第三章力系的平衡静定与超静定的概念第一节平衡方程的解析形式
第三章 力系的平衡 静定与超静定的概念 第一节 平衡方程的解析形式
一、空间任意力系的平衡方程FR =0充分条件。M。=0平衡的必要、ZF.-0F =EFi+EFuj+EF.kEF,=0ZF.=0ZMx=0ZM,=0M。 =EM.i +EM.j+EM.kZM.=0空间任意物体有六个平衡方程；可解六个未知量
一、空间任意力系的平衡方程 FR = 0 平衡的必要、充分条件。 MO = 0 F F i F j F k i x i y i z R = + + M M i M j M k O i x i y i z = + + 空间任意物体有六个平衡方程；可解六个未知量。 Fix = 0 Fiy = 0 Miz = 0 Fiz = 0 Miy = 0 Mix = 0
例3-1：有一匀质矩形等厚的板，重力P=200N，角A为球铰，另一端B用链（沿轴y向无约束力）与墙壁相连，再用一索EC使板维持于水平位置。 若=@ =30°，试求索内的拉力及A,B两处的约束力解设AD=CB=b，则bZ M,(F) = 0, F sin 0·b- P=0B2！A 得: F=P= 200N?由:F, = O, Fay-FcosOcos@ = ODC7X得: FA,= (3/4) F-150NFBzFNPABM,(F) = 0, F.I + Fsin @.I - P=0A2AFyFBxFAxFBz=P/2-F/2=00DCx
x y z A B C D 例3-1：有一匀质矩形等厚的板，重力P =200N，角A为球铰，另 一端B用铰链（沿轴y向无约束力）与墙壁相连，再用一索EC使板 维持于水平位置。若θ= =30º，试求索内的拉力及A,B两处的约 束力。 F P 解 设AD＝CB=b，则 0 2 ( ) = 0, sin − = b M y Fi F b P 得: F =P = 200N 由: Fi y = 0, FAy − F cos cos = 0 得: FAy=（3/4）F=150N 0 2 ( ) = 0, + sin − = l M x Fi FB zl F l P FBz=P/2-F/2=0 x y z A B C D FBz FBx FAz FAy FAx
ZF.=0, F^ +Fb +Fsin -P=0BFAz=P-F/2=100NA0VEM.(F)= 0, FBl =00DCFBx =0XzZFx=0, Fx +Fx-Fcososin =0FBzFV3Az人B-F = 86.6NFA=4JF:FFBxAx@DC1x
Fi z = 0, FAz + FBz + F sin − P = 0 FAz=P -F/2=100N M z (Fi ) = 0, FBxl = 0 FBx =0 Fi x = 0, FAx + FBx − F cos sin = 0 86.6 N 4 3 FA z = F = x y z A B C D x y z A B C D FAz FAy FAx F FBz FBx P
从而得到以下规律：（1）可以用力矩形式的平衡方程投影式来替代力形式的平，即有3-6个力矩投影式，也就是说力矩衡方程的投影式投影形式的平衡方程不得少于三个，至多可以有六个（2）力的投影轴与矩轴不一定重合，但投影轴及矩轴必须受到如下限制：①不全相平行：②不全在同一平面内。（3）六力矩形式的矩轴不交于同一点据此，我们可以选择合适的力投影轴和矩轴，使每个方程所包含的未知量为最少，从而简化计算
从而得到以下规律： （1）可以用力矩形式的平衡方程投影式来替代力形式的平 衡方程的投影式，即有3－6个力矩投影式，也就是说力矩 投影形式的平衡方程不得少于三个，至多可以有六个。 （2）力的投影轴与矩轴不一定重合，但投影轴及矩轴必须 受到如下限制：①不全相平行；②不全在同一平面内。 （3）六力矩形式的矩轴不交于同一点。 据此，我们可以选择合适的力投影轴和矩轴，使每个方程所 包含的未知量为最少，从而简化计算
例3-2：重力为P的匀质正方形平台，由六根不计自重的直杆支撑在水平力的作用下保持静止。杆与水平面的夹角均为?=45°试求各杆的力PB解设板边长为l,用多力矩形式求解。F, =0, F, cosβ= 0F, =0DAM(F)= 0, F, cos@-1 =0F, =0F = V2FFx= 0, F, cos @- F = 0BBDN600二 MAc(F)= 0, (F。 + F, sin β)P2F4压7MA(F) =0, (F + F, sin β)I+P=0212ZF.=0DF4 F + F, sin β+ F, sin β+ F + F sin p+F + P= 0 -FF2F(压）F52F6Fi
例3-2：重力为P的匀质正方形平台，由六根不计自重的直杆支撑， 在水平力F的作用下保持静止。杆与水平面的夹角均为 =45º ， 试求各杆的力。 解 设板边长为l ,用多力矩形式求解。 Fiy = 0, F3 cos = 0 F3 = 0 M AA (Fi ) = 0, F5 cos l = 0 F5 = 0 P F2 F4 F6 F5 F1 0 2 ( ) 0, ( sin ) = 6 + 5 = BD M AC Fi F F F6 = 0 0 2 ( ) 0, ( sin ) = 4 + 3 + = l M A D Fi F F l P 2 4 P F = − Fiz = 0 F1 + F2 sin + F3 sin + F4 + F5 sin + F6 + P = 0 F P F = − − 2 1 Fix = 0, F2 cos − F = 0 F2 = 2F （压） （压） F3 C’ P F A B C D A’ B’ D’ F
特例1.空间汇交力系合力偶矩恒为零，即ZEM.=0M,=0EM,=0ZFix=0空间汇交力系平衡方程Z=0FyZF=0iz
特例1. 空间汇交力系 空间汇交力系平衡方程 Fix = 0 Fiy = 0 Fiz = 0 Mix 0 合力偶矩恒为零，即 Miy 0 Miz 0
例3-3：结构如图所示，杆重不计，已知1力P，试求两杆的内力和绳BD的拉力解：研究铰链BF0y0F2DBFABpxxPZF=0ZF-0-F cos@sin 0-F, = 0F, sin - P = 0F =-F, cosβsin 0PZF, =0F=-F, cos cosoF一sin
例3-3：结构如图所示，杆重不计，已知 力P，试求两杆的内力和绳BD的拉力。 P A B C D x y z F1 F3 F2 解：研究铰链B sin 0 0 3 − = = F P Fz sin 3 P F = cos sin 0 0 − 3 − 2 = = F F Fx F2 = −F3 cos sin Fiy = 0 F1 = −F3 cos cos P A B C D x y z
例3-4：重力P=1kN，A是球铰支座、A、B、C点是固定在同一墙上，试求：杆AD、绳DB，DC的约束力。解：这是空间汇交力系，取D点为汇交点20BECE20ZFx-0, FdBFDC0DBDCEFdo超BE=CE,DB=DC,则: FDB-FDCFDBB20DODODOD0Z F, = 0, -FdbFDA=0FDCxyDCDBDAPFDN1DB = 20/3,DA = 20V540PEOAOAZF,=0, Fpr2FP=0DBDADADB20cmV3FDAD=-745N,FDB-FDC-289N3
例3-4：重力P=1kN，A是球铰支座、A、B、C点是固定 在同一墙上，试求：杆AD、绳DB，DC的约束力。 解：这是空间汇交力系，取D点为汇交点， i x = 0; − = 0 DC CE F DB BE F FDB DC BE=CE,DB=DC,则：FDB=FDC i y = 0; − − − = 0 DA DO F DC DO F DB DO F FD B DC D A DB = 20 3, DA = 20 5; 745N, 3 3 FDA = − P = − i z = 0; 2 − − P = 0 DA AO F DB EO F FDB DA FDB =FDC=289N FDC FDA FDB P
特例2.空间平行力系若各力平行轴Z，则EF=0ZM.=0ZF,=0ZF.=0ZM.=0空间平行力系平衡方程EM,=0
特例2. 空间平行力系 空间平行力系平衡方程 Fiz = 0 Miy = 0 Mix = 0 Fix 0 若各力平行轴z，则 Fiy 0 Miz 0