信号与系统 第五章拉普拉斯变换
信号与系统 第五章 拉普拉斯变换
第五章拉普拉斯变换 §5.1定义、存在性 §52性质 §53拉普拉斯逆变换 §54系统函数 §55线性定常系统频率响应 §5.6BBO稳定性 §5.7仝通系统/最小相移系统
2 第五章 拉普拉斯变换 • §5.1 定义、存在性 • §5.2 性质 • §5.3 拉普拉斯逆变换 • §5.4 系统函数 • §5.5 线性定常系统频率响应 • §5.6 BIBO稳定性 • §5.7 全通系统/最小相移系统
§5.1定义、存在性 信号f(t)的傅里叶变换存在要求: f()∈L[,+],但sgn(t)≠L, F(sgn()=limFeatf(o), o>Oo 考虑是否可以将e纳入积分核? 对因果信号f(t)=f()(t) F{e"f()}=[f()e +∞O Jo dt f(te o+jo)t dt 0 Jo f(e dt=L () +0O
3 §5.1 定义、存在性 • 信号f (t)的傅里叶变换存在要求： 考虑是否可以将 纳入积分核？ • ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 L , , sgn L , sgn lim , 0 t f t t t e f t − → − + F F = 但 。 t e − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) -j j 0 0 0 , d d d t t t t st f t f t u t e f t f t e e t f t e t f t e t f t + + − − − + + − = = = = = F L 对因果信号
§5.1定义、存在性 定义信号f()的(单边)拉普拉斯变换为 F()L{()()le",s=a+j0 +0O f(oe (a+j) dt leJo da 令s=a+jO,为常数,ds=jdo o+Joo f(e F(se O+10 S 2丌j ()L{F():m etJo e as o-J
4 §5.1 定义、存在性 • 定义信号f (t)的（单边）拉普拉斯变换为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 j j 0 j j j j 1 j d , j 1 d d 2 j , d jd 1 d 2 j 1 d 2 j st t t t t s t F s f t f t e t s f t e f t e t e s s f t F s e s f t F s F s e s + − + + − − + − + + − + − − = + = = + = = L L 令 为常数
§5.1定义、存在性 定义(指数阶函数):指f(t)分段连续(存 在有限个第一类间断点),且彐M>0,T>0, 使/()≤Mm,对v>7 注:f()=O(e) F(S)存在:|F(s)<∞ 命题:指数阶信号的拉式变换存在
5 §5.1 定义、存在性 • 定义（指数阶函数）：指f (t)分段连续（存 在有限个第一类间断点），且 注： • • 命题：指数阶信号的拉式变换存在。 M T 0, 0, ( ) 0 , t f t Me t T 使 对 。 ( ) ( ) O 0 t f t e = F s F s ( )存在： ( )
§5.1定义、存在性 ee.. t≥0为非指数阶信号 P()e为指数阶信号,其中p()为多项式 σ为收敛坐标,过σ垂直于σ轴的垂线为收 敛轴,σ>σ收敛域(已知收敛域)。 t j O
6 §5.1 定义、存在性 • 为非指数阶信号。 • 为指数阶信号，其中p(t)为多项式。 • 为收敛坐标，过 垂直于 轴的垂线为收 敛轴， 收敛域（已知收敛域）。 2 3 , , , 0 t t e e t ( ) t p t e 0 0 0 σ o jω 0 0 s j = +
§5.1定义、存在性 例:f()=(t) l()se",M=17=00=0,0>0收敛 >0 L{u()}="e"d= 例 (a+s) t at -st dt /∞>-a a s a + s
7 §5.1 定义、存在性 • 例： • 例： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 1 , 1, 0, 0, 0 1 d | t st st f t u t u t e M T e u t e t s s − + − + = = = = = = = − L 收敛 ( ) 0 0 1 d | s t t t st e e e e t s s − + + − − − − + = = − = + + L
§5.1定义、存在性 例 tedt L t {()} {m( "n() n+1 8
8 §5.1 定义、存在性 • 例： ( ) ( ) ( ) 1 0 2 1 d 1 1 ! n n st n n n n t t e t t s u t s tu t s n t u t s + − − + = = = = = L L L L L
§5.1定义、存在性 积分下限:当f()在t=0处第一类间断, +00 F(s)=L{/()}= f(r) f(esdt 0+ +00 f(test 注:f()ao~6(t),∫"()l=o~”(t),解微分方程 的初(边)值问题。 9
9 §5.1 定义、存在性 • 积分下限：当 f (t)在t = 0处第一类间断， – 注： ，解微分方程 的初（边）值问题。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 d d d st st st F s f t f t e t f t e t f t e t + − + − + + − − = = = = L f t t f t t ( )| ~ , | ~ t t = = 0 0 ( ) ( ) ( )
§52性质 1.代数性质 线性:L{∑a10}=∑aL(() 卷积:L()*/(}=F(s)() f(t) 零状态响应 h()=f2( f()*2()=y(t) F1(S) FS)F2(S) H(o)=L{h(t)}=F2(S) 10
10 §5.2 性质 • 1. 代数性质 – 线性： – 卷积： ( ) ( ) 1 1 n n i i i i i i f t f t = = = L L L f t f t F s F s 1 2 1 2 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 f t F S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f t f t y t F S F S ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 2 h t f t H h t F S = = = L 零状态响应