信号与系统 第八章Z变换
信号与系统 第八章 Z变换
第八章Z变换 §8.1定义、收敛域 ·§82z变换计算方法 §8.3Z变换性质 §84Z变换性质与L变换的关系 §8.5Z变换解差分方程 ·§8.6系统函数、BIBO稳定
2 第八章 Z变换 • §8.1 定义、收敛域 • §8.2 Z变换计算方法 • §8.3 Z变换性质 • §8.4 Z变换性质与 L 变换的关系 • §8.5 Z变换解差分方程 • §8.6 系统函数、BIBO稳定
§8.1定义、收敛域 1定义:Z变换 序列x(n)的双边Z变换: X(=)z{x(m)∑x(m)= n=- 序列x(n)的单边Z变换: X(z)全z{x(n)全 ∑ n x(nI
3 §8.1 定义、收敛域 • 1.定义： Z变换 – 序列 – 序列 ( ) ( ) ( ) ( ) n n x n X z x n x n z + − =− Z Z 的双边 变换： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n n x n X z x n x n z + − = Z Z 的单边 变换：
§8.1定义、收敛域 注: + (1)双边:X()=∑x(n)"=∑x(n)="+∑x(n)= =0 为 Laurent级数其中,∑x(n)="是 Laurent级数 的正则部,∑x(n)2”是主部。 ilmE (2)Z是复平面 Rez (3)对因果序列:单边Z变换=双边Z变换
4 §8.1 定义、收敛域 – (1)双边： – (2)Z是复平面 上一点 – (3)对因果序列：单边 Z变换=双边 Z变换。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 Laurent , Laurent n n n n n n n n n n X z x n z x n z x n z x n z x n z + − + − − − =− =− = − − = − + − = = = + 为 级数 其中, 是 级数 的正则部, 是主部。 o ReZ jImZ 注：
§8.1定义、收敛域 ·定义:逆Z变换 对双边Z变换X(=)=∑x(n)= 2z9=mX()d= x(nzn dz C 2」c 1=-0 =∑x()∮ 2 丌J n=n m-1 2T)C 0.m≠n C为包围原点的闭曲线:上式=(n)
5 §8.1 定义、收敛域 • 定义：逆 Z变换 – 对双边 Z变换 ( ) ( ) n n X z x n z + − =− = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 C C 1 C 1 C 1 1 d d 2 j 2 j 1 d 2 j 1 1 , d 2 j 0 , C m m n n m n n m n z X z z z x n z z x n z z m n z z m n x n + − − − =− + − − =− − − = = = = 为包围原点的闭曲线 上式=
§8.1定义、收敛域 定义:x(m 2mm-(0=2{x () Rez 注:(*)的求解:=re,d=njed城或者留数定理
6 §8.1 定义、收敛域 – 定义： – 注： ( ) ( ) ( ) 1 1 C 1 d 2 j m x n z X z z X z − − = = Z o ReZ jImZ r j Z re = ( ) j d j d j z re z r e = = 的求解: , 或者留数定理
§8.1定义、收敛域 2.收敛域 (1定义:对有界x(n,使()=|∑x(m)=≤∞ 的Z的集合 (2)判别方法: AX(=)s∑|x(n)=-11,则发散; 柯西方法:p会imyn若=1则不定。7
7 §8.1 定义、收敛域 • 2. 收敛域 – (1)定义：对有界 – (2)判别方法： 达兰贝尔方法： 柯西方法： ( ) ( ) ( ) n n x n X z x n z Z + − =− = 一致 ,使 的 的集合。 ( ) ( ) , ( ) n n n n X z x n z a x n z + − − =− = 令 , 1 lim n n n a a + → lim n n n a → 1, 1, 1, = 若 则收敛； 若 则发散； 若 则不定
§8.1定义、收敛域 3序列的分类与收敛域 (1)右边序列:x(n),n∈{n,∞ X(=)=∑x(m) n-ni p=lim/ x(n)=/(n)=limy(n)R,圆的外部1mz <0.R Rez n1≥0,R1<2≤∞ 8
8 §8.1 定义、收敛域 • 3.序列的分类与收敛域 – (1)右边序列： x n n n ( ), , 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 lim lim 1 lim , n n n n n n n n n x n X z x n z x n z x n z z x n R − = − − → → → = = 圆的外部 ReZ jImZ o Rx1 1 1 1 1 0, 0, x x n R z n R z
§8.1定义、收敛域 (2左边序列x(m),n∈{0n2} X(=)=∑x(n)="=∑x(-m)= n=-1 pslimvx(n)=k0.0<|<R n2≤00s|<R 9
9 §8.1 定义、收敛域 – (2)左边序列 x n n n ( ), , − 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 1 2 2 lim 1 lim , 0,0 0,0 n n n n n n n n n x n x x X z x n z x n z x n z z x n R n z R n z R − =− =− → − → = = − − − 圆的内部
§8.1定义、收敛域 (3)双边序列x(n),n∈{-0,+∞ X(=)=∑x(n)="+∑x(m)="n n=0 n三-00 右边序列 左边序列 >R <R nn 若R<R,则环状收敛域 Rez R 若R≥R,则无公共收敛域 10
10 §8.1 定义、收敛域 – (3)双边序列 x n n ( ), , − + ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 x x n n n n z R z R X z x n z x n z + − − − = =− = + 右边序列 左边序列 ReZ jImZ o Rx1 Rx2 1 2 1 2 , , x x x x R R R R 若 则环状收敛域。 若 则无公共收敛域
