公第公章行列式 §1.4克拉默法测
第一章 行列式 §1.4 克拉默法则
第一章行列式 一、克拉默法则 1七1+012X2+.+a1mXn=b1 设线性方程组 211+2zX2++2nXn=b2 (1) amx+an2x2++amxn=b 若常数项b,b,.,b不全为零，则称此方程组为非 齐次线性方程组；若常数项b,b,.,bn全为零 此时称方程组为齐次线性方程组
第一章 行列式 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 设线性方程组 1 2 , , , , n 若常数项b b b 不全为零 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 1 2 , , , , n 若常数项b b b 全为零 此时称方程组为齐次线性方程组. 一、克拉默法则
第一章行列式 线性方程组)的系数构成的行列式 412 D= L21 022 nn 称为方程组)的系数行列式：
第一章 行列式 线性方程组(1)的系数构成的行列式 n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = 称为方程组(1)的系数行列式
第一章行列式 定理1.4.1（克拉默法则）如果线性方程组()的系数 行列式D≠0那么线性方程组(1)有解，并且解是唯 一的，解可以表为 D X1= D 2,x=0 其中D,是把系数行列式D中第i列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即 a1.0,j-lb4,+1.01n D 0n.n,j-l b
第一章 行列式 . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = = n = 3 3 2 2 1 1 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 − + − + = 定理1.4.1（克拉默法则）如果线性方程组(1)的系数 行列式 那么线性方程组(1)有解，并且解是唯 一的，解可以表为 D 0
第一章行列式 例用克拉默则解方程组 2x1+2-5x3+x4=8, 飞1-3K2-6x4=9, 2x2-3+2x4=-5, x1+4x2-7x3+6x4=0. 解 2 1-5 07 -5 13 1 -3 0 -6 1-23 1 -3 0 -6 D 0 2 -1 2 4-2 0 2 -1 2 4 -7 6 0 7 12
第一章 行列式 例 用克拉默则解方程组 + − + = − + = − − − = + − + = 4 7 6 0. 2 2 5, 3 6 9, 2 5 8, 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 解 1 4 7 6 0 2 1 2 1 3 0 6 2 1 5 1 − − − − − D = 1 2 2 r − r 4 2 r − r 0 7 7 12 0 2 1 2 1 3 0 6 0 7 5 13 − − − − −
第一章行列式 7 5 13 3 5 3 C1+2c2 2 -1 2 0 -1 0 c3+2c2 1 -7 12 -7 -7 -2 -3 3 -7 -2 =27, 8 1-5 1 28 -5 1 9 -3 0 -6 19 0 -6 D1 D2= -5 2 -1 2 0 -5 -1 2 0 4 -7 6 0 -7 6 =81, =-108
第一章 行列式 7 7 12 2 1 2 7 5 13 − − − = − 1 2 2 c + c 3 2 2 c + c 7 7 2 0 1 0 3 5 3 − − − − − − − 7 2 3 3 − − − = = 27, 0 4 7 6 5 2 1 2 9 3 0 6 8 1 5 1 1 − − − − − − D = = 81, 1 0 7 6 0 5 1 2 1 9 0 6 2 8 5 1 2 − − − − − D = = −108
第一章行列式 2 1 8 1 21 -5 8 1 -3 9 -6 1 -3 0 9 D; 0 2 -5 2 D 0 2 -1 -5 1 4 0 6 4 -7 0 =-27, =27, D 81 27 =3, D -108 =-4, D 27 D3- -27 X3= X4= 211. D 27 D 27
第一章 行列式 1 4 0 6 0 2 5 2 1 3 9 6 2 1 8 1 3 − − − D = = −27, 1 4 7 0 0 2 1 5 1 3 0 9 2 1 5 8 4 − − − − − D = = 27, 3, 27 81 1 1 = = = D D x 4, 27 108 2 2 = − − = = D D x 1, 27 27 3 3 = − − = = D D x 1. 27 4 27 4 = = = D D x
第一章行列式 二、齐次线性方程组的相关定理 当b,b2,b全为零时，对应的齐次方程为 01七1+22+.+anXn=0 021X1+422X2+.+02nXn=0 (2) 0n1x1+0n2七2+.+0nmXn=0 显然，齐次线性方程组一定有解， X1=X2=.=Xn=0 即为方程组(2)的解，这个解叫做方程组(2)的零解
第一章 行列式 二、齐次线性方程组的相关定理 (2) 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 1 2 , ., n 当b b b ， 全为零时，对应的齐次方程为 1 2 . 0 n x x x = = = = 显然，齐次线性方程组一定有解， 即为方程组(2)的解，这个解叫做方程组(2)的零解
第一章行列式 推论如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D≠0则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理1.4.2 如果齐次线性方程组(2)有非零解的充 分必要条件是它的系数行列式必为零
第一章 行列式 定理1.4.2 如果齐次线性方程组 有非零解的充 分必要条件是它的系数行列式必为零. (2) 推论 如果齐次线性方程组 的系数行列式 D 0 则齐次线性方程组 只有零解. (2) (2)
第一章行列式 例问入取何值时，齐次方程组 [(1-2)x1-2x2+4x3=0, 2x1+(3-)x2+x3=0, x1+x2+(1-2)x3=0, 有非零解？ 解： 1-2 4|1-九-3+2 4 D 2 3-λ 1 2 1-元 1 1-元1 0 1-
第一章 行列式 例 问 取何值时，齐次方程组 ( ) ( ) ( ) + + − = + − + = − − + = 1 0, 2 3 0, 1 2 4 0, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 有非零解？ 解: − − − − = 1 1 1 2 3 1 1 2 4 D − − − − + = 1 0 1 2 1 1 1 3 4