北京理工大学理学院：《工程力学》教学资源_§ 3.5 刚体的复合运动

工程力学(C) 北京理工大学理学队力学系韩斌

工程力学（C） 北京理工大学理学院力学系 韩斌 (9)

§35刚体的复合运动 讨论同一刚体在不同参考系(定系和动系)中的运动 学量(角速度、角加速度)之间的关系。 设刚体的绝对运动为平面运动,所选择的动系牵连运 动也为平面运动,则刚体的相对运动也为平面运动。 1.刚体的角速度、角加速度合成关系 刚体在不同参考系中方位角的定义 任意时刻方位角之间有 0()=()+,(t)(3,23) 求导得9a=9e+qr q 即得角速度合成关系 a O=0+0(3.24)= pe O.=0+O(3.25)

§ 3.5 刚体的复合运动 讨论同一刚体在不同参考系（定系和动系）中的运动 学量（角速度、角加速度）之间的关系。 设刚体的绝对运动为平面运动，所选择的动系牵连运 动也为平面运动，则刚体的相对运动也为平面运动。 1. 刚体的角速度、角加速度合成关系 A B x y O a x’ y’ O’ r e 任意时刻方位角之间有 (t) (t) (t) a =e +r (3.23) 求导得 a e r  =  +  角速度合成关系 a e r a e r          = + = + (3.24) (3.25) 即得 刚体在不同参考系中方位角的定义

对(3.25)式求导:doa=d dt di a da 而 dt 利用(31)式,并注意到O。∥o do do +×.=a 即角加速度合成关系 C.=.+C (3.26) 2刚体平面运动的分解分解为平动+定轴转动 任选一个动系,则绝对运动为平面运动的刚体可分解为 绝对运动(平面运动)=牵连运动+相对运动 其中牵连与相对运动各为何种运动,取决于动系的运动

对（3.25）式求导： dt d dt d dt da e r    = + 而 dt d dt d e e a a         = , = e r r r r dt d dt d           = +  = ~ 利用（3.1）式，并注意到 e r   // 0 2.刚体平面运动的分解——分解为平动+定轴转动 任选一个动系，则绝对运动为平面运动的刚体可分解为 绝对运动（平面运动）= 牵连运动 + 相对运动 其中牵连与相对运动各为何种运动，取决于动系的运动。 a e r    即 角加速度合成关系 = + (3.26)

若选择一个特殊的动系 B 动系原点O与刚体上的一点 /xA铰接,动系以点A的运动规 律作平动,则有 07777 刚体的绝对运动—平面运动 动系的牵连运动与点A相同规律的平动=0,c2=0 刚体的相对运动绕A轴的定轴转动 根据刚体角速度、角加速度合成关系有D=0n=a 若选取刚体上的点B为动点,则由速度合成关系 'Ba =vBe tvBr=VA +ar XrBA (1)

若选择一个特殊的动系—— 动系原点O’与刚体上的一点 A铰接，动系以点A的运动规 律作平动，则有 y’ x’ O x y A B BA r  刚体的绝对运动——平面运动 动系的牵连运动——与点A相同规律的平动 刚体的相对运动——绕A轴的定轴转动 e = 0,e = 0   根据刚体角速度、角加速度合成关系有 a r a r     = , = 若选取刚体上的点B 为动点，则由速度合成关系 Ba Be Br A r BA v v v v r       = + = +  (1)

若选取刚体上的点B为动点,则由速度合 成关系 Ba Be B V4+O, A Ba (1) 又,在定系中,根据AB两点速度关系 =1+1 Ba V4+a×VBA(2) 考虑到O=0,,故两式完全相同。 动点B加速度合成关系aBn=Be+aBr+%h aBn=a4+d,xB1+0,x(0,×) B (3) 定系中AB两点加速度关系 BA A a=a ta BA BA a+a X Fn+b.×(0 Ba Ba )(4) 同样,两式完全相同

若选取刚体上的点B 为动点，则由速度合 成关系 Ba Be Br A r BA v v v v r       = + = +  (1) 又，在定系中，根据AB两点速度关系 B A BA A a BA v v v v r       = + = +  （2） 考虑到 a r ，故两式完全相同。   = 0 定系中AB两点加速度关系 ( ) A a BA a a BA n B A BA BA a r r a a a a           = +  +   = + +     (4) aBa aBe aBr aBc     动点B加速度合成关系 = + + (3) ( ) A r BA r r BA n A Br Br a a a a r r          = + + = +  +     同样，两式完全相同。 y’ x’ O x y A B BA r 

3.一种刚体平面运动的特殊形式可分解为两个 定轴转动的合成 若平面图形S的运动满足: S)S上一点A距定系中某固定 点O距离始终不变(即A 点绝对运动轨迹为圆) 可取动系固连于OA连线(动系绕O轴定轴转动), 则S的相对运动为绕A轴的定轴转动 由于O轴∥轴,故分解为绕两平行轴转动的合成 其中特例:若O=-0,则根据角速度合成关系有0=0+0,=0 刚体此种特殊的运动称为转动偶

3.一种刚体平面运动的特殊形式——可分解为两个 定轴转动的合成 x y A O S x’ y’ 若平面图形S的运动满足： S上一点A距定系中某固定 点O距离始终不变（即A 点绝对运动轨迹为圆）， 可取动系固连于OA连线（动系绕O轴定轴转动）， 则S的相对运动为绕A轴的定轴转动。 由于O轴//A轴，故分解为绕两平行轴转动的合成。 其中特例：若 e = −r 则根据角速度合成关系有 = + = 0 a e r 刚体此种特殊的运动称为转动偶

转动偶

利用刚体的复合运动解题的注意事项 L刚体的复合运动给出的是刚体的整体运动学量 刚体的角速度、角加速度的合成关系。 2常见的各种轮系机构、行星传动机构可利用刚体的 复合运动观点进行求解。 3在某一参考系中作定轴转动的定轴轮系机构的传动, 两相互接触的齿轮或带轮角速度之间满足关系: R其中,z为齿数,R为轮子半径。 4求解过程中,常同时利用点的复合运动关系式(如 动点的速度合成关系、加速度合成关系)

利用刚体的复合运动解题的注意事项 2.常见的各种轮系机构、行星传动机构可利用刚体的 复合运动观点进行求解。 1.刚体的复合运动给出的是刚体的整体运动学量—— 刚体的角速度、角加速度的合成关系。 4.求解过程中，常同时利用点的复合运动关系式（如 动点的速度合成关系、加速度合成关系）。 3.在某一参考系中作定轴转动的定轴轮系机构的传动， 两相互接触的齿轮或带轮角速度之间满足关系： 1 2 1 2 2 1 R R z z = =   其中，zi为齿数，Ri为轮子半径

例题 §3复合运动 例题10 行星齿轮减速机构如图所 Ⅲ 示,作定轴转动的齿轮I,同 Ⅳ 啮合于固定内齿轮Ⅲ的行星齿 工 L 轮Ⅱ,带动系杆Ⅳ(OA)转动。 4 已知各齿轮的齿数分别是 19 z2和3。假定齿轮I角速度的 大小是o1,转向沿逆钟向,试 求系杆Ⅳ即OA的角速度O4

行星齿轮减速机构如图所 示，作定轴转动的齿轮Ⅰ，同 啮合于固定内齿轮Ⅲ的行星齿 轮Ⅱ，带动系杆Ⅳ(OA)转动。 已知各齿轮的齿数分别是z1， z2和z3。假定齿轮Ⅰ角速度的 大小是ω1 ，转向沿逆钟向，试 求系杆Ⅳ即OA的角速度ω4 。 ω1 Ⅰ Ⅱ O A ω4 Ⅲ Ⅳ ω1 ω4 例 题 10 §3 复合运动  例题

例题 §3复合运动 例题10 行星轮机构

例 题 10  例题 §3 复合运动 ω1 Ⅰ Ⅱ O A ω4 Ⅲ Ⅳ ω1 ω4