电磁场与电磁波 参考教材:《电磁场与电磁波》 孙玉发郭业才等编 合肥工业大学出版社
电磁场与电磁波 参考教材:《电磁场与电磁波》 孙玉发 郭业才等 编 合肥工业大学出版社
第一章 矢量分析
第一章 矢 量 分 析
1.1基本概念 、标量场与矢量场 如果在空间中一个区域内的每一点都有一物理量的 确定值与之对应,在这个区域中就构成该物理量的 场。 ☆标量场:如果物理量是一个确定的数值的标量,这 种场就叫标量场( scalar field),如温度场、密度 场、电位场等。 ◆矢量场:如果物理量是一个既有确定数值又有确定 方向的矢量,这种场就叫矢量场( vector field)。 如水流中的速度场、地球表面的重力场、带电体周 围的电场等
1.1基本概念 一、标量场与矢量场 如果在空间中一个区域内的每一点都有一物理量的 确定值与之对应，在这个区域中就构成该物理量的 场。 ❖ 标量场：如果物理量是一个确定的数值的标量，这 种场就叫标量场（scalar field），如温度场、密度 场、电位场等。 ❖ 矢量场：如果物理量是一个既有确定数值又有确定 方向的矢量，这种场就叫矢量场（vector field）。 如水流中的速度场、地球表面的重力场、 带电体周 围的电场等
图1-1直角坐标系的单位矢量 图1-2直角坐标系矢量的分解
x y z o x1 x1 x1 图1-1 直角坐标系的单位矢量 x y z o 图1-2 直角坐标系矢量的分解
1直角坐标系中矢量表示法 过空间任意点的坐标矢量记为c,en,e ee的方向不随点位置的变化而变化。 冷在直角坐标系内的任一矢量(图12)可表示 a=Ae+Ae+Ae (1-1) 4,A1分别是矢量A在方向ee,上的投影。 矢量的长度或模值A(记为A)可从图12中写出 A +A2+A (1-2)
1.直角坐标系中矢量表示法 过空间任意点的坐标矢量记为 。 的方向不随点位置的变化而变化。 ❖ 在直角坐标系内的任一矢量(图1-2)可表示 （1-1） ❖ 分别是矢量 在方向 上的投影。 ❖ 矢量的长度或模值 （记为 ）可从图1-2中写出 （1-2） , , x y z e e e , , x y z e e e A A A x x y y z z A e e e = + + , , A A A x y z A , , x y z e e e A A 2 2 2 A A A A = + + x y z
AA,分量是矢量A4分别在坐标单位矢量方向上的投 影,即 a=A-e=acos a A,=A e,=Acos B A=A e=Acos r (1-3) 式(1-1)可写为 A=Acos ae, + acos Be,+ Acos y e (14) 0模等于1的矢量叫做单位矢量。 按矢量与数量乘积的定义,有 由式(1-4),在直角坐标系中,有 e, cos a+e, cos B+e cosy (15)
❖ 分量是矢量 分别在坐标单位矢量方向上的投 影，即 （1-3） 式（1-1）可写为 （1-4） ❖ 模等于1的矢量叫做单位矢量。 ❖ 按矢量与数量乘积的定义，有 由式（1-4），在直角坐标系中，有 （1-5） , , A A A x y z A cos cos cos x x y y z z A A A A A A = = = = = = A e A e A e cos cos cos A A A x y z A e e e = + + A = A e e A A = A A x y z cos cos cos A = = + + A e e e e
e直角坐标系中以坐标原点为起点,引向空间任 点的矢量,称为点的矢径,如图1-2。有 r=xe. ve. tze (1-6) r=√x-+1+z (17) r一r =e cos a+e, cos B+e cos y (1-8) 空间点的矢径在三个坐标轴上的投影数值分别等于 点M的坐标值。 空间一点对应着一个矢径;反之,与每一矢径对应 着空间确定的一个点,即矢径的终点。所以又叫做 位置矢量。 如果空间任一矢量的起点是P(xy,终点是Q(x
❖ 直角坐标系中以坐标原点为起点，引向空间任一 点的矢量，称为点的矢径，如图1-2。有 （1-6） （1-7） （1-8） 空间点的矢径在三个坐标轴上的投影数值分别等于 点 的坐标值。 空间一点对应着一个矢径；反之，与每一矢径对应 着空间确定的一个点，即矢径的终点。所以又叫做 位置矢量。 如果空间任一矢量的起点是 ，终点是 ， x y z r e e + e = + x y z 2 2 r = = + + r x y z r x y z cos cos cos r = = + + r e e e e M P x y z ( , , ) Q x y z ( , , )
根据式(1-6)及矢量的加法规 P(r,y, = 刂,矢量R表示为 R=r-r2=(x-x)e+(y-y)+(2-=)e2(1-7) 矢量的模值记为R,是点 图1-3空间矢量表示方法 与点x之间的距离,由式 (1-9)得 R 1-10) 今矢量的单位矢量 R R er x-x)+(y-y)+(=-=2) (1-11) e x-x)2+(y-y)+(
根据式（1-6）及矢量的加法规 则，矢量 表示为 （1-7） ❖ 矢量的模值记为 ，是点 与点 之间的距离，由式 （1-9）得 （1-10） ❖ 矢量的单位矢量 （1-11） x y z O x1 图1-3 空间矢量表示方法 P x y z ( , , ) ( ) ( ) ( ) x y z R r r e e e = − = − + − + − x x y y z z R R P x y z ( , , ) Q x y z ( , , ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 R x x y y z z = − + − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R x y z x x R x x y y z z y y z z x x y y z z x x y y z z − = = − + − + − − − + + − + − + − − + − + − R e e e e
式中三个分量的系数也就是矢量的方位余弦。 如果空间有一长度元矢量,它在直角坐标单位矢 量上的投影值分别是,则 d l= dxe. t dye. +dze (1-12) =)+(b)+(h) (1-13) 2矢量场的矢量线 一个矢量场,可以用一个矢量函数来表示。 在直角坐标系中,某一矢量物理函数可表示为 F=F(x, y, =) (1-14) 用分量表示为 F=F(3=(xe+(y+E(x:(15) 上式中F()、F(y、F()分别是矢量F(x)在三个 坐标轴上的投影
式中三个分量的系数也就是矢量的方位余弦。 ❖ 如果空间有一长度元矢量，它在直角坐标单位矢 量上的投影值分别是 ，则 （1-12） （1-13） 2 矢量场的矢量线 ❖ 一个矢量场，可以用一个矢量函数来表示。 在直角坐标系中，某一矢量物理函数可表示为 （1-14） 用分量表示为 （1-15） 上式中 、 、 分别是矢量 在三个 坐标轴上的投影。 R dx dy dz , , dx dy dz x y z dl = e + e + e ( ) ( ) ( ) 2 2 2 dl dx dy dz = + + F = F(x, y,z) ( , , , , , , , , ) ( ) ( ) ( ) x x y y z z F F e e e = = + + x y z F x y z F x y z F x y z F (x y z) x , , F (x y z) x , , F (x y z) x , , F(x, y,z)
为描绘矢量场在空间的分布状况,引入矢量线的概 念。矢量线上每一点的切线方向都代表该点的矢量 场的方向。 般说来,矢量场的每一点均有唯一的一条矢量线 通过,所以矢量线充满了整个矢量场所在的空间。 电场中的电力线和磁场中的磁力线等,都是矢量线 的例子。 为绘出矢量线,求出矢量线方程。在矢量线上任 点的切向长度元与该点的矢量场的方向平行,即 F×dl=0 (116) 由式(1-12), dl=dxe dye, +dze 式(1-15)简写为 F=Fe,+F e +Fe
为描绘矢量场在空间的分布状况，引入矢量线的概 念。矢量线上每一点的切线方向都代表该点的矢量 场的方向。 ❖ 一般说来，矢量场的每一点均有唯一的一条矢量线 通过，所以矢量线充满了整个矢量场所在的空间。 电场中的电力线和磁场中的磁力线等，都是矢量线 的例子。 ❖ 为绘出矢量线，求出矢量线方程。在矢量线上任一 点的切向长度元与该点的矢量场的方向平行，即 （1-16） 由式（1-12）， 式（1-15）简写为 F l 0 = d d d d d x y z l e e e = + + x y z F F F x x y y z z F e e e = + +