第五章 测量误差的基本知识 1教学目标： 知识目标： >掌握测量的误差来源以及粗差、系统误差偶然误差的特点及其处理原则： >掌握偶然误差的统计规律，以及中误差、比例误差和极限误差在测量中 的应用： >掌握误差传播定律 >掌握不等精度观测以及最小二乘平差的基本原理 能力目标： >培养学生将测量中的具体问题和己有的数学知识（如线性代数中的线性 相关与独立、概率论中的参数和方差估计、高数中的泰勒级数)相联系的能 力。 素质目标： >培养学生理论和实际问题相联系，以及综合各种基础理论理解具体问题 的素质。 2.教学内容 >§5.1测量误差概述 >§5.2偶然误差的统计特征 >§5.3观测值的最或然值及改正数。 >§5.4观测值的精度评定 >§5.5误差传播定律 >§5.6加权平均值及其中误差 >§5.7最小二乘原理与测量平差 3重点难点 >测量中的中误差和方差的区别和联系 -1-
- 1 - 第五章 测量误差的基本知识 1 教学目标： 知识目标: 掌握测量的误差来源以及粗差、系统误差偶然误差的特点及其处理原则； 掌握偶然误差的统计规律，以及中误差、比例误差和极限误差在测量中 的应用； 掌握误差传播定律 掌握不等精度观测以及最小二乘平差的基本原理 能力目标： 培养学生将测量中的具体问题和已有的数学知识（如线性代数中的线性 相关与独立、概率论中的参数和方差估计、高数中的泰勒级数）相联系的能 力。素质目标： 培养学生理论和实际问题相联系，以及综合各种基础理论理解具体问题 的素质。 2. 教学内容 § 5.1 测量误差概述 § 5.2 偶然误差的统计特征 § 5.3 观测值的最或然值及改正数。 § 5.4 观测值的精度评定 § 5.5 误差传播定律 § 5.6 加权平均值及其中误差 § 5.7 最小二乘原理与测量平差 3 重点难点 测量中的中误差和方差的区别和联系
>误差传播率 >观测值的相关与独立 >不等精度问题 4教学方法 >案例法：简单的测量实例并将其和概率统计理论和数据处理方法联系起 来； >归纳综合法：将测量数据处理问题与概率论中的正态分布、最大然估计， 以及线性代数中的线性独立和相关等联系起来 >问题法：什么是参数估计，什么是方差估计？它和经典代数中的解方程 有何区别？ >类比法，将测量与随机试验类比，测量误差与概率论中的方差类比，将 不等精度观测的加权平均与求学积分类比 5教学效果评价 >能否理解测量中的几个基本误差并将其用于具体问题 >能否掌握误差传播定律并应用 >能否独立完成课后作业 >能否建立观测量是随机变量的概念，能否将测量中的加权平均值与概率 论中的期望和方差联系起来 §5.1测量误差概述 1测量误差的概念 在测量工作中，对某量（如某一个角度、某一段距离或某两点间的高差等） 进行多次观测，所得的各次观测结果总是存在着差异，这种差异实质上表现为每 次测量所得的观测值与该量的真值之间的差值，这种差值称为测量真误差，即： 测量真误差=真值-观测值 -2-
- 2 - 误差传播率 观测值的相关与独立 不等精度问题 4 教学方法 案例法：简单的测量实例并将其和概率统计理论和数据处理方法联系起 来； 归纳综合法：将测量数据处理问题与概率论中的正态分布、最大然估计， 以及线性代数中的线性独立和相关等联系起来 问题法：什么是参数估计，什么是方差估计？它和经典代数中的解方程 有何区别？ 类比法，将测量与随机试验类比，测量误差与概率论中的方差类比，将 不等精度观测的加权平均与求学积分类比 5 教学效果评价 能否理解测量中的几个基本误差并将其用于具体问题 能否掌握误差传播定律并应用 能否独立完成课后作业 能否建立观测量是随机变量的概念，能否将测量中的加权平均值与概率 论中的期望和方差联系起来 § 5.1 测量误差概述 1 测量误差的概念 在测量工作中，对某量(如某一个角度、某一段距离或某两点间的高差等) 进行多次观测，所得的各次观测结果总是存在着差异，这种差异实质上表现为每 次测量所得的观测值与该量的真值之间的差值，这种差值称为测量真误差，即: 测量真误差=真值-观测值
2误差产生的原因： (1)观测者 由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、读数 等方面都产生误差。同时观测者的技术水平、工作态度及状态都对测量成果的 质量有直接影响。 (2)测量仪器 每种仪器有一定限度的精密程度，因而观测值的精确度也必然受到一定的 限度。同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差，如 钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。 (3)外界条件 观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果 产生一定的影响。外界条件发生变化，观测成果将随之变化。 上述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起 来称为观测条件。观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。 3测量误差分类： (1)系统误差 在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若观测误差的符号及大小 保持不变，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。这种误差往往随着观 测次数的增加而逐渐积累。如某钢尺的注记长度为30m,经鉴定后，它的实际长 度为30.016m,即每量一整尺，就比实际长度量小0.016m,也就是每量一整尺段 就有+0.016m的系统误差。这种误差的数值和符号是固定的，误差的大小与距离 成正比，若丈量了五个整尺段，则长度误差为5×(+0.016)=+0.080m。若用此钢 尺丈量结果为167.213m,则实际长度为： 167.213+167,213×0.0016=167.213+0.089=167,302(m) 30 系统误差对测量成果影响较大，且一般具有累积性，应尽可能消除或限制到 最小程度，其常用的处理方法有： >检校仪器，把系统误差降低到最小程度。 >加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数，如尺长改正等。 采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱，如测水平角时采用 盘左、盘右现在每个测回起始方向上改变度盘的配置等。 (2)偶然误差 在相同观测条件下，对某量作一系列的观测，若观测误差的大小及符号变化 -3-
- 3 - 2 误差产生的原因: （1）观测者 由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、读数 等方面都产生误差。同时观测者的技术水平、工作态度及状态都对测量成果的 质量有直接影响。 （2）测量仪器 每种仪器有一定限度的精密程度，因而观测值的精确度也必然受到一定的 限度。同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差，如 钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。 （3）外界条件 观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果 产生一定的影响。外界条件发生变化，观测成果将随之变化。 上述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起 来称为观测条件。观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。 3 测量误差分类： （1）系统误差 在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若观测误差的符号及大小 保持不变，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。这种误差往往随着观 测次数的增加而逐渐积累。如某钢尺的注记长度为 30m，经鉴定后，它的实际长 度为 30.016m，即每量一整尺，就比实际长度量小 0.016m，也就是每量一整尺段 就有+0.016m 的系统误差。这种误差的数值和符号是固定的，误差的大小与距离 成正比，若丈量了五个整尺段，则长度误差为 5×(+0.016)=+0.080m。若用此钢 尺丈量结果为 167.213ｍ，则实际长度为： 167.213＋ 30 167.213 ×0.0016=167.213＋0.089=167.302(ｍ) 系统误差对测量成果影响较大，且一般具有累积性，应尽可能消除或限制到 最小程度，其常用的处理方法有： 检校仪器，把系统误差降低到最小程度。 加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数，如尺长改正等。 采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱，如测水平角时采用 盘左、盘右现在每个测回起始方向上改变度盘的配置等。 （2）偶然误差 在相同观测条件下，对某量作一系列的观测，若观测误差的大小及符号变化
没有任何规律性，这种误差称为偶然误差，如估读误差，照准误差等。 从大量的测量实践中发现，虽然偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是 在相同的观测条件下，当观测次数愈多时，误差群的取值范围却服从一定的统计 规律。 >在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值： >绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多： >绝对值相等的正、负误差出现的机会基本相等： >偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零。 ∑A l=0 limn (5-1) n- 式中：△表示偶然误差、n表示观测次数。 (4)粗差或错误 错误是因粗心错读正确的测量结果，或者在不允许的环境条件下和不合格 的测量仪器使用导致错误的测量结果，有时也叫粗差，错误的结果是不允许参与 平差的，平差前应先检查测量结果的正确性，即在不在误差允许范围之内，不在 的视为粗差或错误予以剔除。 4测量误差的处理原则 >对于系统误差，采用不含系统误差的仪器（需要严格检验和校准）或数 学模型改正的方法 >对于偶然误差，采用多次测量取平均值的方法 >另外为防止错误和提高观测精度，均需要进行多余必要观测数的“多余 观测”。 简单小结： >测量误差不可避免 >测量误差有规律可循 >各种误差区别对待 §5.2偶然误差的统计特征 课程导入： -4-
- 4 - 没有任何规律性，这种误差称为偶然误差，如估读误差，照准误差等。 从大量的测量实践中发现，虽然偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是 在相同的观测条件下，当观测次数愈多时，误差群的取值范围却服从一定的统计 规律。 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值； 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多； 绝对值相等的正、负误差出现的机会基本相等； 偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零。 0 n i 1 n lim n (5-1) 式中：表示偶然误差、n 表示观测次数。 （4）粗差或错误 错误是因粗心错读正确的测量结果，或者在不允许的环境条件下和不合格 的测量仪器使用导致错误的测量结果，有时也叫粗差，错误的结果是不允许参与 平差的，平差前应先检查测量结果的正确性，即在不在误差允许范围之内，不在 的视为粗差或错误予以剔除。 4 测量误差的处理原则 对于系统误差，采用不含系统误差的仪器（需要严格检验和校准）或数 学模型改正的方法 对于偶然误差，采用多次测量取平均值的方法 另外为防止错误和提高观测精度，均需要进行多余必要观测数的“多余 观测”。 简单小结： 测量误差不可避免 测量误差有规律可循 各种误差区别对待 §5.2 偶然误差的统计特征 课程导入：
问题：什么是系统误差和偶然误差？为什么只研究偶然误差？ 系统误差来源五花八门，与测量设备、测量方法密切相关，只能具体问题具 体分析，而偶然误差具有普遍性和随机性的特点，因而主要研究偶然误差。 拓展：大地测量数据处理理论中，只考虑偶然误差的数据处理问题称为“经典测 量平差问题”，考虑粗差和模型误差的问题称为“现代测量平差或广义测量平差”。 1.偶然误差的分布 偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是在相同的观测条件下，当观测次 数愈多时，误差群的取值范围却服从一定的统计规律。 >在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。 >绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。 >绝对值相等的正、负误差出现的机会基本相等。 >偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零。 n d 将级婴进击的 f(x)明在的武真的 来财 -21-15 +3+9+15+21 X=△ -24-18 -12 6 +6 +12+18+24 图5-1偶然误差的频率直方图 偶然误差的统计特性： 正态分布的概率密度函数： e 42 (A) 其数学期望：E(△)=0 方差：o2=lim +△3++A=lim n→0 n 标准差：c=±lim 5-
- 5 - 问题：什么是系统误差和偶然误差？为什么只研究偶然误差？ 系统误差来源五花八门，与测量设备、测量方法密切相关，只能具体问题具 体分析，而偶然误差具有普遍性和随机性的特点，因而主要研究偶然误差。 拓展：大地测量数据处理理论中，只考虑偶然误差的数据处理问题称为“经典测 量平差问题”，考虑粗差和模型误差的问题称为“现代测量平差或广义测量平差”。 1. 偶然误差的分布 偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是在相同的观测条件下，当观测次 数愈多时，误差群的取值范围却服从一定的统计规律。 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。 绝对值相等的正、负误差出现的机会基本相等。 偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零。 图 5-1 偶然误差的频率直方图 偶然误差的统计特性： 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 ( ) 2 0 lim lim lim n n n n f e E n n n 正态分布的概率密度函数： 其数学期望：（ ） 方差： ＝ 标准差： ＝
关键：将测量工作和测量中的误差理论和随机试验、数量统计、概率论联系 起来，并要求学生将实际问题和数学知识相结合，使学生明白以下问题： >一次测量就是一次随机试验： >统计是分析过去，大量的随机试验结果可以得出规律，从而得到典型的 正态分布： >概率是预测未来，根据概率论，可以预测某个测量结果未来发生的可能 性（即概率）： >真值和估计的区别，真值是理论值，是一种数学上的假设，测量真值是 测量次数无穷多次的算术平均值，实际问题中测量不可能有无穷多次，因而也得 不到真值，因而只能得到估计值。既然值“估计”那肯定不准，就是有误差。 拓展：实际工作中的误差也并非严格服从正态分布，因为误差不可能无穷 大，应该是“截尾正态分布”，但问题是，这个“尾”哪里截？截尾势必使问题 变得更复杂，所以一般还是认为测量的偶然误差服从正态分布。 2评定观测值精度的标准 研究误差其中的一个目的，是评定观测值的精度。要判断观测误差对观测结 果的影响，必须建立衡量观测值精度的标准，其中最常用的有以下几种： (1)中误差： 用真误差来确定中误差：当已知观测值的真值时求中误差的方法 在等精度观测条件下，对真值为X的某一量进行次观测，其观测值为L1、 L2、…、Ln,相应的真误差为△1、…、△。取各真误差平方和的平均值的平方根， 称为该量各观测值的中误差： m 1 △，=X-L (5-2) 用改正数来确定中：误差当已知观测值的真值时求中误差的方法 在实际工作中，未知量的真值往往不知道，真误差也无法求得，所以常用最 或是误差即改正数来确定中误差。 Vi=X-Li (5-3) 理解关键： >中误差与方差的区别：一个是数学概念（测量次数趋于无穷），一个是 工程概念（有限测量次数），在理论上既要区分也要联系。 -6-
- 6 - 关键：将测量工作和测量中的误差理论和随机试验、数量统计、概率论联系 起来，并要求学生将实际问题和数学知识相结合，使学生明白以下问题： 一次测量就是一次随机试验； 统计是分析过去，大量的随机试验结果可以得出规律，从而得到典型的 正态分布； 概率是预测未来，根据概率论，可以预测某个测量结果未来发生的可能 性（即概率）； 真值和估计的区别，真值是理论值，是一种数学上的假设，测量真值是 测量次数无穷多次的算术平均值，实际问题中测量不可能有无穷多次，因而也得 不到真值，因而只能得到估计值。既然值“估计”那肯定不准，就是有误差。 拓展：实际工作中的误差也并非严格服从正态分布，因为误差不可能无穷 大，应该是“截尾正态分布”，但问题是，这个“尾”哪里截？截尾势必使问题 变得更复杂，所以一般还是认为测量的偶然误差服从正态分布。 2 评定观测值精度的标准 研究误差其中的一个目的，是评定观测值的精度。要判断观测误差对观测结 果的影响，必须建立衡量观测值精度的标准，其中最常用的有以下几种： （1）中误差： 用真误差来确定中误差：当已知观测值的真值时求中误差的方法 在等精度观测条件下，对真值为 X 的某一量进行 n 次观测，其观测值为 L1、 L2、…、Ln，相应的真误差为Δ1、…、Δn。取各真误差平方和的平均值的平方根， 称为该量各观测值的中误差： n m i n i 1 2 i X Li (5-2) 用改正数来确定中：误差当已知观测值的真值时求中误差的方法 在实际工作中，未知量的真值往往不知道，真误差也无法求得，所以常用最 或是误差即改正数来确定中误差。 1 n i 1 2 n V m i ，Vi=X-Li (5-3) 理解关键： 中误差与方差的区别：一个是数学概念（测量次数 n 趋于无穷），一个是 工程概念（有限测量次数），在理论上既要区分也要联系
>中误差的两种计算方法如何区分？已知真值和真值未知 >什么是先验和验后：测量中给定的标称精度称为先验误差，而在测量一 定的次数后根据测量结果计算出来的中误差叫验后。 (2)极限误差 前面已经证明，观测值的偶然误差服从正态分布，根据概率论的基本知识， 得到： 42 p(Al相对误差用来衡量距离测量值的精度： >相对误差必须用分子为1的形式来表示，而且分母的后两位通常为零， 即一般为1/*00的形式，不能是小数形式。 -7-
- 7 - 中误差的两种计算方法如何区分？已知真值和真值未知 什么是先验和验后：测量中给定的标称精度称为先验误差，而在测量一 定的次数后根据测量结果计算出来的中误差叫验后。 （2）极限误差 前面已经证明，观测值的偶然误差服从正态分布，根据概率论的基本知识， 得到： km km m e d m p km 2 2 2 2 1 ( ) (5-4) 取 k=1、2、3 分别计算得到如下的概率： ( 3 ) 0.9973 99.7% ( 2 ) 0.9545 95.4% ( ) 0.6826 68.3% P m P m P m (5-5) 上式说明两倍中误差的个数占总数的 5%，大于三倍中误差的个数占总 数的 0.3%，因此测量上常取 2 倍或 3 倍中误差为误差的限值，称为容许误 差，容许误差主要用来界定测量中的错误与误差。 理解关键：为什么 3m 可以作为区分错误和测量误差的指标？ 对于某次测量，落在±3m 中的概率为 99.7%，也就是说 1000 次中有 997 次 出现在±3m 之内，因此某次测量出现在±3m 范围之外属于小概率事件，属于不 太可能的事件，如果真出现了，我们认为是错误而非偶然误差。 （3）相对误差 衡量测量成果的精度，有时用中误差还不能完全表达观测结果的优劣。例如 用钢尺分别丈量两段距离，其结果为 100m 和 200m，中误差均为 2cm。显然， 后者的精度比前者要高。也就是说观测值的精度与观测值本身的大小有关。相对 误差是中误差的绝对值与观测值的比值。通常以分子为 1 的分数形式来表示，即： L m K or L m K / 1 (5-6) 如上述前者的相对误差 K1= 500 1 100 0.020 ，后者的相对误差 K2= 10000 1 200 0.020 说明后者比前者精度高。相对误差是个无名数，而真误差、中误差、容许误差是 带有测量单位的数值。 注意事项： 相对误差用来衡量距离测量值的精度； 相对误差必须用分子为 1 的形式来表示，而且分母的后两位通常为零， 即一般为 1/**00 的形式，不能是小数形式
$5.3单观测值的最或然值及其改正数 导入：测量得不到真值，只能得到估计值或最或然值，那么什么是最或然值？就 是在一定的观测条件下，出现的可能性最大的值，英文The most probability value.。 测量数据处理的有两个目的，其一就是要找到这个最或然值，其二还要评定最或 然值的精度（即中误差）。用概率论术语来类比的话，求最或然值的工作叫参数 估计，求中误差的工作叫方差估计。 1等精度观测值的最或然值 1.1近似推导 在等精度观测条件下对某量观测了n次，其观测结果为L1,L2,…Ln。设该 量的真值为X,观测值的真误差为41，h…,△，即 △1=X-L1 A2=X-L2 00”400 An=X-Ln 将上列各式求和得： 44 SL L 上式两端各除以n得： =Y-i=l 令： i=l =6, =x,代入 上式移项后得： X=x+6 δ为n个观测值真误差的平均值，根据偶然误差的第四个性质，当n→oo时，δ→0， 则有： 6=lim n n- 这时算术平均值就是某量的真值。即： -8-
- 8 - §5.3 单观测值的最或然值及其改正数 导入：测量得不到真值，只能得到估计值或最或然值，那么什么是最或然值？就 是在一定的观测条件下，出现的可能性最大的值，英文 The most probability value。 测量数据处理的有两个目的，其一就是要找到这个最或然值，其二还要评定最或 然值的精度（即中误差）。用概率论术语来类比的话，求最或然值的工作叫参数 估计，求中误差的工作叫方差估计。 1 等精度观测值的最或然值 1.1 近似推导 在等精度观测条件下对某量观测了 n 次，其观测结果为 L1，L2，…Ln。设该 量的真值为 X，观测值的真误差为1，2…，n，即 1 =X - L1 2 = X -L2 …… …… n= X -Ln 将上列各式求和得： n i 1 =nX- n i 1 L 上式两端各除以 n 得： n L X n n i 1 n i 1 ，令： n n i 1 ， x n L n i 1 ，代入 上式移项后得： X = x +δ δ为n个观测值真误差的平均值，根据偶然误差的第四个性质，当n→∞时，δ→0， 则有： 0 n i 1 n lim n 这时算术平均值就是某量的真值。即：
=i=l n 在实际工作中，观测次数总是有限的，也就是只能采用有限次数的观测值来 求得算术平均值，即： 4,0 n x是根据观测值所能求得的最可靠的结果，称为最或是值或算术平均值。 1.2根据最大似然估计原理证明（补充） 在已知观测值服从正态分布的前提下，按最大似然原理证明，等精度观测值 的最或然值就是其算术平均值。 设X1,,Xn为取自总体N(4,o2)的样本，求参数4，σ2的极大似然估 计。首先构造最大似然函数： uo)-1/xk- 2a2 (5-7) 得到： -乃s- L(4,σ2)= 1 e 22 (5-8) (2π)5o" 将(5-8)两端分别取对数： Int(uo)=-2In(27)-aIg 2 2σ2 然后分别对未知参数求导，并令其等于零： ln4.o)=-x-川=0 ou 7nL4,o）=-n+只（ --0 8o2 2o4 得到： (5-9) n i=l -9-
- 9 - n L x n i 1 在实际工作中，观测次数总是有限的，也就是只能采用有限次数的观测值来 求得算术平均值，即： n L x n i 1 x 是根据观测值所能求得的最可靠的结果，称为最或是值或算术平均值。 1.2 根据最大似然估计原理证明（补充） 在已知观测值服从正态分布的前提下，按最大似然原理证明，等精度观测值 的最或然值就是其算术平均值。 设 X1， … ， Xn 为取自总体 ( , ) 2 N 的样本，求参数 2 , 的极大似然估 计。 首先构造最大似然函数： n i x n i i i e L f x 1 2 2 1 2 2 ( , ) ( ; , ) 2 2 (5-7) 得到： 2 2 1 2 2 2 2 1 ( , ) i n i x n n L e (5-8) 将(5-8)两端分别取对数： 2 2 2 2 1 ln ( , ) ln(2 ) ln 2 2 2 n i i n n x L 然后分别对未知参数求导，并令其等于零： 2 2 1 2 2 2 2 4 1 ln ( , ) 1 ( ) 0 ln ( , ) 0 2 2 n i i n i i L x L n x 得到： 2 1 2 1 ( ) 1 , 1 n i i n i i x x n x x n (5-9) 2 ,
2、最或是误差（改正数）及特性 最或是值与观测值之差称为最或是误差或观测值改正数，用V表示，即： Vi=x-Li (=1,2,…,n) 取其和得： ,x= n 2=0 这是观测值改正数的一大特征，用作计算上的校核。 3、由改正数计算中误差的推导 根据改正数和真误差的定义，得到如下关系： 4=X-1,y=-1 42=X-12,%2=X-42 (5-10) 4=X-l:v=X-I 将上列左右两式分别相减，得： 4=+(成-) 4=2+(-) (5-11) 4,=vn+(-) 将上列各式相加，并顾及[v]=0,得： [4]=n(X-) (5-12) 将上列各式平方后相加，并顾及[v]=0,得： [4]=[w]+n- (5-13) 由(5-13)得到： -10-
- 10 - 2、最或是误差(改正数)及特性 最或是值与观测值之差称为最或是误差或观测值改正数，用 V 表示，即： Vi = x - Li (i=1，2，…,n) 取其和得： n i 1 n i 1 V nx L ∵ n L x n i 1 ∴ 0 n i 1 V 这是观测值改正数的一大特征，用作计算上的校核。 3、由改正数计算中误差的推导 根据改正数和真误差的定义，得到如下关系： n n n n Δ X l v X l Δ X l v X l Δ X l v X l ˆ , ~ ˆ , ~ ˆ , ~ 2 2 2 2 1 1 1 1 (5-10) 将上列左右两式分别相减，得： ) ˆ ~ ( ) ˆ ~ ( ) ˆ ~ ( n 2 2 1 1 Δ v X X Δ v X X Δ v X X n (5-11) 将上列各式相加，并顾及[v] 0,得： ) ˆ ~ [Δ] n(X X (5-12) 将上列各式平方后相加，并顾及[v] 0,得： ΔΔ vv n(X X) ˆ ~ [ ] [ ] (5-13) 由（5-13）得到：