S10一5梁的刚度计算一、梁的刚度条件Jmx ≤[]dYmaxYmax ≤[3]=≤[0]HLLmax其中［の称为许用转角：「8L]称为许用挠跨比。二、刚度计算设计截面尺寸：校核刚度：确定外载荷。（对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）
max 一、梁的刚度条件 其中[]称为许用转角；[δ/L]称为许用挠跨比。 、校核刚度： 、设计截面尺寸； （对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属 地位。特殊构件例外） L L y y y max max max 二、刚度计算 、确定外载荷。 §10—5 梁的刚度计算
例：下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的[]=,B点的@#0.001弧度，试校核此杆的刚度L=400mma=0.1nbCQADA黑ADC200mmFi=1KNF2F2=2KN1ⅡIaCcDAooB7TF2F1F2+M+LCQA鄂DCAY0F2T
F2 A B C D F2 A D B C F2 B a C A B L a C M F2 A B C F1 D = + + F2=2KN = A B L=400mm a=0.1m C F1=1KN D 200 mm 例：下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm， 杆的E=210GPa，工程规定C点的[δ]= ,B点的[ ]=0.001 弧度,试校核此杆的刚度. m 6 8 10−
L=400mma=0.1利用叠加求复杂载荷下的变形CFL?F,LaQAD00T3EI16EI200 mmF1 =1KNF2 =2KNFLaF,a3Fa'L1yc16EI3EI3EIAC元AD4=188×10-8m4(D4-d4)BooT64F1图1+FL?F,La0-0.423×10-4(弧度2a3EI16EICABFza3Fa'LFLa图2F.5.19×10-°myc3EI16EI3EI1M校核刚度yc = 5.19×10-6m<[s]LaAc[0B|=0.423×10-4弧度B4o<[]=0.001弧度图3刚度足够
EI F a L EI F a EI F L a yC 16 3 3 2 2 3 2 2 1 = − − EI F La EI F L B 16 3 2 2 1 = − 利用叠加求复杂载荷下的变形 = + + 图1 图2 图3 F1 F2 F2 F2 =2KN A B L=400mm a=0.1m C F1 =1KN D 200 mm A B C D 2 B a C F2 A B L a C M 0.423 10 ( ) 16 3 2 4 2 = 1 − = − − 弧度 EI F La EI F L B 4 4 8 4 ( ) 188 10 64 I D d m − = − = m EI F a L EI F a EI F L a yC 6 2 2 3 2 2 1 5.19 10 16 3 3 − = − − = − 弧度 弧度 0.001 0.423 10 4 = = − B = − yC m 6 5.19 10 校核刚度 刚度足够
三、提高梁的刚度的措施由梁在简单载荷作用下的变形表和前面的变形计算可知：梁的挠度和转角除了与梁的支座和载荷有关外，还取决于下面三个因素：材料梁的位移与材料的弹性模量E成反比；截面梁的位移与截面的惯性矩I成反比跨长梁的位移与跨长L的n次幂成正比（转角为L的2次幂，挠度为L的3次幂）E（EID)1、增大梁的抗弯刚度2、调整跨长和改变结构方法一一同提高梁的强度的措施相同3、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反，目的起到一定的抵消作用）
由梁在简单载荷作用下的变形表和前面的变形计算可知： 梁的挠度和转角除了与梁的支座和载荷有关外，还取决于 下面三个因素： 材料——梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比； 截面——梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比； 跨长——梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比。 （转角为 L 的 2 次幂，挠度为L的 3 次幂） 1、增大梁的抗弯刚度（EI） 2、调整跨长和改变结构 方法——同提高梁的强度的措施相同 三、提高梁的刚度的措施 3、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反，目的起到 一定的抵消作用）
注意：，“E”值相差不多，“jx”相差较大，故换同类的材料，用同类材料只能提高强度，不能提高刚度，“E”和“G”都相差很多（钢E=200 GPa，不同类的材料，铜E=100GPa），故可选用不同类的材料以达到提高刚度的目的但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！
注意： 同类的材料，“E ”值相差不多，“j x ”相差较大，故换 用同类材料只能提高强度，不能提高刚度。 不同类的材料，“E”和“G”都相差很多（钢 E = 200 GPa , 铜 E = 100 GPa），故可选用不同类的材料以达到提高刚度的目的。 但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！
S 10-6简单超静定梁RRB9/2静定问题qR./ma=0,02qlBRZmg = 0,=0.5qlR福211由平衡方程可以解出全部未知数22平衡方程数文=未知数。RR.qBB122R超静定问题多余约束去掉多余约束而成为形式上的静定结构基本静定基。三个未知力。二个平衡方程，Y。= cq + YcRc = 0平衡方程数<未知力数
C A B q 2 l 2 l C A B 2 l 2 l C A B q RA RB RA RB RC RC 0. 2 0, 2 = − = ql m R l A B , 2 0, ql mB = RA = 由平衡方程可以解出全部未知数 静 定 问 题 二个平衡方程，三个未知力。 平衡方程数 < 未知力数。 超 静 定 问 题 R 0.5ql. B = 平衡方程数 = 未知数。 = + = 0 Cq CRC c y y y 去掉多余约束而成为形式 上的静定结构 — 基本静定基。 §10-6 简 单 超 静 定 梁 多余约束
qqBPRRL222（静力、几何、物理条件）解超静定的步骤原则：便于计算)（取静定基1、用多余约束反力代替多余约束2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力q分析—y。= yα+ yeR =0B多余反力RJB=0计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度
1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基 ） 2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程 3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力 计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。 C L/2 A A C q L/2 B Rc 分析—— = + = 0 C c cq cR y y y A B q 2 l 2 l C RB A B q 解超静定的步骤 —— (静力、几何、物理条件) = 0 B y 多余反力 原则：便于计算
例已知梁的EI梁的长度，求RKR.q各处的约束反力。解：1）受力分析，列平衡方程DBC判定超静定次数T11ZY=0, RA+RB +Rc-ql= 022ZMA=0, Rl+0.5Rcl-0.5ql?=0q2）解除多余约束静定基BA（解除C支座约束，代之以多余约束反力，得基本静定基一一简支梁）Rc3）变形协调方程Yc = Ycg + YcR = 05R-qL84）物理条件代入上式5q14R.13利用平衡方程可求出全部未知力：YcqYcRc384EI48EI3qlRe135ql416=0384EI48EI
解：1) 受力分析，列平衡方程 C 判定超静定次数 ４) 物理条件代入上式 0 384 48 5 4 3 − = EI R l EI ql C , 8 5 RC = qL A B q 2 l 2 l RC A B q 例 已知梁的EI，梁的长度，求 各处的约束反力。 ３) 变形协调方程 ２) 解除多余约束——静定基 （解除Ｃ支座约束，代之以多余约束反力，得 基本静定基——简支梁） RA RC RB Y = 0, RA + RB + RC − ql = 0 = 0, + 0.5 −0.5 = 0 2 M R l RCl ql A B yC = yCq + yCR = 0 EI R l y EI ql y C Cq CRC 48 , 384 5 4 3 = = − 利用平衡方程可求出全部未知力： 16 3ql RA = RB =
RRR53qlqRc ==qL,816ABC!画出剪力图、弯矩图。11912225qlM最大弯矩max3ql1616163ql与静定梁作比较：q164B5qlC16ql2112216912M9ql29ql2max8256256Mmax=0.5超静定梁因增加了多余约束，强度（刚度）M'得到有效提高，多余约束并不真正多余max
C A B q 2 l 2 l 16 5ql 16 3ql 256 9 2 ql 画出剪力图、弯矩图。 RA RC RB 16 2 ql 16 3ql 256 9 2 ql 16 5ql , 8 5 RC = qL 16 3ql RA = RB = 最大弯矩 16 2 max ql M = C A B q 2 l 2 l 与静定梁作比较： 8 2 max ql M = 0.5 max max = M M 超静定梁因增加了多余约束，强度（刚度） 得到有效提高，多余约束并不真正多余
RBq例已知梁的EI梁的长度，求各约1111111束反力。B2EImA解1：0、受力分析，Ra,mA,RB,ql1ZY=0, R+R-ql=0qMA=0, ma-0.5ql? +Rl =011B②、几何方程静定基RYB = YBq + R, =0IB物理方程3R,13qlAYBqYBRB8EI3EIRBqoqL4R.L33qL.0得：88EI3EIAAB9125qlRm求解平衡方程：88
EI 、几何方程 解1： 、受力分析， 、物理方程 EI R l y EI ql y B Bq BRB 3 ; 8 4 3 = = − 0 8 3 4 3 − = EI R L EI qL B , 8 3qL RB = 例 已知梁的EI，梁的长度，求各约 束反力。 A B RB = + = 0 B Bq RB y y y q l 静定基 RB mA RA A B q R m R ql A A B , , , Y = 0, RA + RB −ql = 0 = 0, −0.5 + = 0 2 M m ql R l A A B 8 , 8 5 2 ql m ql RA = A = 得： = A B RB q0 A B + 求解平衡方程：