《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第一章 行列式的定义

第一章行列式 本章主要从以下四个方面进行讨论 一、行列式的定义 二、行列式的性质 三、行列式的计算 四、行列式的应用

本章主要从以下四个方面进行讨论 二、行列式的性质 第一章行列式 一、行列式的定义 三、行列式的计算 四、行列式的应用

第一节行列式的定义 一、行列式的引入 用消元法解二元线性方程组 a1X1+412X2=b1,(1) (1-1) 211+422x2=b2.(2) ()×2:41142X1+凸2凸222=b022 (2)×412:41242k1+242=b2412, 两式相减消去七2，得

一、行列式的引入 用消元法解二元线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 , (1) (1-1) . (2) a x a x b a x a x b        1 : a22 , a11a22 x1  a12a22 x2  b1a22 2 : a12 , a12a21x1  a12a22 x2  b2a12 两式相减消去x2，得 第一节行列式的定义

(411422-412421）X1=b422-412b2; 类似地，消去x?得 （4122-41242）X2=41b2-b14219 当41422-41221≠0时，方程组的解为 七=4a:=,5,=4- 1022-012021 011L22-01202 由方程组的四个系数确定

; （a11a22  a12a21）x1  b1a22  a12b2 类似地，消去 x1，得 , （a11a22  a12a21）x2  a11b2  b1a21 当a11a22  a12a21  0时， 方程组的解为 ， 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x    11 2 1 21 2 11 22 12 21 . a b b a x a a a a    由方程组的四个系数确定

定义引入记号： 2 21 L22 称之为二阶行列式，它表式数值442-41242 即 D 11 2 =411422-41221 L21 (L22 行列式中横排的叫作行，纵排的叫作列，(i,j=1,2) 称为行列式的元素，为行标，为列标

定义 11 12 21 22 11 22 12 21 a a a a a a a a  引入记号： 称之为二阶行列式，它表式数值 ， 即 . 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a D    行列式中横排的叫作行，纵排的叫作列， ( , 1,2) ij a i j  称为行列式的元素，i为行标，j为列标

二阶行列式的计算一) 对角线法则 主对角线 12 =411022-412421 次对角线 M22 对于二元线性方程组 1K1+012X2=b1, 21x1+422X2=b2. 若记 D 11412 421 22 系数行列式

a21 11 a 12 a a22 主对角线 次对角线 对角线法则 11 22  a a . 12 21  a a 二阶行列式的计算 若记 , 21 22 11 12 a a a a D         . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 对于二元线性方程组 系数行列式

4211+422X2b2 D b1412 ☒ D2 11 b b

       . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b , 2 22 1 12 1 b a b a D         . , 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b . 21 2 11 1 2 a b a b D 

则二元线性方程组的解为 bi 2 b Dy b2 X1= 22l D 21 b2 D a 2 2= 、∥ D 411 L12 L21 L22 L21 L22 注意 分母都为原方程组的系数行列式

则二元线性方程组的解为 , 21 22 11 12 2 22 1 12 1 1 a a a a b a b a D D x   注意 分母都为原方程组的系数行列式. . 21 22 11 12 21 2 11 1 2 2 a a a a a b a b D D x  

例1求解二元线性方程组 「3x1-2x2=12, 2x1+x2=1. 解 =3-(-4)=7≠0， Di= .1= D-1 _D3=-21=-3. 4=2,X2=D

例 1      2 1. 3 2 12, 1 2 1 2 x x x x 求解二元线性方程组 解 2 1 3  2 D   3  (  4 )  7  0 , 1 1 12 2 1  D   14 , 2 1 3 12 D 2   21 , DD x 1  1  2 , 7 14   DD x 2 2  3. 7 21    

类似地，由三元线性方程组 011X1+412X2+4133=b1, 21七1+02七2+23X3=b2, (1-2) 31七1+032x2+a33X3=b3; (1)引入记号 2 3 021 l22 az 031 032 33 称之为三阶行列式

(1)引入记号 称之为三阶行列式. 由三元线性方程组 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 , , 1 2 ; a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                （ ） 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 类似地

(2)三阶行列式的计算对角线法则 =411422433+412023431+41302132 -41302231-412L2133-41123032 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号. 说明1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式

31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 11 22 33  a a a . 11 23 32  a a a (2)三阶行列式的计算对角线法则 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 13 21 32  a a a 12 23 31  a a a 13 22 31  a a a 12 21 33  a a a