《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）克拉默法则

§1.4克拉默法则 一、克拉默法测 二、重要定理 三、小结思考题

§1.4 克拉默法则 一、克拉默法则 二、重要定理 三、小结 思考题

一、克拉默(Cramer)法则 1x1+012x2++a1mXn=b 线性方程组 a2x+ax++anxn=b2 (1) amx+an2x2++amxn=b 若常数项b,b2,b,.bn不全为零，则此方程组为非 齐次线性方程组，若常数项b,b2,b,.bn全为零，则 此方程组为齐次线性方程组

11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                    此方程组为齐次线性方程组， 齐次线性方程组 若常数项 全为零 则 若常数项 不全为零 则此方程组为非 , , , , , , , , , 1 2 3 1 2 3 n n b b b b b b b b   一、克拉默(Cramer)法则 线性方程组

线性方程组(1)可简写为 20y*=6阳22 由线性方程组(1)的系数构成的行列式 12 D= L21 2 ·Lm 称为线性方程组(1)的系数行列式

n n nn n n a a a a a a a a a D     1 2 21 22 2 11 12 1  1 1,2, , n ij j i j a x b i n     线性方程组(1)可简写为 由线性方程组(1)的系数构成的行列式 称为线性方程组(1)的系数行列式

定理1.4.2如果线性方程组1)的系数行列式D≠0，则 线性方程组(1)有解，并且解唯一，解可表示为 D 其中D,是把系数行列式D中第列的元素用方程组 中右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即 D

. D D , , x D D , x D D , x D D x n     n  3 3 2 2 1 1 n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D      1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1      中右端的常数项代替后所得到的 阶行列式 即 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组 n , D D j j 线性方程组 有解 并且解唯一 解可表示为 定理 如果线性方程组 的系数行列式 则 (1) , , 1.4.2 (1) D  0

证明：1、存在性 D,=b4,+6A++b.Aw=26,4, 把y一号代入第旅12个方程得 立，-82=b2[②64 1 22a,4y-02,24,4=6D=4 D i=1 s=l 故 D 是方程组的解

证明： 1、存在性 1 1 2 2 1 n j j j n nj s sj s D b A b A b A b A        把 代入第 i(i=1,2,.,n)个方程，得 D D x j j  i i n s n j s ij s j n j n s s ij ij n j n s ij s s j n j j ij n j ij j b D b D b a A D b a A D a b A D D D a x a                              1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 故 是方程组的解. D D x j j 

2、唯一性设(C1,C2,Cn)是方程组的一个解，则 25=4心=l2训 Ax∑4,9，=bA=1,2.,m i 左装相2420，-22446224,4=60 右端相加 ∑b,Ak=Dg,从而cD=Dk D. 得 Ck= 所以方程组有唯一解

2、唯一性 设(c1 ,c2 ,.,cn )是方程组的一个解，则 1 ( 1,2, , ) n ij j i j a c b i n     1 ( 1,2, , ) n ik ij j i ik j A a c b A i n     A a c A a c c a A ck D n j n i j ij ik n i n j ik ij j n i n j  ik ij j       1 1 1 1 1 1 , 1 k n i bi Aik  D  D D c k 得 k  所以方程组有唯一解。 左端相加 右端相加 从而ckD=Dk

关于定理的说明： 1.Cramer法则的优点在于给出了方程组的解与方程 组的系数及常数项之间的关系，具有理论价值。 2.Crameri法则仅使用于方程个数等于未知量个数，并 且系数行列式不为零的线性方程组。 3.(1)两个条件限制了法则的应用； (2)即便适用法则，当很大时，由于利用法则求解方程 组运算量很大而不适用

且系数行列式不为零的线性方程组。 2.Cramer法则仅使用于方程个数等于未知量个数,并 组的系数及常数项之间的关系 具有理论价值。 法则的优点在于给出了方程组的解与方程 , 1.Cramer 组运算量很大而不适用。 即便适用法则 当 很大时 由于利用法则求解方程 两个条件限制了法则的应用； (2) , , 3.(1) n 关于定理的说明:

例题1：利用cramer法则求解线性方程组 21+X2-5x3+x4=8, X1-3x2-6x4=9, 22-3+24=-5, x1+4x2-7x3+6x4=0. 解： 2 1-5 1 0 7 -5 13 1 -3 0 -6 D 1-22 1 -3 0 -6 0 2 -1 2 0 2 -1 2 r4-2 1 4 -7 6 0 7 -7 12

                      4 7 6 0. 2 2 5, 3 6 9, 2 5 8, 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 1 4 7 6 0 2 1 2 1 3 0 6 2 1 5 1      D  1 2 2 r  r 4 2 r  r 0 7 7 12 0 2 1 2 1 3 0 6 0 7 5 13      例题1:利用cramer法则求解线性方程组 解:

7 -5 13 C1+2C2 -3 -5 3 =-2 -1 2 0 -1 0 7-7 12 C3+2c2 -7 -7 -2 -3 3 -7 2 =27, 8 1 -5 1 28 -5 1 9 -3 0 -6 1 9 0 -6 D2= -5 2 -1 2 0 -5 -1 2 0 4 -7 6 1 0 -7 6 = 81, =-108

7 7 12 2 1 2 7 5 13      1 2 2 c  c 3 2 2 c  c 7 7 2 0 1 0 3 5 3        7 2 3 3      27, 0 4 7 6 5 2 1 2 9 3 0 6 8 1 5 1 1       D   81, 1 0 7 6 0 5 1 2 1 9 0 6 2 8 5 1 2      D   108

2 1 8 1 2 1 -5 8 1-3 9 -6 1 -3 0 9 D3= 0 2 -5 2 0 2 -1 -5 1 4 0 6 14-70 =-27, =27, D 81 =3, -10 .X1 X2= 0=-4, D 27 D 27 -27 D 27 X3-D =-1, 4= =1. 27 D 27

1 4 0 6 0 2 5 2 1 3 9 6 2 1 8 1 3    D   27, 1 4 7 0 0 2 1 5 1 3 0 9 2 1 5 8 4      D   27, 3, 27 81 1  1    D D x 4, 27 108 2 2      D D x 1, 27 27 3 3      D D x 1. 27 4 27 4    D D x