集美大学：《建筑力学》第11章 弯曲变形

第十一章:弯曲变形

第十一章：弯曲变形

第十一章弯曲变形 §11-1概述 §11-2用积分法求梁的变形 §11-3用叠加法求梁的变形 §11-4梁的刚度条件及提高梁刚度的措施 §11-5用变形比较法解简单超静定梁 目录

第十一章 弯曲变形 §11-1 概述 §11-2 用积分法求梁的变形 §11-3 用叠加法求梁的变形 §11-4 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施 §11-5 用变形比较法解简单超静定梁 目录 目录

§11-1概述 目录

§11-1 概 述 目录

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§11-1 概 述 目录

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§11-2挠曲线的近似微分方程 1.基本概念 挠曲线方程 转角 挠度挠曲线 y=y(x) 挠度y:截面形心 在y方向的位移 X y向上为正 转角θ:截面绕中性轴转过的角度。逆钟向为正 由于小变形,截面形心在x方向的位移忽略不计 挠度转角关系为:6≈tnb= d x 目录

1.基本概念 挠曲线方程： y = y(x) 由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计 挠度转角关系为： dx dy   tan = 挠曲线 y x x y 挠度  转角 挠度y：截面形心 在y方向的位移 y 向上为正 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。  逆钟向为正 §11-2 挠曲线的近似微分方程 目录

§11-2挠曲线的近似微分方程 2.挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时,得到 1 M 0 ET 忽略剪力对变形的影响 1M(x) p(x) El 目录

2.挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时，得到： E I z M ρ 1 = 忽略剪力对变形的影响 EIz M x x ( ) ( ) 1 =   §11-2 挠曲线的近似微分方程 目录

§11-2挠曲线的近似微分方程 由数学知识可知: J M(x)>0 M(x)>0 d 1+(2)3 d- 0 略去高阶小量,得 d M(x)<0 M(x)<0 = 2 d 所以d2yM(x) O dx El 目录

由数学知识可知： 2 3 2 2 [1 ( ) ] 1 dx dy dx d y + =   略去高阶小量，得 2 2 1 dx d y =   所以 EIz M x dx d y ( ) 2 2  = 2 M(x) > 0 M(x) > 0 O d y dx 2 > 0 x y M(x) < 0 O dx d y 2 < 0 2 y x M(x) < 0 §11-2 挠曲线的近似微分方程 目录

§11-2挠曲线的近似微分方程 由弯矩的正负号规定可得,弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号一致,所以挠曲线的近似微分方 程为: d y M(x) dh E 由上式进行积分,就可以求出梁横截面的转角 和挠度。 目录

由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方 程为： EIz M x dx d y ( ) 2 2 = 由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角 和挠度。 §11-2 挠曲线的近似微分方程 目录

§11-3用叠加法求梁的变形 设梁上有n个载荷同时作用,任意截面上的弯矩 为M(x),转角为θ,挠度为y,则有: El d y=Ely=M(x) 若梁上只有第个载荷单独作用,截面上弯矩 为M(x),转角为a,挠度为y,则有: Ely=M (x) 由弯矩的叠加原理知:∑M(x)=M(x) 所以,E∑y'=E(∑y)=M(x) 目录

( ) 2 2 EIy'' M x dx d y EI = = 设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为M(x)，转角为  ，挠度为y，则有： EIy'' M (x) i = i 若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩 为 Mi (x) ，转角为  i ，挠度为 yi ，则有： 由弯矩的叠加原理知： ( ) ( ) 1 M x M x n i  i = = 所以， '' ( )'' ( ) 1 1 EI y EI y M x n i i n i  i =  = = = §11-3 用叠加法求梁的变形 目录