《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第一章 行列式 §1.4 克拉默法则

第一章行列式 §1.4克拉默法测

第一章 行列式 §1.4 克拉默法则

第一章行列式 一、克拉默法则 1X1+012X2+.+41nXn=b, 设线性方程组 021X1+2X2+.+42mXn=b2 (1) anx+an2x2++amxn=b 若常数项b,b,.,b不全为零，则称此方程组为非 齐次线性方程组；若常数项b,b,·,bn全为零 此时称方程组为齐次线性方程组

第一章 行列式 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                    设线性方程组 1 2 , , , , n 若常数项b b b 不全为零 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 1 2 , , , , n 若常数项b b b 全为零 此时称方程组为齐次线性方程组. 一、克拉默法则

第一章行列式 线性方程组(1)的系数构成的行列式 12 D= L22 0n2 称为方程组(1)的系数行列式

第一章 行列式 线性方程组(1)的系数构成的行列式 n n nn n n a a a a a a a a a D     1 2 21 22 2 11 12 1  称为方程组(1)的系数行列式

第一章行列式 定理1.4.1（克拉默法则）如果线性方程组(1)的系数 行列式D≠0那么线性方程组(1)有解，并且解是唯 一的，解可以表为 D X1= D ,x2= ,x,= 3 ,.,xn= 其中D,是把系数行列式D中第列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即 01.01,-1b4,j+1.01n 0n.,j- b

第一章 行列式 . D D , , x D D , x D D , x D D x n     n  3 3 2 2 1 1 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D      1 1 1 11 1 1 1 1 1 1      定理1.4.1（克拉默法则）如果线性方程组(1)的系数 行列式 那么线性方程组(1)有解，并且解是唯 一的，解可以表为 D  0

第一章行列式 例用克拉默则解方程组 2x1+x2-5x3+X4=8, 飞1-3K2-6x4=9, 2x2-X3+2x4=-5, x1+4x2-7x3+6x4=0. 解 2 1 -5 1 07 -5 13 1 -3 0 -6 1-23 1 -3 0 -6 D 0 2 -1 2 4-2 0 2 -1 2 4 -7 6 0 7 12

第一章 行列式 例 用克拉默则解方程组                       4 7 6 0. 2 2 5, 3 6 9, 2 5 8, 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 解 1 4 7 6 0 2 1 2 1 3 0 6 2 1 5 1      D  1 2 2 r  r 4 2 r  r 0 7 7 12 0 2 1 2 1 3 0 6 0 7 5 13     

第一章行列式 7 -5 13 3 5 3 C1+2C2 2 -1 2 0 -1 0 7-7 c3+2C2 12 -7 -7 -2 -3 3 -7 -2 =27, 8 1-5 1 28 -5 1 9 -3 0 -6 1 9 0 -6 D1 D2 -5 2 -1 2 0 -5 -1 2 0 4 -7 6 0 7 6 =81, =-108

第一章 行列式 7 7 12 2 1 2 7 5 13      1 2 2 c  c 3 2 2 c  c 7 7 2 0 1 0 3 5 3        7 2 3 3      27, 0 4 7 6 5 2 1 2 9 3 0 6 8 1 5 1 1       D   81, 1 0 7 6 0 5 1 2 1 9 0 6 2 8 5 1 2      D   108

第一章行列式 2 8 21 -5 8 1 -3 9 -6 1 -3 0 9 D: 0 2 -5 2 D4 0 2 -1 -5 1 4 0 6 4-7 0 =-27, =27, D 81 3， D. -108 X2= D 27 D 27 4 X3= D3-27 =-1, X4= 211. D 27 D 27

第一章 行列式 1 4 0 6 0 2 5 2 1 3 9 6 2 1 8 1 3    D   27, 1 4 7 0 0 2 1 5 1 3 0 9 2 1 5 8 4      D   27, 3, 27 81 1  1    D D x 4, 27 108 2 2      D D x 1, 27 27 3 3      D D x 1. 27 4 27 4    D D x

第一章行列式 二、齐次线性方程组的相关定理 当b,b2,bn全为零时，对应的齐次方程为 01X1+412X2+.+01mXn=0 021X1+422X2+.+02mXn=0 (2) 0n1七1+n2X2+.+0nmXn=0 显然，齐次线性方程组一定有解， X1=X2=.=Xn=0 即为方程组(2)的解，这个解叫做方程组(2)的零解

第一章 行列式 二、齐次线性方程组的相关定理 2 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1                    n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     1 2 , ., n 当b b b ， 全为零时，对应的齐次方程为 1 2 . 0 n x x x     显然，齐次线性方程组一定有解， 即为方程组(2)的解，这个解叫做方程组(2)的零解

第一章行列式 推论 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D≠0则齐次线性方程组(2)只有零解， 定理1.4.2 如果齐次线性方程组(2)有非零解的充 分必要条件是它的系数行列式必为零

第一章 行列式 定理1.4.2 如果齐次线性方程组 有非零解的充 分必要条件是它的系数行列式必为零. 2 推论 如果齐次线性方程组 的系数行列式 D  0 则齐次线性方程组 只有零解. 2 2

第一章行列式 例问取何值时，齐次方程组 (1-)x1-2x2+4x3=0, 2x1+(3-2)x2+x3=0, x1+x2+(1-2)x3=0, 有非零解？ 解： 1-九-2 4 1-见-3+入 4 D 23- 1 2 1-兄 1 1-21 0 1-兄

第一章 行列式 例 问 取何值时，齐次方程组                        1 0, 2 3 0, 1 2 4 0, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x    有非零解？  解:         1 1 1 2 3 1 1 2 4 D           1 0 1 2 1 1 1 3 4