北京理工大学理学院：《工程力学》教学资源_§19.3 动能定理

工程力学(C) (下册) (35) 北京理工大学理学队力学系韩斌

工程力学（C） 北京理工大学理学院力学系 韩斌 ( 35 ) （下册）

§193动能定理 动能定理—质点或质点系的动能改变量与作用力的 功之间的数量关系。 1.质点的动能定理 d 由牛顿第二定律有m F两边点乘vd dt d节 d·Fnd=F·dr dt 左端=md=d(m,i)=dm2|=d7 2 右端=F,dF=dW(作用于质点上的 合力F的元功) 质点动能定理的微分形式|d7=dW(19.21) 质点动能的微分等于作用于质点上的合力的元功

§19.3 动能定理 1. 质点的动能定理 动能定理——质点或质点系的动能改变量与作用力的 功之间的数量关系。 F t v m   = d d 由牛顿第二定律有 r F t v v t m      = d  d d d mv v (mv v ) mv dT 2 1 d d 2 1 d 2  =      =  =  =     左端 = F dr = dW   右端 （作用于质点上的 合力 F 的元功）  质点动能定理的微分形式 dT = dW (19.21) 质点动能的微分等于作用于质点上的合力的元功 mv v F r     d = d 两边点乘 vdt  m F  v 

质点动能定理的微分形式|d7=dW(19.21) 或写为dW dt dt 若质点从t1一t2,沿路径L从位 置1—位置2,则有: 2-=JT=∫aW=JFD=2 质点动能定理 的微分形式 W2(1922 质点在某一运动过程中动能的改变量等于作用 于质点上的合力在同一运动过程中所作的功

质点动能定理的微分形式 dT = dW (19.21) dt d W dt dT  或写为 = F m  v  1 v  1 t 2 v  2 t L 若质点从 — ，沿路径L从位 置1—位置2，则有： 1 t 2 t 12 2 1 T2 T1 dT d W F dr W L L    − = =  =  =   T2 −T1 =W12 质点动能定理 (19.22) 的微分形式 质点在某一运动过程中动能的改变量等于作用 于质点上的合力在同一运动过程中所作的功

2.质点系的动能定理 对质点系中每个质点,都有式(921)成立 求和 dt=dw dw ∑T=∑dW 质点系动能定理的微分形式dT=∑dW(0.23) 质点系动能的微分等于作用于质点系上的 全部力(外力和内力)的元功的代数和

2. 质点系的动能定理 对质点系中每个质点，都有式(19.21)成立: dTi d Wi =  i n i dT d W 1 =   = 质点系动能定理的微分形式 (19.23) 质点系动能的微分等于作用于质点系上的 全部力（外力和内力）的元功的代数和 i n i i n i dT d W 1 1  =   = = 求和 i n i i n i d T d W 1 1 =            = = i n i T  T = = 1 令

设在时间1-t2的过程中,质点系发生了某一运动 12为运动过程中质点系的所有外力所作的功; W1②为运动过程中质点系的所有内力所作的功, 对式(923)积分得到 质点系动能定理的积分形式 2-71=W12=W42+1(1924) 质点系的动能在某一运动过程中的改变量等于 作用于质点系的所有外力和内力在同一运动过 程中所作的功的代数和

设在时间 t 1 — t 2 的过程中，质点系发生了某一运动， (e) W12 为运动过程中质点系的所有外力所作的功； (i) W12 为运动过程中质点系的所有内力所作的功， 对式(19.23)积分得到： ( ) (i) 1 2 e T2 −T1 =W1 2 =W1 2 +W 质点系动能定理的积分形式 (19.24) 质点系的动能在某一运动过程中的改变量等于 作用于质点系的所有外力和内力在同一运动过 程中所作的功的代数和

质点系动能定理的微分形式dT=∑dW1|(1923) 质点系动能定理的积分形式 -71=W12=WB+W1(.24) 注意 以上式中右端的功是全部外力和全部内力的功 般,系统的内力总是成对(大小相等,方 向相反)出现,故内力作功之和为零; 但也有成对的内力作功之和不为零,如: 系统内的弹簧力,摩擦力等

( ) (i) 1 2 e T2 −T1 =W1 2 =W1 2 +W 质点系动能定理的积分形式 (19.24) i n i dT d W 1 =   = 质点系动能定理的微分形式 (19.23) 注意 以上式中右端的功是全部外力和全部内力的功 一般，系统的内力总是成对（大小相等，方 向相反）出现，故内力作功之和为零； 但也有成对的内力作功之和不为零，如： 系统内的弹簧力，摩擦力等

3.质点系的力之功的计算(复习上册§8.3) dW=∑aW=∑ dr (1)重力的功 h 重力的元功:dW=-mg 从位置1到位置2 重力作的有限功: mg W=mgh

3. 质点系的力之功的计算（复习上册§8.3）   =  L i i W F dr   12 （1）重力的功 z h 1 2 C mg W d W F r i i i i   d =   =  d dW = −mgdz W12 = mgh 重力的元功： 从位置1 到位置2 重力作的有限功：

(2)弹性力的功弹簧刚度系数,原长l 伸长量=l-l0 弹性力的元功: 位置1 dw=-kndn 位置2 从位置1到位置2, 弹性力作的有限功: F=k(-) k W12=k(42-2) 2 任意位置

（2）弹性力的功 0 伸长量  = l −l 弹簧刚度系数k，原长 0 l 1 l 位置1 2 l 位置2 弹性力的元功： dW = −kd 从位置1 到位置2 ， 弹性力作的有限功： ( ) 2 1 2 2 2 W12 = k 1 −  1 1 0  = l −l 2 2 0  = l −l l 任意位置 k F k l l t = = ( − ) 0

(3)约束力的功 对于理想约束,约束力均不作功(如:固 定光滑曲面约束,不可伸长柔绳的约束, 光滑固定铰支座,光滑的中间铰,纯滚动 时接触点的摩擦力和法向反力)

（3）约束力的功 对于理想约束，约束力均不作功（如：固 定光滑曲面约束，不可伸长柔绳的约束， 光滑固定铰支座，光滑的中间铰，纯滚动 时接触点的摩擦力和法向反力）。 D O A

(4)作用在刚体上的主动力系的功 设刚体受力系F作用,作平面运动 元功和有限功的计算方法1 dW=∑Fm2=∑F I 元功和有限功的计算方法2:任选A点 力系的主矢F=∑F 力系对A点的主矩M1=∑mA(F) dW=F·c4+MAdq 12 F2·c+Md

（4）作用在刚体上的主动力系的功 设刚体受力系 Fi 作用，作平面运动  =  i FR Fi   力系的主矢 力系对A点的主矩 ( )i i M A mA F  =  i i i d W F dr    =   i i L i W F dr   =  12  元功和有限功的计算方法 1 ： 元功和有限功的计算方法 2 ： 任选A点 dW = FR drA + M A d   W FR drA MA d   =  + 2 1 2 1 12   Fi  A d A dr 