《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）§4.2 齐次线性方程组

§4.2齐次线性方程组 一、齐次线性方程组的性质 二、基础解系及其求法 三、小结

§4.2 齐次线性方程组 一、齐次线性方程组的性质 二、基础解系及其求法 三、小结

一、齐次线性方程组解的性质 设有齐次线性方程组 1比1+012X2+.+1mXn=0 21k1+022X2+.+42mXn=0 (4-5) ml火1+0m2七2+.+AmnXn=0 11 12 若记A= 21 22 Q2n X2 ,X= (m2 Amn n

设有齐次线性方程组                    0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     若记 （4-5） 一、齐次线性方程组解的性质 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , n n m m mn n a a a x a a a x A x a a a x                          

则上述方程组(4-5)可写成向量方程 Ax=0 (4-6) 若x1,x2,.,x为方程(4-5)的解，则 X2 xX= Xn 为方程(4-6)的解向量，也就是方程 (4-5)的解向量

则上述方程组（4-5）可写成向量方程 Ax   0 (4 6) 1 2 1 2 , , , (4 5) (4 6) (4 5) n n x x x x x x x                 若 为方程 的解，则 为方程 的解向量，也就是方程 的解向量

性质4.2.1两个解向量的和仍然是解向量，即 设5,5，是方程组(4-5)的解向量，则5+5也 是方程组(4-5)的解向量. 证明只需证明5+52满足方程组(4-6)即可 .A51=0,A52=0 ∴.A(51+52)=A51+A52=0 故x=51+52也是Ac=0的解

1 2 1 2 , (4 5 4.2. ) (4 5 1 )        两个解向量的和仍然是解向量，即 设 是方程组 的解向量， 性质 则 也 是方程组 的解向量. 证明  A 1   2   A 1  A 2  0  A 1  0, A 2  0 故 x 也是Ax 0的解.   1   2  只需证明  1 2 + 满足方程组(4 6)  即可

性质4.2.2一个解向量的倍数仍是解向量，即 设5是方程组(4-5)的解向量，是任意数， 则5也是方程组(4-5)的解向量. 证明A(25)=九A(5)=0=0. ∴.入5也是方程组(4-5)的解向量 由性质4.2.1、4.2.2知，齐次线性方程组(4-5)的 解向量的线性组合仍是(4-5)的解向量. 设51,52，5n,是方程组(4-5)的解向量，1,2，.2n 是任意数，则25+入，52+.+元n-,5m,仍是方程组 (4-5)的解向量

(4 5) (4 5 . .2 ) 4 2       一个解向量的倍数仍是解向量，即 设 是方程组 的解向量， 是任意数， 则 性质 也是方程组 的解向量. 证明 A A     1 1       0 0.   也是方程组(4 5)的解向量 由性质4.2.1、4.2.2知，齐次线性方程组(4-5)的 解向量的线性组合仍是(4-5)的解向量 . 1 2 1 2 1 1 2 2 , , , (4 5) , , (4 5) n r n r n r n r                       设 是方程组 的解向量， 是任意数，则 仍是方程组 的解向量

二、基础解系及其求法 由于方程组(4-5)的所有解，对于加法和数乘运算构 一个向量空间，也称为方程组(4-5)解空间. 下面我们来求解空间的一个最大线性无关组。 设线性方程组(4-5)系数矩阵A的秩为r,不妨假设A 的前个列向量线性无关，于是A的行最简形为 1 0b1r+1 bin 0 。 1 b I= r+l 0 0 0 0 0 。 0 0

二、基础解系及其求法 由于方程组(4-5)的所有解,对于加法和数乘运算构 一个向量空间,也称为方程组(4-5)解空间. 下面我们来求解空间的一个最大线性无关组。 设线性方程组(4-5)系数矩阵A的秩为r,不妨假设A 的前r个列向量线性无关，于是A的行最简形为 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 r n rr rn b b b b I                             

与对应的线性方程组为 +b+x41+.+bnXn=0 X,+b,4Hx41++bnx,=0 移项后可得 =-h4rr41-6nx。 (4-7) X,=-b,4X41-bnx

1 1, 1 1 1, , 1 1 , (4 7) r r n n r r r r r n n x b x b x x b x b x                   与I对应的线性方程组为 1 1, 1 1 1, , 1 1 , 0 0 r r n n r r r r r n n x b x b x x b x b x                  移项后可得

在方程组(4-7)中，给定x+1心n一组确定的数， 可惟一确定x1,x,的值，便得到方程组(4-7)的一个 解，也就是方程组(4-5)的一个解，我们把x+1xm 称为自由未知量. 令x+1xn分别取下列n-组数 Xr+l

令xr+1,.,xn分别取下列n-r组数 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 r r n x x x                                                        ， ， ， 在方程组(4-7)中，给定xr+1,.,xn一组确定的数， 可惟一确定x1 ,.,xr的值，便得到方程组(4-7)的一个 解，也就是方程组(4-5)的一个解，我们把xr+1,.,xn 称为自由未知量

由(4-7)依次可得 X 从而得到(4-7)也就是(4-5)的-r个解 -b1,+1 -b1,r+2 b1, . 一b,r+2 5= 1 52= 0 5m-,= 0 0 1 0 . 0 0 1

1 1, 1 , 1 r r r r x b x b                            ， 1, 2 , 2 r r r b b               ， 1, , n r n b b             ， 由(4-7)依次可得 . 从而得到(4-7)也就是(4-5)的n-r个解 1, 1 , 1 1 1 0 0 r r r b b                               ， 1, 2 , 2 2 0 1 0 r r r b b                               ， 1, , 0 0 1 n r n n r b b                             

下面证明5,52，5m-,是解空间的一个基 首先由于 Xr+2 所取的n-个n-r维向量 Xn 7 0 0 1 0 线性无关

1 2 , , , n r    下面证明   是解空间的一个基 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 r r n x x n r n r x                                                         首先由于 所取的 个 维向量 ， ， ， 线性无关