量子力學 第一章:函数 杨焕雄 中国科学枝术大学物理学院近代物理系 September 22, 2019
量子力学 第一章：波函数 杨焕雄 中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@ustc.edu.cn September 22, 2019 1 / 140
实物粒子的动性 在 Planck-einstein无量子假设的启发下,面对Bohr关于原子结构 的旧量子论所取得的成功和国难, de broglie于1923年大胆猜测 静止质量不为零的实物粒子也具有波粒二象性.与动量为p 能量为E=P2/2m的自由运动粒子相联系的物质波是浅长A 频率为v的单色平面 入=b/P,=E/h 实验检验 ◎1927年,电子的波动性在 Davisson和 Germer的实验中率先 得到了证实 后来,人们又在实验上观测到了分子和中子的波动性 1999年, Arndt等人观测到了C6o分子束的行射现象
实物粒子的波动性 在 Planck-Einstein 光量子假设的启发下，面对 Bohr 关于原子结构 的旧量子论所取得的成功和困难，de Broglie 于 1923 年大胆猜测： 静止质量不为零的实物粒子也具有波粒二象性. 与动量为 p、 能量为 E “ p 2 {2m 的自由运动粒子相联系的物质波是波长 、 频率为 的单色平面波， “ h{p; “ E{h: 实验检验： 1 1927 年，电子的波动性在 Davisson 和 Germer 的实验中率先 得到了证实. 2 后来，人们又在实验上观测到了分子和中子的波动性. 3 1999 年，Arndt 等人观测到了 C60 分子束的衍射现象. 2 / 140
在 Arndt实验中,Co分子从约1000K的高温炉中升华出来,经 过两条准直狭縫射向一个贩收无栅. 100 nm diffraction Scanning photo- lonization stage o 10m 10 um detection Collimation slits
在 Arndt 实验中，C60 分子从约 1000K 的高温炉中升华出来，经 过两条准直狭缝射向一个吸收光栅. 3 / 140
在其行进过裎中,探测屏上记录下来的是一个一个的Co分子 而,随着到达探测屏上的C6如分子最目的增加,探测屏上逐 新出现了与经典洩动蚁缝干涉困象无异的行射图样
在其行进过程中，探测屏上记录下来的是一个一个的 C60 分子. 然而，随着到达探测屏上的 C60 分子数目的增加，探测屏上逐 渐出现了与经典波动双缝干涉图象无异的衍射图样. 4 / 140
1200 Arndt等的实验记录 摘自 M. Arndt et al. Nature 401(1999),680 w-spoO
Arndt 等的实验记录. 摘自： M. Arndt et al, Nature, 401(1999), 680. 5 / 140
Question:那么,应该如何理解微观粒子在双缝干涉中呈现出 来的洩动性呢? 经典粒子流的双实验: 设想有一挺机枪从远处向靶子盲目射击,机枪与靶之间有一堵子 弹不能穿透的墙,墙上有两个洞 Fig. 1-1. Interference experiment with bullets
Question： 那么，应该如何理解微观粒子在双缝干涉中呈现出 来的波动性呢 ? 经典粒子流的双缝实验： 设想有一挺机枪从远处向靶子盲目射击，机枪与靶之间有一堵子 弹不能穿透的墙，墙上有两个洞. 6 / 140
当只开放洞1时,靶上子弹的数密度分布为 P1=p1(x) 当只开放洞2时,靶上子弹的最密度分布为 P2=p2(x) ◎当两洞一齐打开时,穿过洞1的子弹与穿过洞2的子弹,各 不相干地一粒一粒打到靶子上.靶上子弹的数密度简单地等 12=P1+P2=p1(x)+p2(x) 子弹经过洞1(2)的运动轨道与洞2(1)的存在与否并无 关系
1 当只开放洞 1 时，靶上子弹的数密度分布为： P1 “ 1pxq 2 当只开放洞 2 时，靶上子弹的数密度分布为： P2 “ 2pxq 3 当两洞一齐打开时，穿过洞 1 的子弹与穿过洞 2 的子弹，各 不相干地一粒一粒打到靶子上. 靶上子弹的数密度简单地等 于： P12 “ P1 ` P2 “ 1pxq ` 2pxq 子弹经过洞 1（2）的运动轨道与洞 2（1）的存在与否并无 关系. 7 / 140
经典洩动的双缝实验 设想掷石头于水塘中产生水洩.波源与探测器之间有一堵不透水 的墙,墙上有两个小孔 SOURCE WALL ABSORBER Ii= h1+ Fig. 1-2. Interference experiment with water waves
经典波动的双缝实验： 设想掷石头于水塘中产生水波. 波源与探测器之间有一堵不透水 的墙，墙上有两个小孔. 8 / 140
◎当只开孔1时,设水波在探测器处高度的瞬时值为h1(x) 则探测器处水的强度为h(x)=|h1(x) ◎当只开孔2时,设水洩在探测器处高度的瞬时值为hz(x)如 则探测器处水波的强度为l(x)=|h2(x)2 ◎两孔齐开时,穿过两扎的水波之间会发生干涉现象.设分别 打开孔1和孔2时採测器所在处水波高度的瞬时值分别是 h1(x)和h2(x)一计,则两孔齐开时水洩的高度为 h12(x,t)=h1(x)-+h2(x)e-+ 其强度为 h12(x,t)=|12(x2t)2 h1(x)2+1h2(x)2+2Re[(x)h2(x) =l1(x)+h2(x)+21cos6 由于千涉项的影响,经典洩动的强度分布与经典粒子的数密 度分布大不相同.特别是 h12≠l1+l2
1 当只开孔 1 时，设水波在探测器处高度的瞬时值为 h1pxqe i!t， 则探测器处水波的强度为 I1pxq “ |h1pxq|2 : 2 当只开孔 2 时，设水波在探测器处高度的瞬时值为 h2pxqe i!t， 则探测器处水波的强度为 I2pxq “ |h2pxq|2 : 3 两孔齐开时，穿过两孔的水波之间会发生干涉现象. 设分别 打开孔 1 和孔 2 时探测器所在处水波高度的瞬时值分别是 h1pxqe ´i!t 和 h2pxqe ´i!t`i，则两孔齐开时水波的高度为： h12px; tq “ h1pxqe ´i!t ` h2pxqe ´i!t`i 其强度为： I12px; tq “ |h12px; tq|2 “ |h1pxq|2 ` |h2pxq|2 ` 2 Rerh ˚ 1 pxqh2pxqs “ I1pxq ` I2pxq ` 2 a I1I2 cos 由于干涉项的影响，经典波动的强度分布与经典粒子的数密 度分布大不相同. 特别是： I12 ‰ I1 ` I2 9 / 140
用嶶观粒子(如C0分子)做蚁缝实验,所观察到的物质洩强度 的行射图样与水波蚁扎干涉的强度分布图样并无二致.但物质波 的强度开不是什么美似于水洩强度那样的物理量,它只代表观测 屏上被測到的微观粒子的薮密度 「因 我们应该如何理解在双縫干涉实验中实物粒子所晨现出的这种洩 动粒子二重性呢? 物质波包观点 量子力学发晨初翔, Schrodinger和 de broglie等波动力学创始人 把微观粒子看作三维空间中某种连续分布的物质洩包,因此呈 现出实验上观察到的千涉、行射现象 波包的大小即微观粒子的大小 痰包的群速度即微观粒子的运动速度 ◎微观粒子在本质上是波、不是粒子
用微观粒子（如 C60 分子）做双缝实验，所观察到的物质波强度 的衍射图样与水波双孔干涉的强度分布图样并无二致. 但物质波 的强度并不是什么类似于水波强度那样的物理量，它只代表观测 屏上被测到的微观粒子的数密度. 困惑： 我们应该如何理解在双缝干涉实验中实物粒子所展现出的这种波 动粒子二重性呢 ？ 物质波包观点： 量子力学发展初期，Schrödinger 和 de Broglie 等波动力学创始人 把微观粒子看作三维空间中某种连续分布的物质波包，因此呈 现出实验上观察到的干涉、衍射现象. 1 波包的大小即微观粒子的大小. 2 波包的群速度即微观粒子的运动速度. 3 微观粒子在本质上是波、不是粒子. 10 / 140