北京理工大学理学院：《工程力学》教学资源_§11 轴向拉压

工程力学(C) (24) 北京理工大学理学队力学系韩斌

工程力学（C） 北京理工大学理学院力学系 韩斌 ( 24 )

§11轴向拉压 §11.1轴向拉压的应力和变形 1轴向拉压时的应力 F 外力:沿杆件轴线作用的外力 轴向拉压 分布内力 内力:横截面上的轴力F系的等效 横截面上内力的分布如何?

§11 轴向拉压 §11.1 轴向拉压的应力和变形 1.轴向拉压时的应力 F F 轴向拉压 外力：沿杆件轴线作用的外力 内力：横截面上的轴力FN 分布内力 系的等效 横截面上内力的分布如何？

观察实验:杆件拉伸时的变形

观察实验：杆件拉伸时的变形  FN=A

轴向拉压时的平截面假设: (1)变形前的横截面变形后仍为平面,仍垂直 于杆的轴线。 (2)纵向纤维互不挤压。一单向受力假定。 由此得出轴向拉压横截面正应力公式: F (11.1) 若轴力或横截面积沿轴线变化F、=FN(x),A=4x) 阶梯杆 锥形杆 o(x)=(x) 1.2) A(x)

轴向拉压时的平截面假设： （1）变形前的横截面变形后仍为平面，仍垂直 于杆的轴线。 （2）纵向纤维互不挤压。  P FN=A 由此得出轴向拉压横截面正应力公式： A FN  = （11.1） 若轴力或横截面积沿轴线变化FN=FN(x), A=A(x) ----单向受力假定。 ( ) ( ) ( ) A x F x x N 阶梯杆  = (11.2) 锥形杆

P 拉压正应力公式的适用范围:除集中力作用点附近 圣维南原理 c 轴向拉压单元体的应力分析: a面上的应力: O=-+-cos 2a=ocos a I =sin 2a= o sin a cos a 2 当o=0时,C a. max 0aa=006 O 当=45时,tmx=ta=45 22A

P P 拉压正应力公式的适用范围： 圣维南原理 除集中力作用点附近 轴向拉压单元体的应力分析： A FN  =      面上的应力：               sin 2 sin cos 2 cos 2 cos 2 2 2 = = = + = 当=0时， A FN  ,max = ,=0 = = 当=45º时， A FN 2 2 ,max = , =4 5 = =      

2轴向拉压时的变形 由广义胡克定律 E.(13) E EA 变形仅为沿杆轴的尺寸变化及横向尺寸变化 P F 杆件的纵向伸长量 M/=4(M)=at=( EA (11.4)

2.轴向拉压时的变形 由广义胡克定律：   x y z P P l l 变形仅为沿杆轴的尺寸变化及横向尺寸变化 杆件的纵向伸长量 y z x x N x EA F E       = = , = = − （11.3）     =  = = l N l x l EA F dx l d( l)  dx （11.4）

若沿整个杆件,F=常数,EA=常数,则 Fl △ (11.5) EA EA杆件的拉压刚度△的符号与F相同 若沿整个杆件F或E,A为分段常数 393 F EA 22 l2 Fa.l ∑ (11.6) EA

若沿整个杆件，FN=常数，EA=常数，则 EA F l l N  = （11.5） EA——杆件的拉压刚度 l 的符号与FN相同 若沿整个杆件FN或 E，A为分段常数  =  i i i Ni i E A F l l (11.6) l l FN FN l1 l2 l3 E1 ,A1 E2 ,A2 E3 ,A3 FN FN

例题 例题1 §11轴向拉压 已知:P=4KN 2P P P E=210GPa d=10mm C 1,=l,=100mm 求△ AC 解:画轴力图 N AB段轴力:F1=P P AB段变形: (伸长) 4×103×10 0.0024mm EA EA 210×103×2×102

已知： P = 4KN l 1 = l 2 =100mm d =10mm E = 210GPa AC 求 l 解：画轴力图 AB段轴力: FN1 = P m m EA Pl EA F l l N 0.0024 10 4 210 10 4 10 10 ( ) 3 2 3 2 1 1 1 1 =       = = =  伸长 d A B C P P 2P 1 l 2 l 例 题 1 §11 轴向拉压  例题 ( ) FN P P AB段变形：

例题 例题1 s11轴向拉压 2P P P C P BC段轴力:FN2=-P P P BC段变形:N12B=B(实际缩短)=-0004m N22 由于M=Xh △ln=△1+△2=0 EA AC

BC段轴力: FN2 = −P 由于  =  l AC = l 1 + l 2 = 0 i i Ni i E A F l l d A B C P P 2P 1 l 2 l 例 题 1 §11 轴向拉压  例题 ( ) FN P P m m EA Pl EA F l l N ( ) 0.0024 2 2 2 2 = − − BC段变形：  = = 实际缩短

例题 例题2 s11轴向拉压 长l,重量为W的直杆AB, 上端固定,杆的EA已知, a EA 求自重作用下杆中的最大q= 应力及B点的位移δB。1 7(x) 解:1.轴力方程,轴力图 B FN(x)=w= gdx=r. W FNmax =w 2杆中应力0(x)=()Wx W O =OA=

长l,重量为W的直杆AB， 上端固定，杆的EA已知， 求自重作用下杆中的最大 应力及B点的位移  B 。 FN max =W A W  max = A = l A EA B l W q = x l W F x W qdx N x ( ) = = =  例 题 2 §11 轴向拉压  例题 x F (x) N Wx FN W 解： 1. 轴力方程，轴力图 2. 杆中应力 Al Wx A F x x N = = ( )  ( )