清华大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 泛函分析初步

信号与系统 第三章泛函分析初步

1 信号与系统 第三章 泛函分析初步

第三章泛涵分析初步 §3.1线性空间 §32线性子空间 §3.3距离空间 §34 Banach空间 §35 Hilbert空间 ·§3.6完备规范正交集上广义傅里叶展开

2 第三章 泛函分析初步 • §3.1 线性空间 • §3.2 线性子空间 • §3.3 距离空间 • §3.4 Banach空间 • §3.5 Hilbert空间 • §3.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开

§3.1线性空间 ·线性空间:设WO(W为非空集合) (1)W中元对“+”构成交换群,即对XY,z∈W, 有 1.X+Y∈W(加法封闭性) i.(X+Y)+Z=X+(Y+Z)(结合律)群/ ⅲi.30∈W,使0+X=X(存在零元) 群 交换群 ⅳv.彐-X∈W,使(-X)+X=0(存在逆元) V.X+Y=Y+X(交换律)

3 §3.1 线性空间 • 线性空间：设W≠Ø（W为非空集合） – (1) W中元对“+”构成交换群，即对 X,Y,ZW, 有 ⅰ. ⅱ. ⅲ. ⅳ. ⅴ. ( ) ( ) ( ) , , W W W                    −  −         0 0 + + 0 + + + = + + = = + = + （加法封闭性） 半群 （结合律） 使 （存在零元） 群 交换群 使 （存在逆元） （交换律） X Y X Y Z X Y Z X X X X X X Y Y X

§3.1线性空间 (2)对VX,Y∈W,Va,B∈C(复数域)有: Vi.a(BX)=(c)X∈W ⅶ.(a+B)X=aX+BX ⅷ.a(X+Y)=aX+aY X.1·X=X 称W为线性空间;若Va,B∈C,则W为复线性空 间;若a,B∈R,则W为实线性空间

4 §3.1 线性空间 – (2)对 X,YW， α,βC（复数域）有： ⅵ. ⅶ. ⅷ. ⅸ. 称W为线性空间；若α,βC ，则W为复线性空 间；若α,βR，则W为实线性空间。 ( ) ( ) ( ) ( )    W        =  + = 1 + + = + = X X X X X X Y X Y X X

§3.1线性空间 1)加法封闭 2)数乘封闭 台WX∈W,a∈C有∑aX∈W C[ab](ab]上所有连续函数的全体)是线性空间。 spam{X1,X2…,xn}是由X1,X2,…,X,张成的线性

5 §3.1 线性空间 • • • 1 , N i i i i i W W   =        1)加法封闭 有 2)数乘封闭 X X C , , a b a b ( 上所有连续函数的全体)是线性空间。 span 1 2 1 2 , , , , , , n n 是由 张成的线性 空间。 X X X X X X

§3.1线性空间 ·线性空间W上的算子L为线性算子 sL∑ax}=∑ax} ·零状态线性系统◇→系统算子为线性算子

6 §3.1 线性空间 • 线性空间W上的算子L为线性算子 • 零状态线性系统系统算子为线性算子   1 1 L L N N i i i i i i   = =    =       X X

§32线性子空间 ·线性子空间:设OcW,V是W的线性 子空间 令对XY∈V,Va,B∈C,有aX+BY∈V 直和:设W,W1…,W是W的子空间,若X∈W, X可唯一表示成X=X1+…+X2,其中X,∈W (=1…,p),则称形是W,W2…,W的直和, 记为:W=W田W2…W

7 §3.2 线性子空间 • 线性子空间：设 Ø ≠V  W， V是W的线性 子空间 • 直和：设       对 X Y X Y , , , , V V     有 + ( ) 1 2 1 1 2 1 2 , , , , , 1, , , , , , p p i p p W W W W W W i p W W W W W W W W    = =    = + + 是 的子空间,若 可唯一表示成 其中 则称 是 的直和, 记为: 。 X X X X X X

§3.3距离空间(度量空间— Metric Space ·距离空间:设WO,称W为距离空间,指在 W中定义了映射:P(X,Y):W×W→R包 括0),VX,Y∈W满足以下三条公理: i.p(X,Y)≥0,且P(X,Y)=0<X=Y(正定性) i.(X,Y)=p(Y,X)(可交换性) ilp(XZ)≤P(X,Y)+p(Y,Z)(三角不等式) P(XY)称为W上的距离,(W,)为度量空间

8 §3.3 距离空间（度量空间—— Metric Space） • 距离空间：设W≠Ø ，称W为距离空间，指在 W中定义了映射： （包 括0）， X,YW 满足以下三条公理： • 称为W上的距离， 为度量空间。  (X Y, :) W W R  → + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i. , 0, , 0 ii. , , iii. , , ,         =  =  + 且 = （正定性） （可交换性） （三角不等式） X Y X Y X Y X Y Y X X Z X Y Y Z  (X Y, ) (W, )

§33距离空间 例 P(X,Y=X-Y 例:C[ab] (X(),Y()=max|x()-Y()

9 §3.3 距离空间 • 例： • 例： ( ) ,  X Y X Y , = −   ( ( ) ( )) ( ) ( ) , , max a t b C a b  X t Y t X t Y t   = −

§33距离空间 例:R",X=:,Y=|:|∈R n (X,Y)=∑|x-y (x,Y)=∑x-y =1 P(X, Y)=max]x-y 10

10 §3.3 距离空间 • 例： ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 1 , , max n n n n n i i i n i i i i i i x y x y x y x y x y    = =           = =              = −   = −     = −   , , , X Y X Y X Y X Y