工程力学(C) (下册) (29) 北京理工大学理学队力学系韩斌
工程力学（C） 北京理工大学理学院力学系 韩斌 ( 29) （下册）
§15能量法 §15.1弹性变形势能及功能原理 弹性变形能(应变能) 构件由于发生弹性变形而储存的能量(如同 弹簧),表示为V 单位:1J=1Nm 变形体的功能原理 弹性范围内,构件受静载外力产生变形的过 程中,能量守恒,即:外力功=变形能 略去动能及能量损耗→W=V(15.1)
§15 能量法 §15.1 弹性变形势能及功能原理 弹性变形能（应变能） 单位：1J=1N·m ——构件由于发生弹性变形而储存的能量（如同 弹簧）, 表示为 V 。 变形体的功能原理 ——弹性范围内，构件受静载外力产生变形的过 程中，能量守恒，即： 外力功=变形能 W =V 略去动能及能量损耗 (15.1)
意了静载外力从缓慢增加到终值F1 外力作用点的位移从0增加到A1 外力功W rAEd△ (15.2) 53 对线弹性、小变形:W=F4(15 2 F F=F(4 F 任意受力构件 线弹性、小变形结构
F1 1 注意 外力从0缓慢增加到终值F1 外力作用点的位移从0增加到1 静载—— F F=F() O 1 F1 d dF 任意受力构件 F O W =V F1 1 线弹性、小变形结构 对线弹性、小变形： 1 1 2 1 W = F (15.3) = 1 0 外力功 W Fd (15.2)
设结构中的广义力、广义位移分别为F,△,则 W=∑FA (15.4) 其中,广义位移4是与广义力F相应的 F M
F1 M F2 设结构中的广义力、广义位移分别为 Fi , i ，则 i i i V =W = F 2 1 (15.4) 其中，广义位移 i 是与广义力 Fi 相应的
1轴向拉压的应变能 F2l 2EA 轴力沿变化: F(x)dx 2EA (15.5) ∑ F 对桁架结构 72E1A 2扭转应变能 T TI 2G1, (15.6) d x 2Gl
1.轴向拉压的应变能 l l EA F l V F l N N 2 2 1 2 = = 轴力沿x变化： = l N EA F x dx V 2 ( ) 2 对桁架结构： = i i i Ni i E A F l V 2 2 (15.5) 2.扭转应变能 T T l GIP T l V T 2 2 1 2 = = dx GI T x V l P = 2 ( ) 2 (15.6)
3弯曲应变能(一般可略去剪力引起的剪切应变能) (-) dx Mdx dv=Mdo=M p EI p EI dx M d8 M M2(x) x (15.7) I 2El 各种基本变形的应一内力面 变能统一表达式: 6J2(刚度) (15.8) 拉压扭转弯曲 内力FTM 刚度EA GI El
3.弯曲应变能 (一般可略去剪力引起的剪切应变能) dx EI M x V l = 2 ( ) 2 (15.7) 各种基本变形的应 变能统一表达式： V dx l = （刚度） 内力） 2 ( 2 (15.8) 拉压 扭转 弯曲 内力 FN T M 刚度 EA GIP EI EI dx M dx dV Md M 2 = = = EI M = 1 M M d M M dx
4组合变形应变能 组合变形分解为各基本变形后(互不偶合), 分别计算并求和: F2④+/(+ M( tx(15) 2EA 2G1 2EI 注意、应变能与内力(或载荷)不是线性关 系,故多个载荷作用时,求应变能不 可随意用叠加法
应变能与内力（或载荷）不是线性关 系，故多个载荷作用时，求应变能不 可随意用叠加法。 注意 4.组合变形应变能 组合变形分解为各基本变形后（互不偶合）， 分别计算并求和： dx EI M x dx G I T x dx EA F x V l l P l N = + + 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 (15.9)
例题 例题15-1 §15能量法 直杆AC,作用了轴向力F=P,F2=2P,求 B (1)全部外力作的总外力功 F(2)若先加F,再加F2,计算总外力功 C (3)若先加F2,再加F,计算总外力功 F2(4)计算F,F2共同作用下杆的总变形能 (5)分别计算F1和F2单独作用时杆的应变能 设杆的EA已知
例 题 15-1 §I5 能量法 例题 A B C F1 F2 a a 直杆AC，作用了轴向力F1 =P，F2 =2P，求： （1）全部外力作的总外力功 （2）若先加F1 ，再加F2 ，计算总外力功 （3）若先加F2 ，再加F1 ，计算总外力功 （4）计算F1 ，F2 共同作用下杆的总变形能 （5）分别计算F1 和 F2单独作用时杆的应变能 设杆的EA已知
例题 例题15-1 §15能量法 解:1.二力共同作用的总外力功 3P f a2 f+-f1 2 B B BPa a 2P EA C 3Pa 2Pa 5pa AB EAEA EA 1 3Pa 5Pa 33p4a W=-·P+-2P 2 EA 2 EA 2EA
例 题 15-1 §I5 能量法 例题 A B C F1 F2 a a 解：1.二力共同作用的总外力功 W Fi i F1 B F2 C 2 1 2 1 2 1 = = + 3P 2P EA Pa l B AB 3 = = EA Pa EA Pa EA Pa l l C A B B C 3 2 5 = + = + = EA P a EA Pa P EA Pa W P 2 5 13 2 2 3 1 2 1 2 = + =
例题 例题15-1 §15能量法 2先加F,再 加F2的外力功 B B 2P Pa A2(F1)= EA a 2P.2a 4(F2) EA 2P EA W 1 Pa 1- 2P.2a 2Pa 13P4a F,=+ +f 2E42 EA EA 2EA 静载(变力)作功常力作功
例 题 15-1 §I5 能量法 例题 A B C F2 a a 2.先加F1 ，再 加F2的外力功 EA P a EA Pa F EA P a F EA Pa W F 2 2 2 2 13 2 1 2 1 2 1 1 2 + 1 = = + A B C F1 a a P 2P 静载(变力)作功 常力作功 F1 EA Pa B (F1 ) = EA P a C F 2 2 ( ) 2 = EA P a B F = 2 ( ) 2