工力学(C) (下册) (38) 北京理工大学理学队力学系韩斌
工程力学（C） 北京理工大学理学院力学系 韩斌 ( 38) （下册）
§207动力学基本定理的综合应用 动力学基本定理包括:动能定理,动量定理(质心 运动定理)及动量矩定理。 重点:综合应用基本定理求解平面运动的刚体系统 的动力学问题。 难点:针对具体问题,选择适当的求解思路,应 用适当的定理,使求解过程尽量简洁。 解题指导: 1基本定理中涉及的各基本物理量(动能、动量、 动量矩、转动惯量等)要概念清楚,能正确地进 行计算
§20.7 动力学基本定理的综合应用 动力学基本定理包括：动能定理，动量定理（质心 运动定理）及动量矩定理。 重点：综合应用基本定理求解平面运动的刚体系统 的动力学问题。 难点：针对具体问题，选择适当的求解思路，应 用适当的定理，使求解过程尽量简洁。 解题指导： 1.基本定理中涉及的各基本物理量（动能、动量、 动量矩、转动惯量等）要概念清楚，能正确地进 行计算
2深刻理解各基本定理的特点,根据所求解的 具体问题,适当选用定理。 动能定理—标量方程,仅可求未知量大小 仅与作功的力有关(作功的有外 力也可有内力) 动量定理质心运动定理 矢量方程(可列投影方程),可求未知量大小 和方向 只与外力系的主天有关
2.深刻理解各基本定理的特点，根据所求解的 具体问题，适当选用定理。 动能定理 ——标量方程，仅可求未知量大小 ——仅与作功的力有关（作功的有外 力也可有内力） 动量定理 质心运动定理 ——矢量方程（可列投影方程），可求未知量大小 和方向 ——只与外力系的主矢有关
动量矩定理 本质为矢量方程,但对作平面运动的研究对象 为一标量方程 矩心选固定点或刚体的质心,方程形式最简单 动量守恒、质心运动守恒、动量矩守恒 各有其成立的条件,可用于求解系统的运动状态 3选用定理的基本原则 (1)正确分析系统的受力,首先判断是否满足某个 守恒定律(包括是否在某投影轴上满足守恒定律) 根据相应守恒定律求出未知运动学量(速度、角速 度或位移)
动量矩定理 ——本质为矢量方程，但对作平面运动的研究对象 为一标量方程 ——矩心选固定点或刚体的质心，方程形式最简单 动量守恒、质心运动守恒、动量矩守恒 ——各有其成立的条件，可用于求解系统的运动状态 3.选用定理的基本原则 （1）正确分析系统的受力，首先判断是否满足某个 守恒定律（包括是否在某投影轴上满足守恒定律）， 根据相应守恒定律求出未知运动学量（速度、角速 度或位移）
(2)求约束力的问题,一般不能选用动能定理 (理想约束力不作功),可用其他几个定理。 (3)当作用力是时间的函数时,优先考虑用动量 定理或动量矩定理求速度或角速度,当作用力是 路程的函数或力的功容易计算时,优先考虑用动 能定理求速度或角速度。 (4)单自由度系统:速度(角速度)和加速度 (角加速度)可用动能定理的积分和微分形式求; 进一步求约束力可用其他定理。 (5)若求加速度或角加速度,对质点系可用动量 或质心运动定理;对定轴转动刚体,可用对转轴 的动量矩定理;对一般平面运动刚体,可同时选 用质心运动定理和对质心的动量矩定理
（2）求约束力的问题，一般不能选用动能定理 （理想约束力不作功），可用其他几个定理。 （3）当作用力是时间的函数时，优先考虑用动量 定理或动量矩定理求速度或角速度，当作用力是 路程的函数或力的功容易计算时，优先考虑用动 能定理求速度或角速度。 （4）单自由度系统：速度（角速度）和加速度 （角加速度）可用动能定理的积分和微分形式求； 进一步求约束力可用其他定理。 （5）若求加速度或角加速度，对质点系可用动量 或质心运动定理；对定轴转动刚体，可用对转轴 的动量矩定理；对一般平面运动刚体，可同时选 用质心运动定理和对质心的动量矩定理
(6)研究对象的选取:单自由度系统用动能定 理时及不需求系统内部相互作用力时,可选整体 为研究对象;求系统内部的相互作用力时,可切 取适当分离体为研究对象。 (7)列动力学基本定理的方程时,常涉及多个 运动学量(如某点速度、加速度,某刚体的角速 度、角加速度),需要列出运动学补充方程(如 利用两点速度关系、两点加速度关系,速度合成 关系、加速度合成关系角速度合成关系、角加速 度合成关系);有时还需补充力的某些条件。 (8)对于刚体系统,求解时首先分析清楚各刚体 的运动状态(平移、定轴转动、一般平面运动)
（6）研究对象的选取：单自由度系统用动能定 理时及不需求系统内部相互作用力时，可选整体 为研究对象；求系统内部的相互作用力时，可切 取适当分离体为研究对象。 （7）列动力学基本定理的方程时，常涉及多个 运动学量（如某点速度、加速度，某刚体的角速 度、角加速度），需要列出运动学补充方程（如 利用两点速度关系、两点加速度关系，速度合成 关系、加速度合成关系,角速度合成关系、角加速 度合成关系）；有时还需补充力的某些条件。 （8）对于刚体系统，求解时首先分析清楚各刚体 的运动状态（平移、定轴转动、一般平面运动）
例题 §20动量原理 例题20-7 图示均质细杆AB质量为m,长为L,其B端与光滑水平 面接触,初始时杆与铅垂线的夹角为。试求杆无初 速度释放的瞬间水平面对杆的约束力。 A 解:对杆进行受力分析: 建立图示直角坐标系Oxyz C 杆受重力和地面支持力, 由于F=0,且初始vc=0 根据质心运动守恒,有 B 常数 即质心沿铅垂线运动:=20()
例 题 20-7 §20 动量原理 例题 图示均质细杆AB质量为m,长为L,其B端与光滑水平 面接触,初始时杆与铅垂线的夹角为 。试求杆无初 速度释放的瞬间,水平面对杆的约束力。 0 y o x 对杆进行受力分析： 建立图示直角坐标系 Oxyz 解: C B A FN 杆受重力和地面支持力， mg 0 ( ) F = e Rx = 0 C v 由于 ，且初始 xC =常数 根据质心运动守恒，有 cos 2 l y 即质心沿铅垂线运动： C = (1)
例题 §20动量原理 例题20-7 cos(1)对时间求导 l si lsin . I la lo pp- Cospp=-sin cos pp 将初瞬时=90O=0,代入得初瞬时质心 y方向加速度: SIn 由质心运动定理:m71=m8(8)9%n 对质心C的动量矩定理 mg ml y 0 F·-Snqo
例 题 20-7 §20 动量原理 例题 cos 2 sin 2 cos 2 2 sin 2 2 l l l l y C = − − = − − 0 0 2 sin 12 2 1 l ml FN = (4) 2 cos 对时间求导： l yC = (1) 将初瞬时 ,代入得初瞬时质心 y方向加速度： =0 , = 0 0 (2) 0 0 sin 2 l y C = − 由质心运动定理： y o x C B A FN mg m y C0 = FN − mg (3) 2 lsin yC = − 对质心C的动量矩定理
例题 §20动量原理 例题20-7 CO 1a0 sin po mico=FN-mg 3 mao=F·Sm(4) 联立(2)(3)(4)解得: C N 1+3sm"Do (个) mg gsN o (1+3sn2(0) () y
例 题 20-7 §20 动量原理 例题 y o x C B A FN mg 联立 (2)(3)(4)解得： 0 (2) 0 0 sin 2 l y C = − m y C0 = FN − mg (3) 0 0 2 sin 12 2 1 l ml FN = (4) l g mg FN (1 3sin ) 6 sin 1 3sin 0 2 0 0 0 2 + = + = （） （）
例题 §20动量原理 例题20-8 位于铅垂平面的均质杆AB和BD, 长度均为L,重量都是P,杆AB 的A端固定铰支,B端与杆BD铰 接。杆BD的D端与可铅垂滑动的 滑块D铰接。今用一细绳将B点拉 住,使杆AB和BD位于同一直线上 该直线与水平面间的夹角为309, 300 系统保持平衡各处摩擦和滑块D 的质量与大小略去不计。 试求(1)剪断绳子瞬时,滑槽对于滑块D的约束力 (2)杆AB运动至水平位置时杆AB的角速度
例 题 20-8 §20 动量原理 例题 位于铅垂平面的均质杆AB和BD, 长度均为L，重量都是P，杆AB 的A端固定铰支，B端与杆BD铰 接。杆BD的D端与可铅垂滑动的 滑块D铰接。今用一细绳将B点拉 住,使杆AB和BD位于同一直线上, 该直线与水平面间的夹角为 ， 系统保持平衡,各处摩擦和滑块D 的质量与大小略去不计。 30 试求（1）剪断绳子瞬时,滑槽对于滑块D的约束力 （2）杆AB运动至水平位置时,杆AB的角速度 0 30 D B A