《电动力学》第13讲 第二章静电场(5) §25格林函数法 教师姓名:宗福建 单位:山东大学物理学院 2015年10月27日
《电动力学》第13讲 第二章 静电场（5） §2.5 格林函数法 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2015年10月27日
上一讲复习 o拉普拉斯( Laplace)方程的通解可以用分离变量法求出 先根据界面形状选择适当的坐标系,然后在该坐标系中由 分离变量法解拉普拉斯方程。最常用的坐标系有球坐标系 和柱坐标系。这里我们写出用球坐标系得出的通解形式 (见附录Ⅱ)。球坐标用(R,θ,q)表示,R为半径, 为极角,q为方位角。 三洲睿尴卡
山东大学物理学院 宗福建 2 上一讲复习 拉普拉斯（Laplace）方程的通解可以用分离变量法求出。 先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在该坐标系中由 分离变量法解拉普拉斯方程。最常用的坐标系有球坐标系 和柱坐标系。这里我们写出用球坐标系得出的通解形式 （见附录Ⅱ）。球坐标用（R，θ，φ）表示，R为半径，θ 为极角，φ为方位角
上一讲复习 o拉氏方程在球坐标系中的通解为 0(R,,d)=>(anR"+m 个%)Pm(cosb)cosm +2(cm r+ nmm)Pm(cos e)sin mg 二 n. m 式中 ab c和d为任意常数,在具体间题中有边界条 件定出。Pmn(cosb)为缔和勒让德( Legendre)函数
山东大学物理学院 宗福建 3 上一讲复习 拉氏方程在球坐标系中的通解为 式中anm ,bnm ,cnm和dnm为任意常数，在具体问题中有边界条 件定出。Pmn(cosθ)为缔和勒让德(Legendre)函数。 1 . 1 , ( , , ) ( ) (cos ) cos ( ) (cos ) sin n m nm nm n n n m n m nm nm n n n m b R a R P m R d c R P m R + + = + + +
上一讲复习 o若该问题中具有对称轴,取此轴为极轴,则电势φ不依赖 于方位角φ,这情形下通解为 0=2(e+b)(O R n+1 oP(cosθ)为勒让德函数,a和b由边界条件确定 三睿描卡丽当
山东大学物理学院 宗福建 4 上一讲复习 若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势φ不依赖 于方位角φ，这情形下通解为 Pn（cosθ）为勒让德函数，an和bn由边界条件确定。 1 ( ) (cos ), n n n n n n b a R P R + = +
上一讲复习 oPn(cosb)为勒让德函数 (x)=1 P(cos(x))=1 P(x=x P(cos(x))=cos(x) P2(x)=(3x2-1)P2(cos(x)=(3cos2(x)-1) P(x)=-(5x'-3x) P(cos(x))=-(5 cos(x)-3cos(x)) P(x)=2.11 dx 三睿描卡丽当
山东大学物理学院 宗福建 5 上一讲复习 Pn（cosθ）为勒让德函数 0 0 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 2 ( ) 1 (cos( )) 1 ( ) (cos( )) cos( ) 1 1 ( ) (3 1) (cos( )) (3cos ( ) 1) 2 2 1 1 ( ) (5 3 ) (cos( )) (5cos ( ) 3cos( )) 2 2 1 ( ) ( 1) 2 ! l l l l l P x P x P x x P x x P x x P x x P x x x P x x x d P x x l dx = = = = = − = − = − = − = −
上一讲习题解答 补充题:用分离变量法求解接地金 属球外一个点电荷的势,和电像 法相比较,并证明其两个解是完 全相同的
山东大学物理学院 宗福建 6 上一讲习题解答： 补充题：用分离变量法求解接地金 属球外一个点电荷的势，和电像 法相比较，并证明其两个解是完 全相同的
R P 上一讲习题解答: ∠ O bo aQ ◎由Q和镜像电荷φ激发的总电场能够满足在导体面上φ=0的边界条件。 因此是空间中电场的正确解答。球外任一点鬥电势为,式中r为由4到P点 的距离,r’为由Q到P点的距离,R为由球心到P点的距离,为0p与0Q 的夹角。 4zE。rr O 4L√R2+a2-2 Racos√R2+b2-2 rbcs0 ro2 a a 山东大学物理学院宗福建
山东大学物理学院 宗福建 7 上一讲习题解答： 由Q和镜像电荷Q‘ 激发的总电场能够满足在导体面上φ= 0 的边界条件。 因此是空间中电场的正确解答。球外任一点P的电势为，式中r为由Q到P点 的距离，r' 为由Q'到P点的距离，R为由球心O到P点的距离，θ为OP与OQ 的夹角。 0 2 2 2 2 0 1 ' 4 1 ' 4 2 cos 2 cos Q Q r r Q Q R a Ra R b Rb = + = + + − + − 0 2 0 ' R Q Q a R b a = − = r’ r P
R 上一讲习题解答: bo aQ 如图所示的球坐标系,取球心为坐标原点,球心到点电荷所在位置 的连线为极轴,点电荷到球心的距离为a,空间任意一点P到点电荷 的距离为r,到球心的距离为R,极角为θ。 r=√a2+R2-2 Racos() 6(z-a) R=Ro R 山东大学物理学院宗福建
山东大学物理学院 宗福建 8 上一讲习题解答： 如图所示的球坐标系，取球心为坐标原点，球心到点电荷所在位置 的连线为极轴，点电荷到球心的距离为a，空间任意一点P到点电荷 的距离为r，到球心的距离为R，极角为θ。 0 2 2 2 0 2 cos( ) ( ) 0 0 R R R r a R Ra Q z a = → = + − = − − = = r P
R 上一讲习题解答: bo aQ o由于电势具有轴对称性,考虑到无穷远处的电势为0,泊松方程的解 为 ) Pn(cos(8) 4丌Enr +∑(aR"+n) R 0 4兀Enr +∑ 计(Cos(O) a+r-2Racos(e) 山东大学物理学院宗福建
山东大学物理学院 宗福建 9 上一讲习题解答： 由于电势具有轴对称性，考虑到无穷远处的电势为0，泊松方程的解 为： 1 0 0 1 0 0 2 2 ( ) (cos( )) 4 0 (cos( )) 4 1 1 2 cos( ) n n n n n n R n n n n Q b a R P r R Q b P r R r a R Ra + = → + = = + + = = + = + − r P
R 上一讲习题解答: bo aQ o在金属球壳表面 = P(cos(⊙) 4er r R=Ro -+∑DnP(cosO)=0 元EnF 2 +R0 2RacoS(e 山东大学物理学院宗福建
山东大学物理学院 宗福建 10 上一讲习题解答： 在金属球壳表面： 0 1 0 0 1 0 0 0 2 2 0 0 (cos( )) 4 0 (cos( )) 0 4 1 1 2 cos( ) n n n n R R n n n n Q b P r R Q b P r R r a R R a + = = + = = + = + = = + − r P