北京理工大学理学院：《工程力学》教学资源_第十一章 应力应变分析

第十一章应力应变分析 本章研究一点处的应力状态应力 和应变是变形体力学中非常重要的 概念 主要内容如下

第十一章 应力应变分析 本章研究一点处的应力状态应力 和应变是变形体力学中非常重要的 概念。 主要内容如下：

第十一章应力应变分析 §11.1一点处的应力状态 §11.2应力张量的表示方法 §113平面应力状态 §114应力圆 §115三向应力状态 §1.6应变状态与平面应力状态对应的) §11.7应力应变关系

第十一章 应力应变分析 §11.1 一点处的应力状态 §11.2 应力张量的表示方法 §11.3 平面应力状态 §11.4 应力圆 §11.5 三向应力状态 §11.6 应变状态(与平面应力状态对应的) §11.7 应力应变关系

§111一点处的应力状态 内力是截面上的分布内力的等效力系 载荷集度^称为△上 的平均应力 AO△R 将△分解为与法向 和切向的力△N△Q △A△N

§11 .1 一点处的应力状态 内力是截面上的分布内力的等效力系 A A R   → 载荷集度 称为 上 的平均应力 → Q →  N → 将  分解为与 R 法向 和切向的力 ， A M A → Q →  R →  N n

内力与应力的概念

内 力 与 应 力 的 概 念

则△称为正应力(法向应力) △A A称为剪应力(切应力) M点在截面上的正应力G=mAN △4→>0△A M点在截面上的剪应力z=m2Q

A N   则 称为正应力（法向应力） A Q   称为剪应力（切应力） A N A   =  →  0 M点在截面上的正应力  lim A Q A   =  →  0 M点在截面上的剪应力  lim

应力的量纲 N,=Pa N m Mra/mm 2=10Pa GPa KN2=10°Pa mm

应力的量纲 Pa m N 2 = MPa 10 Pa mm N 6 2 = GPa 10 Pa mm KN 9 2 =

一点处所有各方位截面上的应力的集合称 为该点的应力状态,一点处的应力与其集 度m及的法向相关因此可用两个并 在起的矢量表示注旦在不同的坐标系 中满足一点的坐标转换关系,这在数学上 成为张量,描述应力的张量称为应力张量

→ → a b → A A n R A   →  →0 lim 一点处所有各方位截面上的应力的集合称 为该点的应力状态，一点处的应力与其集 度 以及 的法向 相关,因此可用两个并 在一起的矢量 表示,并且在不同的坐标系 中满足一点的坐标转换关系，这在数学上 成为张量，描述应力的张量称为应力张量

§11.2应力张量的表示方法 取一包围该点的微元体(单元体) 其各棱边相互垂直,各棱边的长分 别为d,hy,dz dx

§11.2 应力张量的表示方法  zz  zy  zx  yz  yx  yy  xz  xy  xx dx dx,dy,dz 取一包围该点的微元体（单元体） 其各棱边相互垂直，各棱边的长分 别为

由于单元体很小其上的应力可看作均匀 分布各面上的应力可用3*3的矩阵表示 6666 66乎 RT T x 或|TxGy ay O

          z x z y z z yx yy yz xx xy xz                    z x z y z yx y yz x xy xz          或 由于单元体很小其上的应力可看作均匀 分布各面上的应力可用3*3的矩阵表示

0(ij=123)应力分量应力张量。 按上述约定假设应力的方向对正应力, 则是拉应力为正。 考虑单元体力矩对轴的平衡方程有 (不考虑体力偶) dy dx 2Iu dxdz+2T, , dydz=0 2

 ij （i,j=1,2,3）应力分量,应力张量。 按上述约定假设应力的方向对正应力， 则是拉应力为正。 考虑单元体力矩对轴的平衡方程有： （不考虑体力偶） 0 2 2 2 − 2 + = dx dydz dy dxdz yx xy  