《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第三章 矩阵的运算 §3.1矩阵的运算

第三章矩阵的运算 §3.1矩阵的运算 §3.2逆矩阵 §3.3初等矩阵 §3.4分块矩阵

第三章矩阵的运算 §3.1矩阵的运算 §3.2逆矩阵 §3.3初等矩阵 §3.4分块矩阵

§3.1矩阵的运算 一、矩阵加法 二、矩阵的数乘 三、矩阵乘法 四、矩阵转置 五、n阶矩阵的行列式 六、共轭矩阵

§3.1 矩阵的运算 一、矩阵加法 二、矩阵的数乘 三、矩阵乘法 四、矩阵转置 五、n阶矩阵的行列式 六、共轭矩阵

第一节矩阵运算 一、两个概念 1.同型矩阵：行数与列数分别相等的矩阵称为同型 矩阵. 2.矩阵相等： A=(ag)mxn,B=(b;)mxn,且ay=b,→A=B (i=1,.,m;j=1,.,n) 注意：矩阵相等与矩阵等价的区别

1.同型矩阵：行数与列数分别相等的矩阵称为同型 矩阵. 2.矩阵相等: ( ) , ( ) , ( 1, , ; 1, , ) A a B b a b A B ij m n ij m n ij ij i m j n          且 一、两个概念 注意：矩阵相等与矩阵等价的区别. 第一节 矩阵运算

3.特殊矩阵： 零矩阵：元素全是零的矩阵称为零矩阵记作：O. 设矩阵A=(a)mxn’称矩阵-(a)mxn为A的负矩阵， 记作-A,即-A=-(a)mxn 二、矩阵加法 定义3.1.1设矩阵A=(a,)mxn,B=(b)mx’ 称矩阵 C=(aj+bij)mxn 为矩阵A与矩阵B的和，记作C=A+B. 注意：两个矩阵必须是同型矩阵才可以相加

二、矩阵加法 ( ) , ( ) ( ) 3.1.1 . ij m n ij m n ij ij m n A a B b C a b A B C A B          设矩阵 ，称矩阵 和 为矩阵 与矩阵 的 ，记作 定义 零矩阵：元素全是零的矩阵称为零矩阵.记作: O. ( ) ( ) ( ) . ij m n ij m n ij m n A a a A A A a          设矩阵 ，称矩阵 为 的 ， 记作 ，即 负矩阵 注意：两个矩阵必须是同型矩阵才可以相加. 3.特殊矩阵：

矩阵加法的性质： A,B,C,O均为m×n矩阵 1.A+B=B+A 2.(A+B)+C=A+(B+C) 3.A+0=0+A=A 4.A+(-A)=(-A)+A=O 5.矩阵减法可定义为 A-B=A+(-B)=(aij-bij)nxn

矩阵加法的性质： A,B,C,O均为mn矩阵 1. A B  B  A 2. (A B) C  A (B C) 3. AO  O  A  A 4. A(A)  (A) A  O 5. ( ) ( ) A B A B a b      ij ij m n 矩阵 可定义为 减法

例1求矩阵X,使得 123-1 0 -1 23 20 1 2+X= 3 0 1 -1 -11 0 -1 1 2 -2 0 解： 0 -1 2 3 2 -1 X= 3 0 1 -1 - 2 0 2 1 0 -110-1 -1 4 S 1 0 -3 2 1 -2 1

1 1 2 3 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 1 1 2 2 0 X X                             例 求矩阵 ，使得 解： 0 1 2 3 1 2 3 1 3 0 1 1 2 0 1 2 1 2 2 0 1 1 0 1 X                             1 3 1 4 1 0 0 3 2 1 2 1                

三、数与矩阵的乘法 定义3.1.2设矩阵A=(a)n,九是一个数，矩阵 (2a,)xn称为数与矩阵的乘积，记作九A或A几， 即 2A=A九=(2Lj)mxn 注：数乘矩阵与数乘行列式是显然是不同的. (1)数称行列式是数乘到行列式的其中一行或列上 (2)数乘矩阵是数乘到矩阵的每一行的每一个元素上

三、数与矩阵的乘法 ( ) , , ( ) ( ) 3.1.2 ij m n ij m n ij m n A a a A A A A a A               数 设矩阵 是一个数 矩阵 称为 记作 或 ， 即 与矩阵 ， 定 的乘积 义 注：数乘矩阵与数乘行列式是显然是不同的. (1)数称行列式是数乘到行列式的其中一行或列上. (2)数乘矩阵是数乘到矩阵的每一行的每一个元素上

数乘的性质： 设A,B是m×矩阵，2，是数， 1.几(uA)=(几)A 2.(兄+)A=兄A+uA 3.几(A+B)=几A+2B 4.1A=A 5.0A=0 6.(-1)A=-A

数乘的性质： 2. ( )        A A A 设A B m n ， 是  矩阵， , 是数， 3. ( )    A B A B    1. ( ) ( )    A A  4. 1A A  5. 0A O 6. ( 1)    A A

例2设A= :28= 「-3 C 解： 1 4-1-10+1+2-2-0+1 2A-B+-C= 3 2+2+44-3-2-4-1+3 23-1 8-1-2

2 0 1 1 1 0 2 , , 1 2 2 2 3 1 3 6 3 1 2 . 12 6 9 3 A B C A B C                              例 设 ,求 1 4 1 1 0 1 2 2 0 1 2 3 2 2 4 4 3 2 4 1 3 A B C                        2 3 1 8 1 2           解：

四、矩阵的乘法 1.定义 定义3.1.3设A=(a)是一个m×s矩阵，B=(b,) 是一个s×n矩阵，作m×n矩阵C=(c),其中 Cy anby anba++agby =anbyr k=1 矩阵C称为矩阵A与矩阵B的乘积， 记作C=AB,即

1 1 2 2 1 ( ) , ( ) , ( ) 3.1.3 , ij ij ij s ij i j i j is sj ik kj k A a m s B b s n m n C c c a b a b a b a b C A B C AB               设 是一个 矩阵 是一个 矩阵 作 矩阵 ，其中 ， 矩阵 称为矩阵 与矩阵 的 ， 记作 乘积 定义 即 1.定义 四、矩阵的乘法