近代物理实验讲义 实验14阿贝成像与空间滤波 阿贝(E.Abb)首先提出显微镜成像原理以及随后的阿贝一波特空间滤波实验，在傅里叶 光学早期发展史上做出重要的贡献。这些实验简单、形象，令人信服，对相干光成像的机理及 频谱分析和综合原理做出深刻的解释，同时这种用简单的模板作滤波的方法一直延续至今，在 图像处理技术中仍然有广泛的应用价值。 【实验目的】 1、了解透镜的傅里叶变换性质，加深对空间频率、空间频谱和空间滤波等概念的理解： 2、熟悉阿贝成像原理，从信息量的角度理解透镜孔径对分辨率的影响： 3、完成一维空间滤波、二维空间滤波及高通空间滤波。 【实验原理】 1阿贝成像原理 1873年，德国人阿贝在研究显微镜设计方案时，提出了空间频率、空间频谱及二次衍射成像 的概念，并进行了相应的实验研究。他认为：在相干光照明下，显微镜的成像可分为两个步骤。 第一步是通过物的夫琅禾费衍射，在物镜后焦面上形成一个衍射图样，第二步是这些衍射图样发 出的子波相干涉，在像平面上相干迭加形成物的像，通过目镜可以观察到这个像。 ↑Y 平行光 图141阿贝成像原理示意图 图14.1是阿贝成像原理示意图，图中物G是正弦振幅透射光栅，成像的第一步是光梧的夫 琅禾费衍射。在G上取代表正弦光栖中的某些透光缝4、B、C,由正弦光橱透出的所有方向的光 中，经计算知，只有三个方向的平行光是彼此相长地相干，会聚于焦平面F上，形成1、6和月 1第二步，把这些衍射图样1、6和（看成是相干的子波源，这三列波在像平面H上相干迭加， 就得到正弦光楊的像。 按频谱分析理论，谱面上的每一点均具有以下四点明确的物理意义： (1)谱面上任一光点对应若物面上的一个空间频率成分。 (2)光点离谱面中心的距离，标志着物面上该频率成分的高低，离中心远的点代表物面上的高 频成分，反映物的细节部分。靠近中心的点，代表物面的低频成分，反映物的粗轮廓。中
近代物理实验讲义 96 实验 14 阿贝成像与空间滤波 阿贝（E. Abbe）首先ᨀ出显微镜成像原理以及随后的阿贝—波特空间滤波实验，在傅里叶 光学早期发展史上做出重要的贡献。这些实验简单、形象，令人信服，对相干光成像的机理及 频谱分析和综合原理做出深刻的解释，同时这种用简单的模板作滤波的方法一直延续至今，在 图像处理技术中仍然有广泛的应用价值。 【实验目的】 1、 了解透镜的傅里叶变换性质，加深对空间频率、空间频谱和空间滤波等概念的理解； 2、 熟悉阿贝成像原理，从信息量的角度理解透镜孔径对分辨率的影响； 3、 完成一维空间滤波、二维空间滤波及高通空间滤波。 【实验原理】 1 阿贝成像原理 1873 年，德国人阿贝在研究显微镜设计方案时，ᨀ出了空间频率、空间频谱及二次衍射成像 的概念，并进行了相应的实验研究。他认为：在相干光照明下，显微镜的成像可分为两个步骤。 第一步是通过物的夫琅禾费衍射，在物镜后焦面上形成一个衍射图样，第二步是这些衍射图样发 出的子波相干涉，在像平面上相干迭加形成物的像，通过目镜可以观察到这个像。 图 14.1 阿贝成像原理示意图 图 14.1 是阿贝成像原理示意图，图中物 G 是正弦振幅透射光栅，成像的第一步是光栅的夫 琅禾费衍射。在 G 上取代表正弦光栅中的某些透光缝 A、B、C，由正弦光栅透出的所有方向的光 中，经计算知，只有三个方向的平行光是彼此相长地相干，会聚于焦平面 F 上，形成 f+1、f0 和 f- 1。第二步，把这些衍射图样 f+1、f0 和 f-1 看成是相干的子波源，这三列波在像平面 H 上相干迭加， 就得到正弦光栅的像。 按频谱分析理论，谱面上的每一点均具有以下四点明确的物理意义： （1） 谱面上任一光点对应着物面上的一个空间频率成分。 （2） 光点离谱面中心的距离，标志着物面上该频率成分的高低，离中心远的点代表物面上的高 频成分，反映物的细节部分。靠近中心的点，代表物面的低频成分，反映物的粗轮廓。中
阿贝成像与空间滤波 心亮点是0级衍射即零频，反映在像面上呈现均匀背景 (3)光点的方向，指出物平面上该频率成分的方向，例如横向的谱点表示物面有纵向桶缝。 (4)光点的强弱则显示物面上该频率成分的幅度大小。 由以上定性分析可以看出，阿贝的二次成像理论的第一次衍射是透镜对物作空间傅里叶变换 它把物的各种空间频率和相应的振幅一一展现在它的焦平面上。一般情况下，物体透过率的分布 不是简单的空间周期函数，它们具有复杂的空间须谱，故透镜焦平面上的衍射图样也是极复杂的。 第二次衍射是指空间频谱的衍射波在像平面上的相干迭加。如果在第二次衍射中，物体的全部空 间频谱都参与相干迭加成像，则像面与物面完全相似。如果在展现物的空间频谱的透镜焦平面上 插入某种光学器件（称之为空间滤波器），使某些空间频率成分被滤掉或被改变，则像平面上的像 就会被改变，这就是空间滤波和光学信息处理的基本思想。 在实际光学成像系统中，像和物不可能完全一样。这是由于透镜的孔径是有限的，总有一些 衍射角比较大的高次光线（高频信息）不能进入物镜而被丢掉。所以像的信息总是比物的少些。 由于高频信息主要反映物的细节，因此，无论显微镜有多大的放大倍数，也不可能在像面上分辨 出这些细节。这是限制显微镜分辨本领的根本原因。当物镜孔径极其小时，有可能只有零级衍射 通过物镜，这时像面上有亮的均匀背景而无像分布。 1二维博里叶变换和空间频谱 在信息光学中常用傅里叶变换来表达和处理光的成像过程。 设在物屏XY平面上光场的复振幅分布为g:,),根据傅里叶变换特性，可以将这样一个空 间分布展开成一系列二维基元函数xp2Ux+∫，y川的线性叠加，即 gx-∫∫G(f,)expli2Ux+fHd, (14.1) 式中人为x、y方向的空间频率，即单位长度内振幅起伏的次数，G分表示原函数gx,) 中相应于空间颜率为么、方的基元函数的权重，亦即各种空间频率的成分占多大的比例，也称为 光场(optical field)gx,)的空间频谱。G(,月可由g(x,y)的傅里叶变换求得 G(ff)-ffg(x.y)exp[-i2(fx+fy)rdy (14.2) x,月与G(,分是一对傅里叶变换式，G(,分称为gx,y)的傅里叶的变换，gx,)是G队 )的逆变换，它们分别描述了光场的空间分布及光场的频率分布，这两种描述是等效的。 当gx,)是空间周期函数时，空间频率是不连续的。例如空间周期为的一维函数gx,即 97
阿贝成像与空间滤波 97 心亮点是 0 级衍射即零频，反映在像面上呈现均匀背景。 （3） 光点的方向，指出物平面上该频率成分的方向，例如横向的谱点表示物面有纵向栅缝。 （4） 光点的强弱则显示物面上该频率成分的幅度大小。 由以上定性分析可以看出，阿贝的二次成像理论的第一次衍射是透镜对物作空间傅里叶变换， 它把物的各种空间频率和相应的振幅一一展现在它的焦平面上。一般情况下，物体透过率的分布 不是简单的空间周期函数，它们具有复杂的空间频谱，故透镜焦平面上的衍射图样也是极复杂的。 第二次衍射是指空间频谱的衍射波在像平面上的相干迭加。如果在第二次衍射中，物体的全部空 间频谱都参与相干迭加成像，则像面与物面完全相似。如果在展现物的空间频谱的透镜焦平面上 插入某种光学器件（称之为空间滤波器），使某些空间频率成分被滤掉或被改变，则像平面上的像 就会被改变，这就是空间滤波和光学信息处理的基本思想。 在实际光学成像系统中，像和物不可能完全一样。这是由于透镜的孔径是有限的，总有一些 衍射角比较大的高次光线（高频信息）不能进入物镜而被丢掉。所以像的信息总是比物的少些。 由于高频信息主要反映物的细节，因此，无论显微镜有多大的放大倍数，也不可能在像面上分辨 出这些细节。这是限制显微镜分辨本领的根本原因。当物镜孔径极其小时，有可能只有零级衍射 通过物镜，这时像面上有亮的均匀背景而无像分布。 1 二维傅里叶变换和空间频谱 在信息光学中常用傅里叶变换来表达和处理光的成像过程。 设在物屏 X-Y 平面上光场的复振幅分布为 g(x, y)，根据傅里叶变换特性，可以将这样一个空 间分布展开成一系列二维基元函数 exp[i2 ( f x f y)] π x + y 的线性叠加，即 ∫ ∫ +∞ −∞ = x y x + y x y g(x, y) G( f , f ) exp[i2π ( f x f y)]df df （14.1） 式中 fx、fy 为 x、y 方向的空间频率，即单位长度内振幅起伏的次数，G(fx, fy)表示原函数 g(x，y) 中相应于空间频率为 fx、fy 的基元函数的权重，亦即各种空间频率的成分占多大的比例，也称为 光场（optical field）g(x，y)的空间频谱。G(fx, fy)可由 g (x，y)的傅里叶变换求得 ∫∫ +∞ −∞ G f f = g x y −i f x + f y dxdy x y x y ( , ) ( , ) exp[ 2π( )] (14.2) g(x，y)与 G(fx, fy)是一对傅里叶变换式，G(fx, fy)称为 g(x，y)的傅里叶的变换，g(x，y)是 G(fx, fy)的逆变换，它们分别᧿述了光场的空间分布及光场的频率分布，这两种᧿述是等效的。 当 g(x，y)是空间周期函数时，空间频率是不连续的。例如空间周期为 x0 的一维函数 g(x)，即
近代物理实验讲义 gxg(+x0.描述空间周期为的一维光栅时，光栅面上光振幅分布可展成傅里叶级数 g)-∑G.expr2寸x)-∑G.exp(2fo) (14.3) 上式中，n=0,±山，±2，：0-1，称为基频：-%，是基频的整数倍频，称为n次谐波的 频率。Gm是gx)的空间颜率，由傅里叶变换得 c-eR-2at. (14.4) 2透镜的二维傅里叶变换性质 在光学上，透镜是一个傅里叶变换器，它具有二维傅里叶变换的本领。理论证明，若在焦距 为F的正透镜L的前焦面(XY面)上放一光场振幅透过率为gx,)的物屏，并以波长为的相 干平行光照射，则在L的后焦面(XY面)上就得到gx,y)的傅里叶变换，即gx,y)的颜谱， 此即夫琅禾费衍射情况。其空间频谱 G元京了∫gep-2m元+示h (14.5) 其中空间频率人人与透镜像方焦面（频谱面）上的坐标有如下关系 f-x'IAF fy-y'/AF (14.6) 里叶变换，这就为函数的傅里叶变换提供了一种光学手段，将抽象的函数演算变成了实实在在的 物理过程。由于亦示分别正比于少所以当入。F一定时，频谱面上远商坐标原点的点对 应于物频谱中的高频部分，中心点x与y0,=0对应于零频。 4空间滤波和光信息处理 光信息处理是通过空间滤波器来实现的，所谓空间滤波器是指在图14.1中透镜的后焦平面上 放置某种光学元件来改造或选取所需要的信息，以实现光信总处理。这种光学器件称为空间滤波 器。 图142给出了几种常用的空间滤波器。 ()低通滤波：目的是滤去高频成分，保留低频成分。由于低频成分集中在谱面的光轴（中心）附 近，高频成分落在远离中心的地方，经低通滤波后图像的精细结构将消失，黑白突变处也变得模 糊。 (b)高通滤波：目的是滤去低频成分而让高频成分通过，其结果正好与低通滤波相反，使物的细节
近代物理实验讲义 98 g(x)=g (x+x0)。᧿述空间周期为 x0 的一维光栅时，光栅面上光振幅分布可展成傅里叶级数 ( ) = ∑ exp( 2 ) = ∑ exp( 2 ) 0 g x G i f x G i nf x n π n n π (14.3) 上式中，n＝0，±1，±2，……；f0=1/x0 ，称为基频；fn=nf0，是基频的整数倍频，称为 n 次谐波的 频率。Gn 是 g(x)的空间频率，由傅里叶变换得 g x i nf x dx x G x x n ( ) exp( 2 ) 1 0 / 2 0 / 2 0 0 = − π ∫ + − (14.4) 2 透镜的二维傅里叶变换性质 在光学上，透镜是一个傅里叶变换器，它具有二维傅里叶变换的本领。理论证明，若在焦距 为 F 的正透镜 L 的前焦面（X-Y 面）上放一光场振幅透过率为 g(x，y)的物屏，并以波长为λ的相 干平行光照射，则在 L 的后焦面（Xʹ-Yʹ面）上就得到 g(x，y)的傅里叶变换，即 g(x，y)的频谱， 此即夫琅禾费衍射情况。其空间频谱 ∫ ∫ +∞ −∞ ʹ + ʹ = − ʹ ʹ y dxdy F y x F x g x y i F y F x G( , ) ( , ) exp[ 2 ( )] λ λ π λ λ (14.5) 其中空间频率 fx、fy 与透镜像方焦面（频谱面）上的坐标有如下关系 f x = xʹ/ λF f y = yʹ/ λF (14.6) 显然， ( , ) F y F x G λ λ ʹ ʹ 就是空间频率为（ F y F x λ λ ʹ ʹ , ）的频谱项的复振幅，是物的复振幅分布的傅 里叶变换，这就为函数的傅里叶变换ᨀ供了一种光学手段，将抽象的函数演算变成了实实在在的 物理过程。由于 F y F x λ λ ʹ ʹ , 分别正比于 xʹ，yʹ，所以当λ、F 一定时，频谱面上远离坐标原点的点对 应于物频谱中的高频部分，中心点 xʹ=yʹ=0，fx=fy=0 对应于零频。 4 空间滤波和光信息处理 光信息处理是通过空间滤波器来实现的，所谓空间滤波器是指在图 14.1 中透镜的后焦平面上 放置某种光学元件来改造或选取所需要的信息，以实现光信息处理。这种光学器件称为空间滤波 器。 图 14.2 给出了几种常用的空间滤波器。 (a)低通滤波：目的是滤去高频成分，保留低频成分。由于低频成分集中在谱面的光轴（中心）附 近，高频成分落在远离中心的地方，经低通滤波后图像的精细结构将消失，黑白突变处也变得模 糊。 (b)高通滤波：目的是滤去低频成分而让高频成分通过，其结果正好与低通滤波相反，使物的细节
阿贝成像与空间滤波 及边缘清晰。 (心)带通滤波：根据需要，有选择的滤掉某些频率成分。 (方向滤波：只让某一方向，例如纵向的频率成分通过，则像面上将突出了物的横向线条。 O 〔a)低通 (b)高通 (c)带通 (b)方向 图142空间滤波器示意图 假如用一块二维矩形光栅作为物，二维矩形光栅的空间结构分布如图14.3(，则在频谱面上 将显示出二维光栅的频谱，如图14.3b)所示。假如用一块有狭缝的屏作空间滤波器，将狭缝水平 放置在F面上，则透过的频率面如图14.3c)所示，此时在像平面上的像将如图14.3()所示。若将 狭缝垂直放置，则透过的频率面如图14.3(e)所示，像平面上的像将如图1430所示。如果让狭缝 45°倾斜，那么透镜的焦平面F上保留的频谱和像平面H上成的像将如图14.3g、h)所示。这表 明用一条狭缝作滤波器，当其取向不同时，可将二维光悟的物处理成上述各种方位的一维光栅的 像。 (a) (c) (e) a (f 图143空间滤波器及空间滤波效果示意图 以上是采用滤波器进行光信息处理的最简单的实例，这类滤波器从物体的全部空间信息中选 出所需要的部分，从而实现对物体信息的处理，获得由物体的部分空间信息所构成的像。 【实验步暖及靴据处理】 1、用激光器、L1、L2组成扩束系统，将激光束直径扩大，并测量其放大倍数。 2、用扩束后的平行光照射一维光栅，并用L3将其成像至2米外的白屏上。 3、将白屏放在L3的后焦面（傅氏面）上，可以观察到水平排列的一些清晰光点。这些光点相应 于光栅的0，±1，±2.，级衍射极大值，用米尺大约测出各光点与中央最亮点的距离x,试 求出这些光点的空间频率 4、在L3后焦面（付氏面）处放入频谱滤波器（可调独缝），档去0级以外的各点，观察像面(2
阿贝成像与空间滤波 99 及边缘清晰。 (c)带通滤波：根据需要，有选择的滤掉某些频率成分。 (d)方向滤波：只让某一方向，例如纵向的频率成分通过，则像面上将突出了物的横向线条。 图 14.2 空间滤波器示意图 假如用一块二维矩形光栅作为物，二维矩形光栅的空间结构分布如图 14.3(a)，则在频谱面上 将显示出二维光栅的频谱，如图 14.3(b)所示。假如用一块有狭缝的屏作空间滤波器，将狭缝水平 放置在 F 面上，则透过的频率面如图 14.3(c)所示，此时在像平面上的像将如图 14.3(d)所示。若将 狭缝垂直放置，则透过的频率面如图 14.3(e)所示，像平面上的像将如图 14.3(f)所示。如果让狭缝 45°倾斜，那么透镜的焦平面 F 上保留的频谱和像平面 H 上成的像将如图 14.3(g、h)所示。这表 明用一条狭缝作滤波器，当其取向不同时，可将二维光栅的物处理成上述各种方位的一维光栅的 像。 图 14.3 空间滤波器及空间滤波效果示意图 以上是采用滤波器进行光信息处理的最简单的实例，这类滤波器从物体的全部空间信息中选 出所需要的部分，从而实现对物体信息的处理，获得由物体的部分空间信息所构成的像。 【实验步骤及数据处理】 1、 用激光器、L1、L2 组成扩束系统，将激光束直径扩大，并测量其放大倍数。 2、 用扩束后的平行光照射一维光栅，并用 L3 将其成像至 2 米外的白屏上。 3、 将白屏放在 L3 的后焦面（傅氏面）上，可以观察到水平排列的一些清晰光点。这些光点相应 于光栅的 012 ， ， ...... ± ± 级衍射极大值，用米尺大约测出各光点与中央最亮点的距离 ' x ，试 求出这些光点的空间频率。 4、 在 L3 后焦面（付氏面）处放入频谱滤波器（可调狭缝），档去 0 级以外的各点，观察像面（2
近代物理实验讲义 米外)上有无光栅条纹。调节缝宽，使通过0级和士1级最大值，观察像面上的光栅条纹像， 再把光栏拿去，让更高级次的衍射都能通过，再观察像面上的光栅条纹像，试看这两种情况 的光栅条纹像的宽度有无变化 5、 把一维光栅换成二维正交光栅，再前后移动变换透镜L3,使光栅（物）清晰的成像于像面(2 米外)。这时在透镜后焦面上可观察到二维的分立光点阵（即正交光栅的频谱）。 6、调节谱滤波器如图14.3的各种情况，观察像平面上像的变化。 7、用网格字（光字屏）替换二维光栅，观察网格字的像的构成。 8、再将一个可变圆孔光栏放在付氏面上，逐步缩小光栏，直到只让光轴上一个光点通过为止 再观察网格字的像的构成，试与没滤波之前的字相比较。 【仪器实物图及原理图】 He-Ne激光器(632.8nm) 2扩束镜Ll:f1=4.5mm 3 二维调整架：SZ-07(安装L1) 4准直镜L2:f2=190mm 5二维调整塑：S707(安装12) 6一维光栅(25Lmm) 干板架：SZ-12(安装光栅) 8傅立叶透镜L33=150mm 9一维调整架：SZ-07(安装13) 10频谱滤波器：SZ32(可调张缝) 1白屏P:sZ.13 12滑块1 13滑块1 14滑块1 5滑块3（可左右微调 16滑块1 17滑块3（可左右微调） 18滑块1 一19导轨 100
近代物理实验讲义 100 米外）上有无光栅条纹。调节缝宽，使通过 0 级和±1 级最大值，观察像面上的光栅条纹像， 再把光栏拿去，让更高级次的衍射都能通过，再观察像面上的光栅条纹像，试看这两种情况 的光栅条纹像的宽度有无变化。 5、 把一维光栅换成二维正交光栅，再前后移动变换透镜 L3，使光栅（物）清晰的成像于像面（2 米外）。这时在透镜后焦面上可观察到二维的分立光点阵（即正交光栅的频谱）。 6、 调节谱滤波器如图 14.3 的各种情况，，观察像平面上像的变化。 7、 用网格字（光字屏）替换二维光栅，观察网格字的像的构成。 8、 再将一个可变圆孔光栏放在付氏面上，逐步缩小光栏，直到只让光轴上一个光点通过为止， 再观察网格字的像的构成，试与没滤波之前的字相比较。 【仪器实物图及原理图】 1 He-Ne 激光器（632.8nm） 2 扩束镜 L1：f1=4.5mm 3 二维调整架：SZ-07（安装 L1） 4 准直镜 L2：f2=190mm 5 二维调整架：SZ-07（安装 L2） 6 一维光栅（25L/mm） 7 干板架：SZ-12（安装光栅） 8 傅立叶透镜 L3 f3=150mm 9 二维调整架：SZ-07（安装 L3） 10 频谱滤波器：SZ-32（可调狭缝） 11 白屏 P：SZ-13 12 滑块 1 13 滑块 1 14 滑块 1 15 滑块 3（可左右微调） 16 滑块 1 17 滑块 3（可左右微调） 18 滑块 1 19 导轨