数。 说明：(1)零向量是任何一组向量组的线性组合 . 或者称向量可由向量组1 ,2 ,.,m 线性表示

例1设n维向量 61=(1,0,.,0) e2=(0,1,.,0) En=(0,0,1) a=(41,42,un)是任意一个n维向量，由于 a=(a1,a2,.,an)=461+a2E2+a383+.+an8m 通常称61,62，6n为n维单位坐标向量组. (2)任一n维向量可由维单位坐标向量组c1,62,.,6n 线性表示出来

1 2 1 2 1 (1,0, ,0) (0,1, ,0) (0,0, ,1) ( , , , ) n n n a a a n             例 设 维向量 是任意一个 维向量，由于 通常称 1 2 , , , n     为n维单位坐标向量组. . (2) , , , 1 2 线性表示出来 任一n维向量 可由维单位坐标向量组 n      n n n   a a  a  a   a   a   a  1 2 1 1 2 2 3 3 ( , , , )

2.向量a能否由向量组1，.，m线性表出可转化 为线性方程组有没有韵问题 x a+xaz+.+xa=B 0,= j=1,2,.,n a x+a2x2++aunxn=b b a2X1+0222++a2nXn=b2 b B= am+am22+amxn =bm bm」

(*) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1                    m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     x x x 1 1 2 2        n n 1 2 1,2, , j j j mj a a j n a                  1 2 m b b b                . 2. , , 1 为线性方程组有没有解的问题 向 量能否由向量组   m 线性表出可转化

(①)B可由向量组，a2.αn线性表示一线性方程组() 有解 (2)B不能由向量%，a2.n线性表示一线性方程组(*) 无解 3.一般地，B与4,02，.，0m的关系为下列三种情况之一 (1)阿由%，.，am线性表示，且表示法唯一。 (2)B阿由4，Cn线性表示，但表示法不唯一。 (3)B不能由4，.，&m线性表示

(3)不能由1 ， , m 线性表示。 (2)可由1 ， , m 线性表示，但表示法不唯一。 (1)可由1 ， , m 线性表示，且表示法唯一。 3.一般地,与1 ,2 ,  , m 的关系为下列三种情况之一 . (1) , (*) 1 2 有解 可由向量组  n 线性表示  线性方程组 . (2) , (*) 1 2 无解 不能由向量  n 线性表示  线性方程组

例题2判断向量α=(0,4,2)是否是向量组%1=(1,2,3)， 2=(2,3,1),043=(3,12)的线性组合？ 解：先假定=1+，2+入g,即 0,4,2)=2(1,2,3)+入(2,3,1)+233,1,2) =(2+222+3九3,221+322+元3,321+九2+223) 因此 九+222+323=0， 2九1+322+23=4， 3元1+元2+2九3=2

1 2 3 (0,4,2) (1,2,3) (2,3,1) (3,1,2)       1 2 3 1 2 3 1 2 3        ( 2 3 ,2 3 ,3 2 )          因此 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 2 3 4, 3 2 2.                        解：先假定           1 1 2 2 3 3， 即 (2,3,1), (3,1,2) ? 2 (0,4,2) (1,2,3), 2 3 1 的线性组合 例题 判断向量 是否是向量组        

由于该线性方程组的系数行列式 123 231=-18≠0， 312 由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 九1=1，九2=1,23=-1 于是a可表示为a=01+02-03

由于该线性方程组的系数行列式 1 2 3 2 3 1 18 0, 3 1 2    由克拉默法则知，方程组有唯一的解，可以求出 1 2 3        1, 1, 1 于是可表示为        1 2 3

二、线性相关和线性无关 1.定义2.3.2 设n维向量组a%1,2,&m，如果存 在不全为0的m个数k1,k2,.,km,使得 k1&1+k2凸+.+km&m=0 则称向量组a41,2,am线性相关，否则称它们线性 无关 由定义知一个向量组要么线性相关，要么线性无关。 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论：

1.定义2.3.2 设n维向量组1 , 2 ,., m ，如果存 在不全为0 的m 个数k1，k2，. ，km，使得 k11 + k22 + .+ kmm = 0 则称向量组1 ,2 ,.,m 线性相关,否则称它们线性 无关. 二、线性相关和线性无关 由定义知一个向量组要么线性相关，要么线性无关。 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论:

()含有零向量的向量组必线性相关， (2)如果向量组41，%2，m中有某两个向量a=kC ()，对应成比例，那么向量组a1,必2，an线性 相关； (3)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线 性相关其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个 部分组也是线性无关的. (4)只有一个向量a的向量组线性相关的充要条件是 0=0;

(4)只有一个向量的向量组线性相关的充要条件是 =0; (2)如果向量组1 ,2 ,.,m中有某两个向量i=kj (i≠j) ，对应成比例，那么向量组1 ,2 ,.,m线性 相关 ; (1)含有零向量的向量组必线性相关. (3)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线 性相关.其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个 部分组也是线性无关的

2向量组线性关系的判定 向量组的线性关系的判定可转化为对应的齐次线性 方程组有无非零解的问题。 x1C1+x202+.+nCn=0 4 42j C,= j=1,2,.,n a11X1+a12X2+.+41mXn=0 0 a21x1+a22X2+.+a2mXn=0 0 am+am2x2++amnn=O 0

向量组的线性关系的判定可转化为对应的齐次线性 方程组有无非零解的问题。 1 2 1,2, , j j j mj a a j n a                  0 0 0 0              x x x 1 1 2 2       n n 0                    0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     2.向量组线性关系的判定